寒假基础突破专题1 椭圆-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1 椭圆 一、单选题 1．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 2．点与椭圆的位置关系为（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆上 C．在椭圆外 D．不能确定 3．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆上有一点,,是椭圆的左、右焦点,若为直角三角形,则这样的点有 A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 5．已知椭圆的右焦点为，且离心率为．三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M、且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0，O为坐标原点．若直线OD、OE、OM的斜率之和为1，则（    ） A．－1 B． C． D． 6．已知椭圆：的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是的左、右焦点，且的面积为，点为上的任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．如图，、是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是、在第一象限的公共点，设的方程为，则下列命题中错误的是（    ）． A． B．的内切圆与x轴相切于点（1，0） C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 8．已知P为椭圆上的点，点M为圆上的动点，点N为圆上的动点，则|PM|+|PN|的最大值为（　　　　） A．28 B．30 C．32 D．36 二、多选题 9．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为和，点为椭圆上的任意点，下列说法正确的有（    ） A． B．的最大值为25 C．的最小值为9 D．若，则的面积为 10．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．面积的最大值为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．的最小值为0 11．椭圆上一点到焦点的距离为6，点到另一个焦点的距离 ． 12．如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，A、B在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则C的离心率为 . 13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．若椭圆上存在点P，使得，该离心率的取值范围是 ． 14．如图。点分别是椭圆：的左、右焦点，是上两点，，且，则的离心率为 . 15．已知椭圆：的离心率为，焦距为2. (1)求椭圆的标准方程；(2)若直线：与椭圆相交于A，B两点，且.求弦长. 16.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点坐标． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为． （i）求四边形面积的最大值； （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由． 17.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 18．椭圆，其离心率为，且过点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A和B，求直线HA，HB的斜率之和；(3)过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值． 19．已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为． (1)求椭圆的标准方程；(2)不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 椭圆 《高二数学椭圆专题卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C C D A A AB CD 1．D 【分析】将椭圆的方程化为标准形式，进而根据焦距求出m的值. 【详解】将椭圆的方程化为标准形式为 ， 显然，即， ，解得. 故选：D 2．A 【分析】将点的坐标代入椭圆方程，根据不等关系可判断出点与椭圆的位置关系. 【详解】，所以，点在椭圆内. 故选：A. 【点睛】本题考查点与椭圆位置关系的判断，考查推理能力与计算能力，属于基础题. 3．A 【分析】根据离心率公式，分别求出四个椭圆的离心率，比较大小，分析即可得答案. 【详解】椭圆的离心率，则， 选项A：，离心率， 选项B：，离心率， 选项C：，离心率， 选项D：，离心率， 所以， 因为e越小，椭圆越接近圆，所以这四个椭圆中，更接近于圆的为. 故选：A 4．C 【分析】由为直角三角形，分直角的三种情况，分别得出符合要求的点，可得选项. 【详解】当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点； 当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点； 当为直角时，因为椭圆中，所以这样的点有2个，如下图中的点， 所以符合条件为直角三角形的点有6个， 故选：C.    【点睛】本题考查椭圆的标准方程和椭圆的简单的几何性质，注意对条件分类讨论，属于基础题. 5．C 【分析】根据椭圆的右焦点为，且离心率为，求出椭圆方程，由三角形的三个顶点都在椭圆上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为，且离心率为， 所以，，解得 ， 所以椭圆方程为， 设 ， 则， 两式相减得：，即， 即， 同理，，， 又直线､､的斜率之和为1， 所以，，故C正确. 故选：C. 6．D 【分析】由已知和面积得到，，对进行化简，配方求最值. 【详解】由已知的，故.∵的面积为， ∴，∴.又∵， ∴，，∴， 又，∴， ∴.∴的取值范围为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质，以及配方求最值的问题. 7．A 【分析】对于A：先利用双曲线的标准方程得到，再利用椭圆中的进行判定；对于B：利用切线长性质和双曲线的定义得到，再结合进行求解；对于C：先利用双曲线和椭圆的定义得到、的关系式，再利用和离心率公式进行求解；对于D：利用勾股定理得到，进而求出椭圆的方程. 【详解】对于A：由可得， 所以，即选项A错误； 对于B：设的内切圆的圆心为I， 且圆与边、、相切于N、M、K， 可得，，， 又因为， 所以， 又，解得，． 可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，即选项B正确； 对于C：在椭圆中，，， 则． 由，得 ，解得a＝3． 则的离心率，即选项C正确； 对于D：因为，， 则，． 若，则． 又c＝2，，解得，． 则椭圆的方程为，即选项D正确． 故选：A. 8．A 【分析】先计算，计算得到答案. 【详解】椭圆焦点坐标为， ，当共线和共线时等号成立 故选： 【点睛】本题考查了椭圆距离的最值问题，将距离转化为到圆心的距离是解题的关键. 9．AB 【分析】利用椭圆的方程和椭圆的定义结合性质逐一考查每个选项即可. 【详解】设，则，. 对于A，有， ，故A正确； 对于B，有， 且当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，有 ，故C错误； 对于D，此时 ，所以. 从而，故D错误. 故选：AB. 10．CD 【分析】求出离心率可判断A；计算面积的最大值可判断B；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C；设进行数量积的坐标运算结合可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由椭圆可知，，，， 所以左、右焦点分别为，，离心率，故选项A错误； 对于B：，当点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大， 所以面积的最大值为，故选项B错误； 对于C：以线段为直径的圆的圆心，半径为1， 由圆心到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故选项C正确； 对于D：设，， ，则的最小值为， 故选项D正确； 故选：CD． 11．14 【分析】借助椭圆定义即可得. 【详解】由，则，由在椭圆上，故有, 又，所以. 故答案为：. 12． 【分析】根据题意结合几何性质分析可知，进而可得，根据椭圆定义列式求离心率. 【详解】因为，则， 又因为，则，即， 且四边形是等腰梯形，，则， 可得， 因为，则， 又因为，即， 所以椭圆C的离心率. 故答案为：. 13． 【分析】先利用椭圆定义，结合，用，表示，，再将表示后的焦半径代入或，得到关于的不等式，最后结合椭圆离心率，取交集得最终范围. 【详解】因为，且，代入得： ，，即， 则：， 因为椭圆上的点到焦点的距离范围为（，且）， 则的范围：，将代入， 两边同时除以得： 该不等式可拆分为和， 当时：因 ，，且 ，故该不等式恒成立， 当时，得，解得（负根舍去）， 结合椭圆离心率，可得. 所以离心率的取值范围：. 故答案为：. 14． 【分析】利用椭圆的定义设出焦半径，结合勾股定理列方程组，求得离心率. 【详解】如图，延长，交椭圆于点，连接. 设由知且， 由椭圆的定义可知. 又所以，所以所以由椭圆的定义可知. 因为， 所以在中，由勾股定理得即.① 在中，由勾股定理得即整理得. 将代入①式得，整理得，所以离心率. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的离心率和焦距求出、，再通过、、的关系求得，进而得到椭圆的标准方程. （2）联立直线与椭圆方程得到一元二次方程，借助韦达定理结合斜率乘积的条件求出，再利用弦长公式计算弦长. 【详解】（1）∵椭圆：的离心率为，故， 又焦距为，故，即有，，则， ∴椭圆的方程为； （2）联立，消去整理得， 由，则， 设，，则，， 故， 则， 化简得，即，满足， 故. 16．(1)； (2)，. 【分析】（1）由题意可得，再结合，即可求得,从而求得椭圆的标准方程； （2）（i）由直线与椭圆联立方程组，把四边形的面积转化为，代入韦达定理即可求得的表达式，从而求得的最大值； （ii）直线的斜率，直线的斜率，代入韦达定理化简整理可得的值为常数． 【详解】（1）设椭圆标准方程为，则由题意可得： ，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2） （i）把代入椭圆，解得， 所以可得点的坐标为，，则， 设直线的方程为，设点， 联立，整理得：， 由，可得. 由韦达定理知：，， 四边形的面积， 故当时，； （ii）由题意知，直线的斜率，直线的斜率， 则 . 所以的值为常数． 17．(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据椭圆离心率及所过点列出方程组求解即得. （2）由（1）求出点坐标，再利用斜率坐标公式计算得解. （3）根据给定条件，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由（1）得，直线的斜率， 所以直线的斜率之和为. （3）由直线过点，且交椭圆于两点，得直线的斜率存在， 当直线的斜率为0时，其方程为，不妨令点，由（2）知； 当直线的斜率不为0时，设其方程为，， 由消去并整理得， ，解得或，， 因此 ， 所以为定值. 18．（1）；（2）证明见解析；定点为. 【分析】（1）采用待定系数法，结合离心率、椭圆所过点和关系构造方程组即可求得结果； （2）将直线方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；根据，利用平面向量数量积的坐标运算和韦达定理可化简整理得到或，代入直线方程可得所过定点. 【详解】（1）设椭圆方程为：，焦距为， 由得：，椭圆的标准方程为：； （2）由得：， 则，整理可得：； 设，，则， ； 以为直径的圆过椭圆的右顶点，设其右顶点为，则，， 即， 或，解得：或，满足； 当时，，恒过定点，与不是左右顶点矛盾，不合题意； 当时，，恒过定点，满足题意； 综上所述：直线恒过定点. 19．(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据焦点三角形的面积和点坐标求解出的值，则的值可求，故椭圆的标准方程可知； （2）当直线的斜率不存在时，直接分析即可；当直线的斜率存在时，设出的方程并与椭圆方程联立得到横坐标的韦达定理形式，将斜率关系转化为坐标运算，从而求解出直线方程中参数的关系，由此可求直线所过的定点. 【详解】（1）因为点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为，所以且， 所以，，所以， 所以椭圆的标准方程：； （2）设， 当直线的斜率不存在时，则， 由， 解得，此时，故重合，不符合题意， 所以直线的斜率一定存在，设不经过点的直线方程为：， 由得， 且，即， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，即， 化简可得：， 因为，所以， 所以， 所以直线必过定点． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法： （1）若设直线方程为或，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为之间的线性关系，再用替换或用替换代入直线方程，则定点坐标可求； （2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $