寒假作业08 圆锥曲线中实用的二级结论（5知识点+6大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 圆锥曲线中实用的二级结论 一、通径 1、通径的定义 （1）焦点弦 过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦. （2）通径 与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径. 2、通径的性质 【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为. 【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为. 性质1、性质2的证明： ①如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为. ②对于双曲线，证明过程同椭圆. ③对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径. 二、焦点三角形 1、椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 ． 2、双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 三、中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 四、椭圆、双曲线中的焦点弦、焦半径公式 1、椭圆的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦. 【焦半径形式3（过右焦点）】：过椭圆的右焦点的直线交椭圆于,(其中在轴上方),记直线的倾斜角为(即为直线与轴正方向所成的角),有以下性质: ①焦半径的表示 坐标形态:, 角参形态:,； ②过焦点弦长 ；当且仅当时,,此时称为“通径” ③焦半径之比 . 2、双曲线的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负） 【焦半径形式3（过右焦点）】双曲线焦半径：过双曲线的右焦点的直线交双曲线的右支于,(其中在轴上方),记直线的倾斜角为(即为直线与轴正方向所成的角),有以下性质: ①焦半径的表示 坐标形态:,； 角参形态:, ②焦点弦长的表示 角参形态:；当且仅当时,,此时称“通径” ③焦半径之比 五、抛物线中的焦点弦、焦半径公式 1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式 已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 ①. ②. ③,. 2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：. ②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . ③若恒过定点. 3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 通径公式 1．（24-25高二上·江苏南通·月考）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.则截口宽长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建宁德·月考）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．设是双曲线C：的右支上的两点，轴，且经过双曲线的焦点，若弦的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于，两点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二 双曲线焦点到渐近线的距离为b 1．已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（    ） A．2 B．6 C． D． 2．（25-26高二上·浙江·期中）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（   ）      A． B． C． D． 3．已知双曲线的右焦点为，且到其中一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 ． 4．（24-25高二上·山东东营·月考）双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为A，设O为坐标原点，则 . 5．双曲线：的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则的离心率为 . 题型三 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 1．（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 2．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则 A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知，为椭圆的两个焦点，若上一点满足，则面积为 ． 4．（23-24高二上·上海青浦·月考）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ． 题型四 中点弦公式（点差法） 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 3．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 题型五 椭圆、双曲线的焦半径公式 1．已知是椭圆上的点，分别是椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差一定是（     ）                        A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 5．（2024高二·全国·专题练习）过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 . 题型六 抛物线的焦半径、焦点弦秒杀公式 1．（23-24高二上·河北保定·期末）如图，是抛物线上一点，是抛物线焦点，以为始边、为终边的角，则（   ）    A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若A、B为抛物线上不同于一个象限上的两个点，为抛物线的焦点，连接AB，若AB过焦点且，若的横坐标为的横坐标为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二上·宁夏吴忠·月考）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 5．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 6．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则下列直线与以为直径的圆相切的是（    ） A．轴 B． C． D．不存在 1．设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北保定·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．2 5．（25-26高二上·广东·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·山东济南·月考）（多选题）弦经过抛物线的焦点，设、，下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．以弦为直径的圆与准线相切 9．（25-26高二上·广西柳州·期中）（多选题）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，在上的射影分别为，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B． C． D．若，则直线的斜率为 11．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则的面积等于 . 12．（25-26高二上·陕西渭南·月考）椭圆中，，为其左右焦点，是椭圆上的点，，的面积为9，则 . 13．已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则 . 14．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB两点，且，则p的值为 ． 15．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线右焦点，以为圆心，以为半径的圆与的渐近线相切，则双曲线的离心率为 ． 16．（25-26高二上·北京·月考）双曲线的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则双曲线的渐近线方程为 ． 17．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点（在轴上方），且，则直线的斜率为 . 18．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为 ． 19．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 20．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为 . 21．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则 . 22．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，且，若第一象限的点、在上，，，，则直线的斜率为 . 1．已知椭圆的左、右顶点分别为，左焦点为为椭圆上一点，直线与直线交于点的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的倍，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线：的左、右焦点为，，，P为双曲线右支上一点，，的内切圆圆心为M，与的面积的差为1，则双曲线的离心率（    ） A．2 B．3 C． D． 3．已知椭圆的右焦点为.点为椭圆上不同的两点，且满足.过线段的中点作椭圆右准线的垂线，垂足为.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为-1的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（    ） A．6 B． C． D． 6．（25-26高二上·重庆·月考）（多选题）已知抛物线上两点为的焦点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若直线过点，则 C．若为坐标原点，，则直线恒过定点 D．若直线过点，则以线段为直径的圆与的准线相切 7．（25-26高二上·四川巴中·月考）（多选题）已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B．若点，则的最小值为5 C．若直线的倾斜角为，则 D．点为线段中点，则点的坐标可以是 8．（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，点是上第一象限内一点，且的延长线与交于另一点的反向延长线与交于点，与轴交于点，设是抛物线上一动点，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与轴相切 D．满足的点有且仅有2个 9．（25-26高二上·广东江门·月考）已知双曲线，则双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 ． 10．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为､，若的斜率之和为，则 . 11．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知椭圆和点，直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为 . 12．已知双曲线的左、右焦点分别为双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得，且与交于P点，则 ，的最小值为 . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 圆锥曲线中实用的二级结论 一、通径 1、通径的定义 （1）焦点弦 过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦. （2）通径 与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径. 2、通径的性质 【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为. 【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为. 性质1、性质2的证明： ①如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为. ②对于双曲线，证明过程同椭圆. ③对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径. 二、焦点三角形 1、椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 ． 2、双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 三、中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 四、椭圆、双曲线中的焦点弦、焦半径公式 1、椭圆的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦. 【焦半径形式3（过右焦点）】：过椭圆的右焦点的直线交椭圆于,(其中在轴上方),记直线的倾斜角为(即为直线与轴正方向所成的角),有以下性质: ①焦半径的表示 坐标形态:, 角参形态:,； ②过焦点弦长 ；当且仅当时,,此时称为“通径” ③焦半径之比 . 2、双曲线的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负） 【焦半径形式3（过右焦点）】双曲线焦半径：过双曲线的右焦点的直线交双曲线的右支于,(其中在轴上方),记直线的倾斜角为(即为直线与轴正方向所成的角),有以下性质: ①焦半径的表示 坐标形态:,； 角参形态:, ②焦点弦长的表示 角参形态:；当且仅当时,,此时称“通径” ③焦半径之比 五、抛物线中的焦点弦、焦半径公式 1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式 已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 ①. ②. ③,. 2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：. ②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . ③若恒过定点. 3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 通径公式 1．（24-25高二上·江苏南通·月考）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.则截口宽长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出，再代入通径公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：，，解得，， 可得，所以. 故选：C. 2．（24-25高二上·福建宁德·月考）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设，令椭圆为且，结合已知有、求椭圆参数，即可得方程. 【详解】由题设，令椭圆为且，其中， 令，则，可得， 由，即，故， 所以，可得（负值舍），则， 故椭圆方程为. 故选：B 3．设是双曲线C：的右支上的两点，轴，且经过双曲线的焦点，若弦的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知弦是双曲线的通径，由双曲线的性质并结合题意可知，由此即可求出，进而求出结果. 【详解】因为轴，且经过双曲线的焦点， 所以弦是双曲线的通径，故， 又弦的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，所以， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 4．已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于，两点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知圆是以焦点为圆心，为半径的圆，根据弦长公式即得. 【详解】由题可知，由，可得， 所以，所以以为直径的圆的半径是，圆心为， 所以，， 解得， 所以抛物线方程. 故选：B. 题型二 双曲线焦点到渐近线的距离为b 1．已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】求出右焦点坐标、渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】因为，所以， 可得右焦点坐标为，其中一条渐近线方程为， 右焦点到其渐近线的距离为. 故选：B. 2．（25-26高二上·浙江·期中）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的渐近线方程，结合焦点到渐近线的距离公式，即可联立方程组求解. 【详解】由双曲线可得渐近线方程为， 下焦点为，由双曲线的下焦点到渐近线的距离为可得， ， 又因为焦距为，所以，即， 代入上式可得：，所以， 即该双曲线的渐近线方程为， 故选：C． 3．已知双曲线的右焦点为，且到其中一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线渐近线的概念和双曲线离心率的概念，列出方程，求出离心率即可. 【详解】双曲线的渐近线为，即，右焦点， 则到渐近线的距离为， 对于双曲线，其焦点到渐近线的距离为， 所以，已知双曲线中，则，则离心率. 故答案为：. 4．（24-25高二上·山东东营·月考）双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为A，设O为坐标原点，则 . 【答案】2 【分析】利用离心率的公式计算的值，再利用点到直线距离和勾股定理计算求解即可. 【详解】由题意，，，则，， 则，其中一条渐近线方程为，即， 所以，所以. 故答案为：2. 5．双曲线：的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则的离心率为 . 【答案】2 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线：，可得左焦点，右顶点， 其中一条渐近线的方程为，即， 则顶点到的距离为， 焦点到的距离为， 由题可得，即， 所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：2. 题型三 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 1．（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理和面积公式可得答案. 【详解】由题意，焦距为，平方可得， 由余弦定理可得， 两式相减可得， 所以△的面积为. 故选：C 2．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线焦点三角形的面积公式，代入可得的值. 【详解】解：设,由，可得， 由双曲线焦点三角形的面积公式: ， 可得：， 故选：C. 【点睛】本题主要考查考查双曲线焦点三角形的面积，注意牢记公式，运算准确. 3．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知，为椭圆的两个焦点，若上一点满足，则面积为 ． 【答案】2025 【分析】利用椭圆的定义和勾股定理可得，结合面积公式可得答案. 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，设焦距为， 由定义可得，因为，由勾股定理可得, 即， 所以， 所以面积为. 故答案为：2025 4．（23-24高二上·上海青浦·月考）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得的值，代入三角形的面积公式计算即得. 【详解】 由可得：，如图，设则①， 在中，由余弦定理，，即：② 由①②联立，解得：. 则三角形的面积为. 故答案为：. 题型四 中点弦公式（点差法） 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】设，，由点差法即可求解. 【详解】设，，则， 由：作差得， 得. 故选：A 2．（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用点差法得到关于的方程，解出后验证即可. 【详解】设，两点的坐标分别为，，则， 又两式作差得， 故，所以，解得． 此时椭圆方程为，联立直线方程有， ，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意. 故选：B． 3．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设，结合“点差法”，即可直线的斜率，得到答案. 【详解】设，代入抛物线，可得， 两式相减得， 所以直线的斜率为， 又因为的中点为，可得， 所以，即直线的斜率为. 故选：C. 4．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆（即）上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 5．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【详解】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B 6．已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用点差法可求的关系，从而可求双曲线的离心率. 【详解】设，则，且， 所以，整理得到：， 因为是弦的中点， 所以，所以即 所以， 故选：A. 题型五 椭圆、双曲线的焦半径公式 1．已知是椭圆上的点，分别是椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差一定是（     ）                        A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据椭圆的焦半径公式可得，进而根据在椭圆上满足横坐标的范围求解即可. 【详解】设，则由焦半径公式 所以最大值与最小值之差是 . 故选：D. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可 【详解】    如图所示，设双曲线实轴长为，则， 所以， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作MD⊥轴于D，， 由条件故， 即，故， 解之得（负值舍去）. 故选：A 3．已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，求出点到双曲线焦点距离的最小值为，再利用直线与双曲线无公共点可得出，可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围. 【详解】设双曲线上一点，设点双曲线的右焦点为， 若取最小值，则点在双曲线的右支上，则， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 联立可得， 因为与直线无交点，则， 即，因为，解得. 故选：B. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 【答案】3 【分析】解法一：由已知条件得到直线的方程，联立直线和椭圆方程求得点横坐标，再由相似性质可得结果；解法二：由椭圆的焦半径公式表示出，化简可得结果；解法三：由焦比定理代入化简可得结果. 【详解】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为， 联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或， 又，所以，，由相似的性质可知，． 解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．    由题意知，，则．因为斜率，所以，所以． 解法三：由题意知，直线的斜率，设， 由焦比定理知，即，解得，即，所以． 故答案为：3. 5．（2024高二·全国·专题练习）过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 . 【答案】2 【分析】设，利用焦半径公式可得，进而计算可求得. 【详解】设，因为，所以点必在双曲线右支上， 由焦半径公式，，解得，所以， 从而，双曲线的渐近线的斜率为，因为， 所以点也在双曲线的右支上.如图，由图可知，， 所以. 题型六 抛物线的焦半径、焦点弦秒杀公式 1．（23-24高二上·河北保定·期末）如图，是抛物线上一点，是抛物线焦点，以为始边、为终边的角，则（   ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】求出直线的方程与抛物线方程联立求出可得答案. 【详解】由题可知，则直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 解得，或，因为点在第一象限，所以， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦的长. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为直线过抛物线的焦点， 且与该抛物线交于不同的两点、， 则. 故选：D. 3．若A、B为抛物线上不同于一个象限上的两个点，为抛物线的焦点，连接AB，若AB过焦点且，若的横坐标为的横坐标为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意结合抛物线的定义可得，代入运算即可得结果. 【详解】由抛物线方程可知， 因为直线AB过焦点， 则， 即，所以. 故选：D. 4．（24-25高二上·宁夏吴忠·月考）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线的方程，再根据抛物线的焦点弦公式求解即可. 【详解】由题意，抛物线的焦点为，， 故斜率为且过点的直线方程为， 设，， 联立，整理得， 根据韦达定理得， 所以. 故选：B. 5．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】    由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 6．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 7．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则下列直线与以为直径的圆相切的是（    ） A．轴 B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】由抛物线焦点弦的性质即可判断. 【详解】抛物线焦点为，即，， 故抛物线，准线方程为，由焦点弦性质知，以弦为直径的圆与准线相切. 故选:B． 1．设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由抛物线的定义可知，再由抛物线的性质可得即可求解. 【详解】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点， 过焦点作垂直于于点，由题意可知， 根据抛物线的定义 在中，，又， 所以， 解得. 故选：C. 2．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点三角形的面积公式列式求解即可. 【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，. 由题意，，， 则中， 由余弦定理可得: ， 则， 所以 . 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得， 即． 故选：A. 3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 4．（25-26高二上·河北保定·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率. 【详解】由题可知，解得. 所以双曲线. 若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在. 设，则，整理得. 因为线段的中点为，所以. 所以. 直线的斜率为2. 故选：D. 5．（25-26高二上·广东·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用点差法联立方程组，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】设，代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：(*)， 又的中点坐标为，所以，， 由(*)式可得， 又直线的斜率即直线的斜率，， 所以，而， 联立解得，，故椭圆的方程为：. 故选：A．    6．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两点的纵坐标，由此求得. 【详解】抛物线的焦点为， 直线的方程为， 由，解得， 所以. 故选：D 7．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明焦半径公式，然后根据内切圆的性质求得，进一步得，从而，由得离心率，利用求解即可. 【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：， 由椭圆上任意点及左、右焦点、， 得 ； 同理，； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，， 如图,设的内切圆与三边切于点， 由圆的性质可知， 则， 又，所以，所以，又， 则，由得，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：D 8．（25-26高二上·山东济南·月考）（多选题）弦经过抛物线的焦点，设、，下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．以弦为直径的圆与准线相切 【答案】BCD 【分析】利用抛物线的焦半径公式可判断A选项；设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断C选项；利用弦长公式可判断B选项；利用抛物线的焦点弦公式以及直线与圆的位置关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，准线方程为， 由抛物线的焦半径公式可得，A错； 对于BC选项，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 所以， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，B对C对； 对于D选项，弦的中点为，点到准线的距离为， 由焦点弦长公式可得，所以以弦为直径的圆与准线相切，D对. 故选：BCD. 9．（25-26高二上·广西柳州·期中）（多选题）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，即可计算选项中的结论. 【详解】设，， 因为，直线的斜率为，则设直线的方程为，      联立方程，消去y得，解得或， 又因为点在第一象限，则，即， 因为，即，故正确； 因为，所以，故B正确； 且，故C正确； 因为， 且直线的方程为，即为， 原点到直线的距离为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 10．（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，在上的射影分别为，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B． C． D．若，则直线的斜率为 【答案】ABC 【分析】对于A，由抛物线的定义结合梯形中位线的定义判断，根据抛物线定义得出计算判断B，根据焦点弦和焦半径公式和弦长公式，可判定C正确，根据抛物线定义结合同角三角函数关系计算判断D. 【详解】对于A，如图，假设点位于第四象限，根据抛物线的定义可得， 设中点为，点在抛物线的准线上的射为，所以， 则以为直径的圆与准线相切，故A正确； 对于B：因为，所以 又因为，所以，所以，B选项正确； 设，由抛物线的定义，可得， 当直线的斜率不存在时，可设直线的方程为， 联立方程组，解得，此时 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得，所以， 综上可得，线段AB长度的最小值是，所以C正确； 对于D，因为，， 所以过作，, 设直线的斜率为， , ，所以，故D错误； 故选：ABC. 11．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则的面积等于 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义和完全平方公式的应用，结合余弦定理和三角形面积公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，所以， 如图，设，则， 所以，得； 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 故答案为： 12．（25-26高二上·陕西渭南·月考）椭圆中，，为其左右焦点，是椭圆上的点，，的面积为9，则 . 【答案】3 【分析】根据椭圆焦点三角形的面积公式结合题干即可求出. 【详解】是椭圆上的点，，根据焦点三角形的面积公式可知， 又的面积为9，，，. 故答案为：. 13．已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则 . 【答案】 【分析】根据所给条件，可得，再令得，带入面积公式，计算即可得解. 【详解】由，令得， 所以， 所以，. 