复习篇 06 圆锥曲线定点问题 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

06 圆锥曲线定点问题 【题型1】 某直线(或曲线)过定点 【基础知识】 1 定点问题的含义 其实我们早已接触过了定点问题 ① 指数函数过定点， 理由是：当时，不管取什么数，都有，故其过定点； ② 直线方程点斜式:斜率为，过点的直线方程为； 那直线，由于斜率不确定，它表示的不是一条确定的直线，而是“直线 簇”，但过定点，与的取值无关； 2 求定点问题的方法 ① 方程恒成立法 先求出满足特定条件的方程其中是变量，是参数，再证明当时，不管取任何值方程恒成立； ② 特殊值法 通过特殊情况确定定点(一个也可能多个)，再证明它们满足特定条件. ③ 几何法 通过平几知识点，确定某点符合某种运动规律. 【经典例题】 【例1】（2023·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【例2】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的上、下顶点分别为，其右焦点为F，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若点，在直线BP上存在两个不同的点满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线． 【巩固练习】 1（21-22高二上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线上两点A、B满足（O为坐标原点），且A、B分处对称轴的两侧，则直线AB过定点（       ） A．（5，0） B．（1，0） C．（3，0） D．（2，0） 2（22-23高二上·新疆·期中）已知椭圆为椭圆的右顶点，直线交于两点，且，则恒过除点以外的定点（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·全国·课后作业）如图，抛物线方程为，过原点作互相垂直的两条直线，，分别交抛物线于，两点，求证：直线必过定点，并求出定点坐标. 4（22-23高三上·浙江绍兴·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点. 【题型2】 存在定点满足某条件问题 【经典例题】 【例1】（2021·福建福州·二模）已知直线与抛物线交于，两点.若点满足，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【例2】（24-25高二上·湖南永州·期中）已知椭圆的右焦点，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点作直线与椭圆交于，两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由. 【巩固练习】 1（21-22高二下·河南南阳·阶段练习）已知为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，若在轴的负半轴上存在定点，使得，则（    ） A． B． C． D． 2（2023·河南新乡·三模）在平面直角坐标系中，双曲线：与圆：相切，，，若圆上存在一点满足，则点到轴的距离为（  ） A． B． C． D． 3（2023高三·全国·专题练习）已知分别为椭圆E：的左、右顶点，直线过定点．求证：直线的交点的轨迹是定直线 4（22-23高三上·四川内江·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点． (1)求抛物线C的方程； (2)已知直线与抛物线C交于A，B两点，在抛物线C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别于y轴交于M，N两点，且，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5（24-25高二上·上海·期中）动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 6（24-25高一上·广西柳州·期中）双曲线E的实轴两端点记为，以右焦点F为圆心，半径为的圆与渐近线相切. (1)求双曲线E的方程. (2)过点F任意作直线交曲线E于同支两点记为A，B.点O为坐标原点，求面积的最小值. (3)过点F作直线交曲线E于异支两点记为C，D.设直线分别与直线，x轴相交于点M，T.问：在实轴上是否存在定点T使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由. 【A组---基础题】 1（2024·黑龙江哈尔滨·一模）直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，若直线，的斜率，满足，则一定过点 A． B． C． D, 2（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆：，点，，且，则“上存在点使”是“以为直径的圆与椭圆存在公共点的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不必要也不充分 3（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 5（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（    ） A． B． C． D． 6（2024高二下·云南曲靖·学业考试）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 7（23-24高三下·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 8（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【B组---提高题】 1（24-25高二上·安徽阜阳·期中）极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）. (1)求极线的方程； (2)求证：； (3)已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 06 圆锥曲线定点问题 【题型1】 某直线(或曲线)过定点 【基础知识】 1 定点问题的含义 其实我们早已接触过了定点问题 ① 指数函数过定点， 理由是：当时，不管取什么数，都有，故其过定点； ② 直线方程点斜式:斜率为，过点的直线方程为； 那直线，由于斜率不确定，它表示的不是一条确定的直线，而是“直线 簇”，但过定点，与的取值无关； 2 求定点问题的方法 ① 方程恒成立法 先求出满足特定条件的方程其中是变量，是参数，再证明当时，不管取任何值方程恒成立； ② 特殊值法 通过特殊情况确定定点(一个也可能多个)，再证明它们满足特定条件. ③ 几何法 通过平几知识点，确定某点符合某种运动规律. 【经典例题】 【例1】（2023·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【答案】D 【分析】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点. 【详解】设，则，， 由于，故过点的切线方程为， 即，即， 同理可得过点的切线方程为， 设，过点的两切线交于点， 故，整理得， 同理，整理得， 故直线的方程为， 斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确. 故选：D 【例2】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的上、下顶点分别为，其右焦点为F，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若点，在直线BP上存在两个不同的点满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合数量积的运算律可得，进而求出得椭圆方程. （2）设，由可得，再设出直线MN的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理及，求解得直线MN的方程为即可推理得证. 【详解】（1）依题意，，设，由，得， 则，即， 而，因此， 所以椭圆C的方程为. （2）    由点，，得，则， 设，则，， 于是，即， 依题意，直线MN的斜率存在．设直线MN的方程为，， 由消去得， 则， 由直线AM过点，得，即，解得， 同理得，则 整理得，因此， 即， 由M，N异于点A，得直线MN：不过点，即， 于是，即， 则直线MN的方程为，即恒过点， 因此P，M，N三点共线. 【巩固练习】 1（21-22高二上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线上两点A、B满足（O为坐标原点），且A、B分处对称轴的两侧，则直线AB过定点（       ） A．（5，0） B．（1，0） C．（3，0） D．（2，0） 【答案】A 【分析】设，，得到：，再由求得代入判断. 【详解】解：设，， 则：. 即， 又因为， 解得（舍）或， 则直线过点， 故选：A. 2（22-23高二上·新疆·期中）已知椭圆为椭圆的右顶点，直线交于两点，且，则恒过除点以外的定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若直线的斜率存在，设直线为，与椭圆联立，结合韦达定理得到，进而可求出结果，注意检验斜率不存在时即可得出结论. 【详解】椭圆为椭圆的右顶点，所以， 由题意知：若直线的斜率存在，设直线为， 则，联立可得， 设，则， ， 因为，即，则， 即 ， 即，因此， 即，所以直线过定点，不符合题意，舍去； ，所以直线过定点，符合题意； 当直线的斜率不存在时，直线为，此时设， ，符合题意，故直线恒过除点以外的定点， 故选：A. 3（24-25高二上·全国·课后作业）如图，抛物线方程为，过原点作互相垂直的两条直线，，分别交抛物线于，两点，求证：直线必过定点，并求出定点坐标. 【答案】证明见解析，定点. 【分析】法一：当直线的斜率不存在时，设，，，将代入抛物线方程求解；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与抛物线方程联立，由求解；法二：设直线方程为，与抛物线方程联立求得点A的坐标，由，得到点B的坐标，写出直线AB的方程求解. 【详解】证明：法一： 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，由已知可得. 设，， 由得， ， 从而.由已知， 即， 即，满足. 所以直线的方程为， 则直线恒过定点. 当直线的斜率不存在时，设，，， 将代入抛物线方程中， 解得（舍去），所以，， 直线的方程为，也过点. 综上，直线必过定点. 法二： 由已知可以确定，斜率存在且不为0， 设直线方程为， 由得. 同理，由于，以替换得. 令，解得. 当直线斜率不存在时，直线的方程为. 当直线的斜率存在时，直线的方程为，即， 所以直线恒过定点. 综上，直线必过定点. 4（22-23高三上·浙江绍兴·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，进而根据的关系即可求解， （2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，根据两点坐标求解直线的方程，即可求解过定点. 【详解】（1）由题意，设右焦点的坐标为， 双曲线的渐近线方程为：， 右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得， 又因为，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）当直线的斜率不为0时，设，则 联立方程组，得 整理得：. ，且 ，, ，令得， ， 直线过定点. 当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点. 综上：直线过定点. 【题型2】 存在定点满足某条件问题 【经典例题】 【例1】（2021·福建福州·二模）已知直线与抛物线交于，两点.