数学一模突破卷04（广东专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 7 D B A C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD CD ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 13.2√6 14.28 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【详解】(1)由余弦定理得，acosB+bcos4=a+e2-b++c2-a2 C. 2c _2c 所以由3 asinB+bc0sA=C,a>0，,故3 asinB+bc0sA=ac0sB+bc0sA.3分 所以3sinB=cosB,又Be(0,π， 所以3sinB=cosB>0,故而tanB=sinB-」 .5分 cosB 3 2由sn<c0=com及2）n任》 知∠CAD=元-4或”+4 221 2 7分 又∠CAD=A-或-A,所以只可能是A-开=或A-=+4, 2 2 222 222 分别解得A=27或4=2元（舍去）， 3 …9分 故只有如图情况，即D在线段BC上，且A=2” 3 1/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2π 于是， BC S.ABC= 8ac 3 3 =3V5, CD S.ACD 11分 IAD.AC.sin tanB 6 故CD=a=2V3 3W5=3 ，13分 B 16.【详解】(1)取AC的中点为0，连接0E,0B, 由EA=EC得OE⊥AC, 由BA=BC得OB⊥AC, 又OE∩OB=O,OE,OBc平面0EB, 所以AC⊥平面0EB,。 2分 由BEC平面OEB得AC⊥BE 3分 (2)因为AC⊥平面OEB,OE,OBC平面OEB, 所以AC⊥OE,AC⊥OB, 所以LE0B为二面角E-AC-B的平面角，故LE0B=60°，.5分 因为AC⊥平面OEB,ACC平面ABC, 所以平面ABC⊥平面OEB,且交线为OB, 过E作EH⊥OB于H, 因为EHC平面0EB,则EH⊥平面ABC,.7分 以0为原点建立如图所示的空间直角坐标系O-z, 因为4g=7,不防设AB=7,则AC=2,0E=V5, 0H=0E-cos60°=5，HE=3,0B=VAB-A0-4W5, 2 2 所以A1,0,0),C(-1,0,0),E 53 022}80,45,0, 所以a=2ao.在-9西-40 .8分 2/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 n CA=0 2x=0 设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),由 nCE=0 得 3 x+ -y+ z=0 2 令2=-1得平面4CE的一个法向量元=(0,5，-，=2， 同理得平面BCE的一个法向量m=(12,-V5,-7, n=V122+-5+(-7)2=196=14, 11分 nn20-3+71 设二面角A-CE-B的平面角为O,则cos0=cosn,n2= 2x147’… 13分 m n2 因为8e0,,所以sin9=V-cos0-45 所以二面角A-CE-B的正弦值为4 15分 7 17.【详解】(1)由题意a=2, l分 3 又因为经过点 2 =1,所以b2=12分 所以椭圆M的方程”+y'=1,离心率e= .4分 2 (2)证明：设BC:y=kx+2k+2,B(x,y),Cx2,2), [y=kx+2k+2 2+4y=4,消去y可得，(1+42)x+16k(k+1x+16k2+32k+12=0, 由 则4>0台k<-3 +6= 1+4,5=162+32k+12 16k(k+1) 7分 1+4k2 3/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 y=x-2) 由 ￥-2 得xM= 2y1 y=-x x+y-2‘ 同理，xw= 2y2 2+乃2-2’ 9分 则xw+xw= 2y +2，=2+2k+2,+2+2 x+y-2x2+y2-2(x+c+2kx2++2k =2.+2k+2(西+，+2k)+(5++2k)(c+2k+2 (x++2k)(x2+kx2+2k) …12分 上式分子部分=2k(k+I)xx2+4k2+4k+2)(x+x2)+8k(k+I) 2k(k+1)16k2+32k+12)（4k2+4k+216k(k+1) +8k(k+1) 1+4k2 1+4k2 4k2+8k+32(4k2+4k+2） =8k(k+1)川 =0 1+4k2 1+4k2 故xM+xx=0,所以|OM曰ON|. 15分 18.【详解】(1)由f)=n(x+1-2x=ln(x+1)-2+2a x+a x+a 得f"(刘=1-2a x+1(x+a)2’ 4”44 .1分 当a3时，019-300， 3分 所以曲线y=f到在点0，了10)处的切线方程为y-0x-0,即y-专x …4分 (2)因为f(x)在0，+o)上单调递增，所以x∈[0，+o,f'(x)≥0 由D知因=20,6分 因为x+1>0,(x+a)2>0,所以x2+a2-2a≥0，即a2-2a≥-x2在0，+0上恒成立， 所以a2-2a≥0，又a>0,所以a22, 即a的取值范围为[2，+0).… 8分 (3)①当a≥2时，∫'(x)≥0在(-1，+o)上恒成立，所以f(x在(-1，+0)上单调递增， 所以∫(x不存在极值，不合题意；… …9分 4/7 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x2-1 x-1 ②当a=1时，)=(x+++,所以当-1<<1时，f到<0：当x>1时，到>0，所 以f(x)在(-1,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增， 所以f(x无极大值，不合题意；.11分 ③当1<a<2时，f(x的定义域为-1，+o),2a-a2e(0,1, 令f'(x=0,得x=-V2a-a2,x2=V2a-a2,当x∈(-1，x)U(x2,+0)时，f'(x>0,当xe(x,x2)时， f'(x)<0,所以f(x)在(-1，x),(x2,+∞)上单调递增，在x,x2)上单调递减， 所以f(x的极大值为f(x),极小值为∫2)，且fx)>fx2),不合题意；…13分 ④当0<a<1时，f(x的定义域为(-l,-a)v(-a,+o,2a-a2e(0,l,且V2a-a2>a, 令f'(x=0,得x=-V2a-a2,x,=V2a-a2,且-1<x<-a, 当xe(-l,x)时，f'(x>0;当xe(x,-a)时，f'(x)<0;当x∈(-a,x2)时，f'(x)<0; 当xex2,+o)时，f'(x>0, 所以f(x在(-l,x)上单调递增，在x,-a上单调递减，在(-a,x2)上单调递减，在x2,+0上单调递增， 所以f(x)的极大值为f(x),极小值为f(x,),且f(x)=n(x+1-2+2a， x+a f(x)=n(x+1-2+2a x2+a ，…15分 fx)-f(x)=n(x+1-n(x,+l+2a-2a=n5+1+,2a(s-x） "x+ax3+ax2+1'(x+a)(x2+a' 因为x<-a<,所以n+l <0. 2a(x2-x) x2+1(x+a(x2+a <0,所以f(x-f(x)<0, 即f(x)<f(x2),符合题意. 综上所述，a的取值范围为0,1) 17分 19.【详解1>解：由题盛如：川利=》P叫e4-导P叫4到-号 可得报名参加答题活动人数100×9=45人，参加答题活动的男生人数为45×2=30人， 20 3 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以报名参加答题活动的女生人数为45-30=15人， y44”2 因为P(AB)= ，可得样本中男生人数为30+=50人，女生人数为50人， 所以完成2×2的列联表，如下表所示： 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 20 35 55 报名参加答题活动 30 15 45 合计 50 50 100 4分 可得x2-10(20x15-30x352100 55×45×50×50 11 9.091>7.879， 所以有99.5%的把握认为该校学生报名参加答题活动与性别有关联.… 6分 (2)解：①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量， 则随机变量的所有可能取值为1,2,3，…，m, -图2am-=-) …8分 则++-小写厂+m .10分 当m=5时、-+2号+分)+4)+5 33 所以当m=5时，E(5)=}+4+4+32+802山 399818181 .11分 ②每轮比赛甲得1分的概率为二× 为号-子得2分的据*为1号多 99 52 。。 12分 5 25 因为R-P=-)-P)且B-R= 所以数列巴-几是首项为气公比为-哥的等比酸列， 则-R(哥 …14分 6/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又由P+P=P+P,且B+R=l, 9 9 9 所以数列B+P}是各项均为1的常数列，所以P+=1, 9 联立方程组 5 .17分 P+ 7/7 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A]B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 性别活动。 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 u 报名参加答题活动。 合计 100 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，且，所以. 故选：A. 2．等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】因为等差数列的前n项和为， 所以，则， 即， 故选：D 3．的展开式中的系数为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【详解】的展开式中含的项为， 所以的系数为15. 故选：B. 4．“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（   ） A． B．48kg C．57kg D． 【答案】A 【详解】 假设从“方斗”中取出米后，米的高度下降一半至平面处， 由题意可知正四棱台和的高相等，设为. 因为，所以. 则， . 设剩余的米的质量为， 则，解得， 所以剩余的米的质量为. 故选：A 5．若函数（且）的值域是，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，单调递减，此时， 当时，，若，则在单调递增，此时， 因此要使的值域是，故，解得， 当，则在单调递减，此时， 此时无法满足的值域是，故不符合题意，舍去， 综上可得， 故选：A 6．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. 7．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与轴交于点，与双曲线交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设直线方程为，则. 因为，, 所以为的中点，那么. 所以. 又，所以，解得①. 将点代入双曲线方程得：②. 将①代入②得，方程两边同时除以， 得到，解得. 又，所以. 故选：B. 8．定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】令且定义域为R，则， 所以为偶函数，在上， 所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增， 由，则，且，则， 由于函数 由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下，    函数关于对称，且时，， 在、上分别单调递减、单调递增， 显然时， 在上单调递增，则时恒成立， 在上单调递减，且时,， 所以使， 综上，与的交点横坐标有，即有3个零点. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（　　） A．的虚部为1 B．在复平面内，所对应的点位于第一象限 C． D． 【答案】ABD 【详解】设，则，解得或舍，故，故A正确； 在复平面内，复数所对应的点为，位于第一象限，故B正确； ，故C错误； ，故D正确． 故选:ABD. 10．已知函数，关于函数下列说法正确的是（    ） A．为的一个周期 B．关于直线对称 C．的值域为 D．在上单调递减 【答案】CD 【详解】由，作出的图象如下图： 对于AB，由图象知，A，B错误； 对于C，由图象得的值域为，故C正确； 对于D，由图象在上单调递减，故D正确. 故选：CD. 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则（    ） A． B．直线与所成角的最大值为 C．过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D．三棱锥外接球半径的取值范围为 【答案】ACD 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，所以， 设，其中，即， 所以点， 又，，， 所以，， 所以， 所以，故A正确； ， 因为，所以， 所以， 函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， 所以， 所以， 当时，直线与所成角最大， 因为，故直线与所成角的最大值不为，故B错误； 取中点，连接， 因为为的中点，所以， 截面即为四边形， 又，所以， 又因为，故四边形为等腰梯形， 如图，作，垂足为， 所以， 所以， 所以等腰梯形的面积， 即截面的面积为，故C正确； 取的中点，因为为直角三角形，所以为外接圆的圆心， 设外接球的球心为，根据外接球的性质，则平面， 设球心， 则， ， 因为，所以， 即， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值， 所以，所以， 即三棱锥外接球半径的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则 . 【答案】 【详解】因为，且， 所以， 所以， 所以 . 故答案为： 13．已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】在同一平面直角坐标系下，作出函数和的图象如下图所示： 依题意得：，且，则. 设，则，，， 所以，令， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 14．如图，由个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C点出发，沿若小正方形的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段，那么不同的走法共有 种． 【答案】28 【详解】由题意可知，机器人所成走动的路线如图所示的方格： 图中小写字母表示机器人所能走的那一步路线， 那么第一步是固定的只有一种走法， 从第二步开始如果走a，第三步走c,第四步如果走e,那么这时共有3种走法， 第四步如果走f，那么后面四步走的一个长方形的边，这时共有 种走法； 第二步如果走b,第三步如果走d,第四步走e,第五步只能走h，此时共有3种走法， 第四步如果走f，此时共有种走法， 第三步如果走g，后面五步是沿着一个长方形的边走，此时共有 种走法， 故共有的走法为 种， 故答案为：28 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)点在直线上，且．若，求． 【详解】（1）由余弦定理得，. 所以由，故 3分 所以，又， 所以，故而. 5分 （2）由，知或. 7分 又或，所以只可能是或， 分别解得或（舍去）, 9分 故只有如图情况，即在线段上，且． 于是，， 11分 故. 13分 16．（15分）如图1，是以为底边的等腰三角形，为正三角形.把沿翻折至的位置，得空间四边形，连接，如图2. (1)求证：； (2)当，且二面角的平面角为60°时，求二面角的正弦值. 【详解】（1）取的中点为，连接， 由得， 由得， 又平面， 所以平面， 2分 由平面得. 3分 （2）因为平面，平面， 所以， 所以为二面角的平面角，故， 5分 因为平面，平面， 所以平面平面，且交线为， 过作于， 因为平面，则平面， 7分 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，不妨设，则， ，， 所以， 所以， 8分 设平面的法向量为，由，得， 令得平面的一个法向量， 同理得平面的一个法向量， ， 11分 设二面角的平面角为，则， 13分 因为，所以， 所以二面角的正弦值为. 15分 17．（15分）已知椭圆经过点，且右顶点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点B，C（均不是椭圆顶点），直线AB，AC分别与直线OP交于点M、N，求证：． 【详解】（1）由题意， 1分 又因为经过点，所以，所以 2分 所以椭圆的方程，离心率. 4分 （2）证明：设， 由，消去可得，， 则， 7分 由得． 同理，， 9分 则 ， 12分 上式分子部分 ， 故，所以． 15分 18．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 【详解】（1）由， 得， 1分 当时，， 3分 所以曲线在点处的切线方程为，即. 4分 （2）因为在上单调递增，所以. 由（1）知， 6分 因为，所以，即在上恒成立， 所以，又，所以， 即的取值范围为. 8分 （3）①当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以不存在极值，不合题意； 9分 ②当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以无极大值，不合题意； 11分 ③当时，的定义域为， 令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为，且，不合题意； 13分 ④当时，的定义域为，且， 令，得，且， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，极小值为，且， ， 15分 ， 因为，所以，所以， 即，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 17分 19．（17分）某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． (1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别活动 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． ①当时，求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为n的概率为，求． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）解：由题意知：， 可得报名参加答题活动人数人，参加答题活动的男生人数为人， 所以报名参加答题活动的女生人数为人， 2分 因为，可得样本中男生人数为人，女生人数为人， 所以完成的列联表，如下表所示： 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 20 35 55 报名参加答题活动 30 15 45 合计 50 50 100 4分 可得， 所以有的把握认为该校学生报名参加答题活动与性别有关联. 6分 （2）解：①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量， 则随机变量的所有可能取值为， 所以, 8分 则， 10分 当时，， 所以当时，， 11分 ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 所以，当时，， 12分 因为且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 14分 又由且， 所以数列是各项均为1的常数列，所以， 联立方程组，解得. 17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 3．的展开式中的系数为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 4．“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（   ） A． B．48kg C．57kg D． 5．若函数（且）的值域是，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与轴交于点，与双曲线交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（　　） A．的虚部为1 B．在复平面内，所对应的点位于第一象限 C． D． 10．已知函数，关于函数下列说法正确的是（    ） A．为的一个周期 B．关于直线对称 C．的值域为 D．在上单调递减 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则（    ） A． B．直线与所成角的最大值为 C．过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D．三棱锥外接球半径的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则 . 13．已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为 . 14．如图，由个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C点出发，沿若小正方形的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段，那么不同的走法共有 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)点在直线上，且．若，求． 16．（15分）如图1，是以为底边的等腰三角形，为正三角形.把沿翻折至的位置，得空间四边形，连接，如图2. (1)求证：； (2)当，且二面角的平面角为60°时，求二面角的正弦值. 17．（15分）已知椭圆经过点，且右顶点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点B，C（均不是椭圆顶点），直线AB，AC分别与直线OP交于点M、N，求证：． 18．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 19．（17分）某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． (1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别活动 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． ①当时，求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为n的概率为，求． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 3．的展开式中的系数为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 4．“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（   ） A． B．48kg C．57kg D． 5．若函数（且）的值域是，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与轴交于点，与双曲线交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（　　） A．的虚部为1 B．在复平面内，所对应的点位于第一象限 C． D． 10．已知函数，关于函数下列说法正确的是（    ） A．为的一个周期 B．关于直线对称 C．的值域为 D．在上单调递减 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则（    ） A． B．直线与所成角的最大值为 C．过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D．三棱锥外接球半径的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则 . 13．已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为 . 14．如图，由个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C点出发，沿若小正方形的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段，那么不同的走法共有 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)点在直线上，且．若，求． 16．（15分）如图1，是以为底边的等腰三角形，为正三角形.把沿翻折至的位置，得空间四边形，连接，如图2. (1)求证：； (2)当，且二面角的平面角为60°时，求二面角的正弦值. 17．（15分）已知椭圆经过点，且右顶点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点B，C（均不是椭圆顶点），直线AB，AC分别与直线OP交于点M、N，求证：． 18．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 19．（17分）某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． (1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别活动 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． ①当时，求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为n的概率为，求． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 / 学科网（北京）股份有限公司 $