故答案为： 14．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB两点，且，则p的值为 ． 【答案】3 【分析】根据抛物线焦点弦性质求解，或联立l与抛物线方程，表示出，求其最值即可. 【详解】已知，设，，， 则， ∵，所以，， ∴，当且仅当m=0时，取. . 故答案为：3. 15．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线右焦点，以为圆心，以为半径的圆与的渐近线相切，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据题意结合点到直线的距离公式计算即得. 【详解】由双曲线可知渐近线方程为，即，且， 由题意可知：点到渐近线的距离为， 则，且，可得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 16．（25-26高二上·北京·月考）双曲线的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，得到，计算即可求解. 【详解】由双曲线：，可得左焦点，右顶点， 其中一条渐近线的方程为，即， 则顶点到的距离为， 焦点到的距离为， 由题可得，即， 因为，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 17．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点（在轴上方），且，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，借助图形并结合抛物线的定义求解即得. 【详解】过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E， 过A作直线的垂线，垂足为， 依题意，，， 由，得，， 因此，即， 所以的斜率为. 故答案为： 18．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为 ． 【答案】8 【分析】首先利用抛物线的定义求出，确定抛物线方程；然后设直线的倾斜角为，利用焦点弦的面积公式求出；最后结合焦点弦的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线的倾斜角为， 由于直线过焦点，， 又，所以. 故答案为：8. 19．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 【答案】 【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可. 【详解】由题意可知， 代入双曲线方程有， 又的面积为，即， 所以双曲线方程为：， 设， 则， 同理， 因为，则， 故答案为：. 20．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为 . 【答案】2 【分析】应用点到直线的距离得，结合的关系得，在中应用余弦定理得，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求离心率. 【详解】 由题意，，双曲线的渐近线为，如上图， 设点在上，则，故， 所以，则，故， 所以，故，则椭圆离心率为. 故答案为：2 21．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则 . 【答案】2 【分析】利用焦半径公式可证，从而可得结论. 【详解】设，则，由焦半径公式， ， 所以， 从而，即. 故答案为：. 22．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，且，若第一象限的点、在上，，，，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】设点、，求得椭圆的离心率，利用椭圆的焦半径公式可求得的值，再利用弦长公式可求得直线的斜率. 【详解】椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，且， 所以，， 由椭圆的几何性质可知，，椭圆的离心率为， 设点、，则，， 则 ， 同理可得， 所以，，解得， 设直线的斜率为，由弦长公式可得， 解得， 因为点、都在第一象限，则，故. 故答案为：. 1．已知椭圆的左、右顶点分别为，左焦点为为椭圆上一点，直线与直线交于点的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的倍，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求得，求出直线以及角平分线方程可得，，利用的面积是面积的倍可得，即得出离心率. 【详解】根据题意可得， 则，，又可得， 设点坐标为，如下图所示：    将代入椭圆方程可得，解得； 可得，直线方程为， 联立，解得，即 易知的角平分线倾斜角为，斜率为， 直线方程为， 联立，解得； 所以的面积为， 面积为； 即，即，可得； 所以离心率. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于分别求得直线以及角平分线方程得出坐标，计算出两三角形面积表达式即可得出，可求出离心率. 2．已知双曲线：的左、右焦点为，，，P为双曲线右支上一点，，的内切圆圆心为M，与的面积的差为1，则双曲线的离心率（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据的关系可得，再根据通径可得，，结合内切圆的性质以及面积关系可得，即可得离心率. 【详解】因为，即， 可得， 又因为，可知，， 可得， 设的内切圆的半径为， 由题意可得：，即， 由的面积可知：， 即， 整理得，即， 解得，即， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 【点睛】方法点睛：双曲线离心率（离心率范围）的求法： 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 3．已知椭圆的右焦点为.点为椭圆上不同的两点，且满足.过线段的中点作椭圆右准线的垂线，垂足为.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示：过作准线于，准线于点，计算，根据勾股定理结合均值不等式计算得到答案. 【详解】如图所示：过作准线于，准线于点，，， 则， ， 根据均值不等式：，即， 即，当时等号成立，即. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4．已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得到渐近线的距离为，从而可求得的值，再在中利用正弦定理求出，然后结合双曲线的定义和余弦定理求解即可. 【详解】由题意知，点到渐近线的距离为， 所以， 因为，，所以， 所以， 因为，所以， 得，则， 在中，由正弦定理得， 即，得， 由双曲线的定义知， 所以， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，即， 所以离心率为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的定义与几何性质结合正、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题. 5．