若点满足，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】直线方程与抛物线方程联立，根据直角的性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】直线与抛物线联立得：， 设，所以， 点满足，所以有： ， 所以解得， 故选：C 【例2】（24-25高二上·湖南永州·期中）已知椭圆的右焦点，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点作直线与椭圆交于，两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）不存在，理由见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义及性质可求得结果； （2）（i）先考虑斜率不存在时，不满足题意，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，求出弦长，再根据三角形的面积可求出结果；（ii）根据菱形对角线互相垂直平分可构造出等式，即可求得结果. 【详解】（1）由题可知，左焦点， ，， ，， 故椭圆的标准方程为； （2）（i）由题设，斜率不存在时，，不符题意， 设方程为，，，， 由， ，， ， 原点到直线的距离， ， 解得：直线方程为：或； （ii）设的中点为，则为的垂直平分线， 而，， 故，故， 故的直线方程为：， 令，则，故，， 而在椭圆上，故， 整理得，该方程无解，所以不存在满足条件的点. 【巩固练习】 1（21-22高二下·河南南阳·阶段练习）已知为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，若在轴的负半轴上存在定点，使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，按和分类讨论，时，结合正切的二倍角公式求得值，从而得正确选项． 【详解】由题知.设，当时，因为，所以，所以，所以，即. 当时，，. 因为，所以. 将代入并整理得，由解得. 故选：A． 2（2023·河南新乡·三模）在平面直角坐标系中，双曲线：与圆：相切，，，若圆上存在一点满足，则点到轴的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得联立双曲线：与圆：消去则判别式为0，进而求得，再结合双曲线的几何意义，并结合韦达定理求解即可. 【详解】联立双曲线：与圆：，消去 得 ∵双曲线与圆相切， ∴判别式，， 易知 分别为双曲线的左右焦点，又， 故由双曲线的定义知在双曲线上，且为右切点， 由韦达定理得 即点到轴的距离为 故选：A 3（2023高三·全国·专题练习）已知分别为椭圆E：的左、右顶点，直线过定点．求证：直线的交点的轨迹是定直线 【答案】证明见解析 【详解】由例题可得，记直线的斜率为，， 令直线直线， 联立得．    4（22-23高三上·四川内江·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点． (1)求抛物线C的方程； (2)已知直线与抛物线C交于A，B两点，在抛物线C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别于y轴交于M，N两点，且，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）首先设抛物线，再代入即可. （2）首先联立抛物线和直线得到，设，，，根据题意得到，再利用根系关系即可得到答案. 【详解】（1）∵平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴， 设抛物线， 因为经过点，所以 故抛物线的方程为． （2）如图所示： 由可得， 设，， ∵，∴，且，． 设抛物线C上存在点，使得直线，分别于y轴交于M，N两点， 且，则，． ， ∴，即，， 故存在点，使得成立． 5（24-25高二上·上海·期中）动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在点，使得. 【分析】（1）利用点到直线与直线的距离之积等于建立方程，化简即可得到结果. （2）假设存在点，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及题目条件得到点坐标满足的关系式，利用点在双曲线上即可得到结果. 【详解】（1）因为动点到直线的距离为，动点到直线的距离为， 所以，化简得， 因为，所以，所以， 所以的方程为. （2）    存在，使得，理由如下： 由得，， 由得，且. 设，则，故. 由题意得，. 设存在点满足，则, 所以. 因为点在上，所以， 化简得，解得或（舍）， 因为，所以，故，即， 所以存在，使得. 6（24-25高一上·广西柳州·期中）双曲线E的实轴两端点记为，以右焦点F为圆心，半径为的圆与渐近线相切. (1)求双曲线E的方程. (2)过点F任意作直线交曲线E于同支两点记为A，B.点O为坐标原点，求面积的最小值. (3)过点F作直线交曲线E于异支两点记为C，D.设直线分别与直线，x轴相交于点M，T.问：在实轴上是否存在定点T使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，列出等式得出即可求解; （2）对直线 斜率进行讨论，通过弦长公式法算出和点到直线的距离公式算出坐标原点到直线的距离即可求解； （3）设直线的方程，与双曲线的方程联立，由等式成立，可得为的角平分线，可得直线的斜率之和为0，求出直线的斜率之和的代数式，利用韦达定理整理可得参数的值. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为 ，焦点， 则以右焦点F为圆心，半径为 的圆的方程为， 双曲线的渐近线方程为， 根据圆与渐近线相切得， 焦点到渐近线的距离，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知    当直线 斜率不存在时，令，代入中得，即， 所以, 当直线 斜率存在时，设直线的方程为，， ，消去并整理得，， 根据根与系数的关系得， 因为直线交曲线E于同支两点记为A，B， 所以 ，解得或， 因为到直线的距离， 所以 , 其中. 综上所述，当直线 斜率不存在时，面积最小，面积为. （3）由过点F作直线交曲线E于异支两点，得直线的斜率存在，且斜率不为0，    设直线的方程为，其中或， 因为恒成立，即,得为的角平分线， 设,假设存在, 联立，整理可得：， ， 因为，所以， 整理可得， ， 即， 因为，整理可得，即， 综上所述，在实轴上存在定点使恒成立，对应定直线是. 【A组---基础题】 1（2024·黑龙江哈尔滨·一模）直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，若直线，的斜率，满足，则一定过点 A． B． C． D, 【答案】A 【详解】试题分析：设直线的方程为，由方程组得，设，，则，由得 ，整理可得：，所以，所以直线一定过点，故选A. 考点：直线与抛物线的位置关系. 2（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆：，点，，且，则“上存在点使”是“以为直径的圆与椭圆存在公共点的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不必要也不充分 【答案】A 【分析】根据可得在以为直径的圆，即可判断充分性，举反例即可判断不必要性. 【详解】由题，即在以为直径的圆上且不与，中任意一点重合，故为充分条件， 当时，以为直径的圆与椭圆公共点为，，不符合题意，故不是必要条件. 故选：A 3（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两个已知点在直线上，代入直线方程得出，然后简化直线PT的直线方程为，从而得解. 【详解】由题意，斜率都存在， 设，，， 直线l的斜率， 直线l方程：，化简得 同理直线QT方程：，直线PT的方程：， 点，分别代入直线QP，QT方程， 即，消除，得， 代入直线PT方程：，得， 直线PT过定点. 故选：C 4（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在时，将P、Q坐标代入椭圆方程，结合，可得，再引入参数线段PQ中点的纵坐标，用其表示出，再得线段PQ的垂直平分线的方程，分析即可求解. 【详解】因为，在椭圆上， 且，当时，由， 得， 设线段PQ的中点为，所以， 所以线段PQ的垂直平分线的方程为， 即，该直线恒过定点 当时，线段PQ的垂直平分线也过定点， 故线段PQ的垂直平分线恒过定点 故选：A． 5（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的方程为，联立双曲线利用代数式恒成立即可求解PQ恒过定点时b的值，即得定点. 【详解】设的方程为,则由 设 又， ，又 代入整理得： 或 当，直线过，舍去 当b=3时，过定点 故选：C 【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线综合，考查了学生转化与划归，数学运算得能力，属于中档题. 6（2024高二下·云南曲靖·学业考试）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的定义即可求解； （2）设直线的方程为，,，,，利用韦达定理及可得，，，进一步求出的中点坐标，然后求出直线的方程即可求解． 【详解】（1）由题可知，动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线， ， 曲线的方程为； （2）设直线的方程为，,，,， 直线与抛物线联立：， 消去化简得，则，即， ，，又，即， 又， ，即， 设点为的中点，则， 直线的方程为， 令，则， 故点为定点，坐标为． 7（23-24高三下·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可得，据此可求得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，后由韦达定理结合，可得m与k的关系即可得直线恒过的定点. 【详解】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，，∴椭圆的方程为. （2）联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 8（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在， 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出即可得解； （2）由题意可将原问题转换为，设直线的方程为：，，联立椭圆方程，结合韦达定理可求得的值即可. 【详解】（1）∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． （2）    由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，，，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 【B组---提高题】 1（24-25高二上·安徽阜阳·期中）极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）. (1)求极线的方程； (2)求证：； (3)已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析；定点 【分析】（1）由长轴长与抛物线焦点得，进而求出椭圆方程； （2）设直线，联立椭圆方程，由韦达定理可得，，利用将斜率坐标化，利用韦达定理代入坐标关系化简求证可得. （3）设，由（2）结论可先证三点共线得到，用表示，由点斜式方程得，再证明不受的影响恒过定点可得. 【详解】（1）由椭圆的长轴长为， 则，解得， 又因为椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合， 所以，解得. 所以椭圆的方程为. 由题意可知，对于椭圆， 极点对应的极线的方程为，即. （2）证明：设，由题意知过的直线的斜率必存在， 故设直线，， 联立方程，消去得， ， ，即， 所以，， 则 . 又，所以，得证.    （3）当中有横坐标为时，纵坐标为， 则或， 直线或与椭圆相切，不符合题意，所以的斜率都存在. 由（2）得，，又， 所以，所以是和的交点. 因为，所以，设， 则，所以，直线的方程为， 即， 令得，所以恒过定点.    【点睛】关键点点睛：解决该题的关键点有三个.一是理解极点坐标与对应极线方程的关系，确定好极线；二是斜率坐标式的变形，将运算转化为即的对称形式，从而应用韦达定理证明斜率关系式成立；三是（2）问结论的应用，应用结论得到，用参数表达及直线的方程，从而解决直线过定点问题. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$