已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为-1的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】由过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，可得；由过点且斜率为-1的直线与相交于两点，且恰好是的中点，可得.综上可得，后可得答案. 【详解】由题可得，其中，且. 又由椭圆对称性可知，在正上方且位于椭圆上的点到F距离为，即此点坐标为. 将其代入椭圆方程有：，又，可知； 设，因过点且斜率为-1的直线与相交于两点，且恰好是的中点， 则. 又A，B两点在椭圆上，则. 两式相减得： 又，得. 又，则，又，且，则. 故椭圆方程为：，.设，其中. 则. .因， 有，当且仅当 ，即M为椭圆右顶点时取等号. 则椭圆上一点到的距离的最大值为. 故选：D 6．（25-26高二上·重庆·月考）（多选题）已知抛物线上两点为的焦点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若直线过点，则 C．若为坐标原点，，则直线恒过定点 D．若直线过点，则以线段为直径的圆与的准线相切 【答案】AD 【分析】先根据抛物线标准形式确定基本性质，再逐一分析各选项：对选项B、C联立直线与抛物线方程，利用韦达定理推导；对选项D结合抛物线定义分析圆与准线的位置关系. 【详解】对于抛物线，其标准形式为，得， 即，焦点为，准线为. 选项A：由上述计算，准线方程为，故A正确. 选项B：若直线过焦点，设直线为， 代入抛物线方程得，由韦达定理得，故B错误. 选项C：若，设直线为，代入抛物线得， ，， 由，解得（舍去）， 直线恒过，故C错误. 选项D：若直线过，由抛物线定义，， 圆的半径为；中点横坐标为， 中点到准线的距离为， 与半径相等，故圆与准线相切，D正确. 故选：AD. 7．（25-26高二上·四川巴中·月考）（多选题）已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B．若点，则的最小值为5 C．若直线的倾斜角为，则 D．点为线段中点，则点的坐标可以是 【答案】ABD 【分析】计算和中点到准线的距离可判断A；根据抛物线的定义结合距离和最小计算可判断B；应用韦达定理计算面积可判断C；根据点差法可判断D. 【详解】由题意可知抛物线的焦点，准线方程为； 设，的中点， 则到准线的距离为，， 所以以为直径的圆与准线相切，故A正确； 过点作垂直于准线，垂足为， 则，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为5，故B正确； 若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即， 则点到直线的距离， 由得， 所以，， 所以，故C错误； 假设点的坐标为，则， 由直线与抛物线交于两点得，两式相减得， 即，所以， 所以直线的方程为， 即，点在直线上， 由得，，故D正确. 故选：ABD    8．（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，点是上第一象限内一点，且的延长线与交于另一点的反向延长线与交于点，与轴交于点，设是抛物线上一动点，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与轴相切 D．满足的点有且仅有2个 【答案】ACD 【分析】由抛物线定义可得A；计算出点、、、坐标后即可得B；求出中点及其长度后即可得C；求出的中垂线方程，联立抛物线方程后利用根的判别式计算即可得D. 【详解】对A：由抛物线的定义可知，，解得，故A正确； 对B：将点代入，得，解得，则， 由和可知直线的方程为，则， 将与联立，得，解得， 所以，则，故B错误； 对C：的中点坐标为，到轴的距离为， 且，故以为直径的圆与轴相切，故C正确； 对D：由上知的中点坐标为， 则的中垂线方程为，即， 与抛物线方程联立消去得，， 即存在两个这样的点，故D正确. 故选：ACD.    9．（25-26高二上·广东江门·月考）已知双曲线，则双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【分析】将双曲线方程化成标准方程，求出双曲线的右焦点坐标及渐近线方程，利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由双曲线有右焦点， ，双曲线的方程为：， ，，则，， ，则， 双曲线的右焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为：， 化为直线方程的一般形式：或， 双曲线的右焦点到渐近线的距离为， 双曲线的右焦点到渐近线的距离为.， 综上，双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为. 故答案为： 10．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为､，若的斜率之和为，则 . 【答案】 【分析】设，利用点差法可得，同理有，结合条件即可求得答案. 【详解】设，则， ，，两式相减，得， 即，即， 同理可求得， 而的斜率之和为， 所以 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题运用点差法，这是解决圆锥曲线中弦中点与直线斜率关系问题的常用方法.通过设出弦的端点坐标，代入曲线方程作差，可巧妙地建立起弦的斜率与中点坐标所确定直线斜率的关系. 11．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知椭圆和点，直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据平行四边形性质求出的中点坐标，利用点差法求直线的斜率，然后可得方程. 【详解】由题知，记的中点为，则， 因为四边形为平行四边形，所以的中点为， 设，则 又点在椭圆上，所以， 由点差法得， 即，整理得，即直线的斜率， 又因为直线过点，所以直线的方程为， 即. 故答案为： 12．已知双曲线的左、右焦点分别为双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得，且与交于P点，则 ，的最小值为 . 【答案】 【分析】第一空，根据对称性转化为同一焦点弦的两条焦半径之间的关系，利用焦半径公式即可求得定值； 第二空，通过相似比求出为定值，即点的轨迹为椭圆的一部分，从而求得的最小值. 【详解】延长交双曲线于点，由可知，点与点关于原点对称，即，设直线的倾斜角为，由焦半径公式可知： ， 所以. 又因为，所以，设， 则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为椭圆的一部分，椭圆方程为， 所以， 故答案为：，. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $