2025-2026学年安徽省蚌埠市高中高二上学期数学期末练习A卷

2025-2026学年度蚌埠市高中第一学期期末练习A卷 高二 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．本试卷考试内容：人教A版：选择性必修第一册，选择性必修第二册。 5．本试卷总分150分 ，答题时间120分钟。 一、单选题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量，若与互相垂直，则实数（▲） A．0 B．1 C．2 D． 2．已知，则（▲） A．1 B．2 C． D． 3．记为正项等比数列的前项和，若，，则（▲） A．6 B．9 C．12 D．15 4．“”是“直线和直线平行”的（▲） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（▲） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．在正四棱柱中，，，点，分别为正方形与正方形的中心，E为的中点，点M为线段上的动点，则当点M到平面的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为（▲） A． B． C． D． 8．已知双曲线，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，l与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（▲） A．2 B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部先对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下面四个结论正确的是（▲） A．若三个非零空间向量满足，则有 B．若空间四个点，，则三点共线． C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知向量，，若，则为钝角． 10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（▲） A． B．为的最小值 C． D．使得成立的的最大值为33 11．在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，，为上任意一点，经过点的直线与交于，两点，则（▲） A．到的准线的距离为2 B．的最小值为1.5 C．的方程为 D．的面积可以为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知为正实数，设直线的斜率为，直线的斜率为，且与交于轴外一点，若，与轴围成一个等腰三角形，则的所有可能的取值集合为 ▲ . 13．已知分别为双曲线的左､右焦点，在上，其中在第一象限，在第二象限，直线过，且关于直线对称，则四边形的面积为 ▲ . 14．下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数列，每行的第个数从上到下形成以为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第行所有数据的和 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆的圆心在直线上，且圆过点. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于A，两点，当时，求直线的方程. 16．（15分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，． (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．（15分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面.且是以为直角顶点的等腰直角三角形. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 18．（17分）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求； (2)若在上有两个零点，求的取值范围； (3)若，过点向曲线作切线，求切线的方程． 19．（17分）已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程. (2)过点的直线与椭圆交于， （异于点）两点，分别记直线 ，的斜率为，. ①当直线的斜率为时，求的面积; ②求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度蚌埠市高中第一学期期末练习A卷 高二数学 参考答案 题号 2 3 4 分 6 8 9 10 11 答案 D B C B A D B BC AC BC 13.16 14.3-2" 95 15.解：（1)点(3,1)(6,4)中点坐标为： 2'2, 两点连线斜率为4}=1， 6-3 则两点连线巾垂线斜率为-1，故这两点中垂线方程为：，3=(：-)→+=7。 将中垂线方程与2x-y-2=0联立， x+y=7 x=3 2x-y=2y=4' 即圆心坐标为3,4)，则半径r=3-32+(1-4=3, 故圆的标准方程为：(x-3)2+(y-4)2=9. (2)设直线1到圆心距离为d,由垂径定理，2P2-d2=A.则2V9-d2=2√5→d=2. 当直线1斜率不存在时，方程为x=1,到圆心3,4)距离为2，满足题意； 当直线斜率存在时，设y=k(x-)+1,由其到圆心距离为2，结合点到直线距离公式，可得 2k-3引=2之42+912k=42+4→k三 Vk2+1 则此时，直线方程为y=3x-刂+1→5x-12y+7=0, 故直线方程为：x=1或5x-12y+7=0 16.解：(1)由已知得a+b=a+2d+b9=1+2d+q=7①， 2a2-b=2(a,+d)-b92=2(1+d-q2=2②， 联立①②，得q2+9-6=9+3)9-2)=0,解得q=-3或9=2， 因为{bn}是各项都为正数的等比数列，所以9=2，代入①式可得d=2, 所以an=1+2(n-1=2n-1,bn=2-1. (2)由题意及(1)及c,=a,V3a，故c,=(2n-1V32=(2m-13”, :.T=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1×3”, 3Tn=1×32+3×33+…+(2n-3)×3”+(2n-1×31, 两式相减得-2Tn=3+2(32+3++3”）-(2n-13 =3+2 91-3-2m--3=-6+2-2m3 1-3 Tn=3+(n-13+1 17.解：(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD, 又CD⊥AD,CDC面ABCD,所以CD⊥平面PAD (2)取AD中点O,连接OP,OD, 因为△PAD是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则PO⊥AD, 由(1)知CD⊥平面PAD,又POC面PAD,所以PO⊥CD, 又AD∩CD=D,AD,CDC面ABCD,所以PO⊥面ABCD, 又AD=CD=2BC=2,且AD//BC,又OD=1,所以四边形OBCD为平行四边形， 所以OB/ICD,则OB⊥面PAD,又ADC面PAD,则OB⊥AD, 建立如图所示的空间直角坐系， 又PA=PD=√2，所以PO=√2-1=1， D 则A1,0,0),B(0,2,0),C(-1,2,0),P(0,0,1, B 所以PB=(0,2,-1,PA=(1,0,-1,PC=（-1,2,-1, PB.i=2y-z=0 设平面APB的一个法向量为万=(x,y,2),则 PA·i=x-z=0 取x=2,得y=1,z=2,所以i=（2,1,2), PB.i=2b-c=0 设平面CPB的一个法向量为m=(a,b,c,则 PC.ii=-a+2b-c=0 取b=1,得x=0,c=2,所以m=(0,1,2), 元m1+4V5 所以cosi,m= m3×√53 设三面角A-PB-C的大小为0，则sim6=-c0s元，m三-)-} 18.解：(1)因为f(x)=2e"-ax2,所以f'(x)=2e-2ax. 2e-a=-a-b a=0 因为f()=2e-a,∫'(l)=2e-2a,所以 2e-2a=-b，解得 b=-2e (2)因为∫(x)在(0，+0)上有两个零点， 所以关于的方程公-0=0有两个不同的根 等价于直线y=a与曲线y= 之有两个交点 令g(x)= 2g,则g)=2e(-2),由g'>0,得x>2, 由g'(x)<0,得0<x<2, 所以g(x)在(0,2)上单调递减，在[2，+0)上单调递增. 因为g0m=g(2)=g，且当x0时，g→+，当→+g时，g→+m, 2 所以a的取值范围是 2,0 (3)因为a=2,所以f(x)=2e-2x2,f'(x)=2e-4x. 设切点为x,2e-2x),则切线方程为y-（2e-2x)=2e-4x)(x-), 将点(0,2)代入，整理得(，-1(+1-e）=0. 令h(x)=x+1-e,则h'(x)=1-e,在x∈(-o,0)时，h(x)>0,xe(0,+o)时， h'(x)<0, 所以h(x)在(-oo,0)上单调递增，在(0，+oo)上单调递减，所以h(x)max=h(0)=0. 因为方程x+1-e=0有唯一的根0，所以方程(。-1)(x+1-e)=0的根为x。=1或x。=0 当x=1时，切线方程为(2e-4)x-y+2=0; 当x。=0时，切线方程为2x-y+2=0. 综上切线方程为：(2e-4)x-y+2=0或2x-y+2=0. 19.解：(1)由已知椭圆的离心率为V3 即C= 1 ,化简可得a=2b, a 2 则椭圆方程为 463 方1，X隔圆过友P2,期+=1，解得6-3， 则椭圆方程为女+ .y2 =1; 82 (2)设Ax,y),B(x2,y2, Y ①由已知可得直线：y+2=-(x-4),即y=-x+2, x2y2 =1 联立直线与椭圆82，消去y可得5x2-16x+8=0, y=-x+2 16 8 则x1+X2= 5 ，XX2= 5 则18+-4-5 2-4x8_85 55 又点P到直线的距离d= 2+1-2_√2 1+(-1 22 所以5w-分hd-26。 ②设PA:y-1=kx-2),即y=kx-2k,-1 82 联立直线PA与椭圆 y=kx-(2k-1 消去y可得1+4k)x2-8k(2k-1)x+16k-16k,-4=0, 则△=[-82%--4+4016-16所-4到=16124+1>0，解得名- 且x+xp 8k(2k-1 1+4K2 ,4,-16-16-4,又5，=2，则x 8k2-8k,-2 1+4k2 1+4K2 所以k0=当+2--(2%-+2_4-4k+3 x1-4 x1-4 -8k2-8k-6 同理可设PB:y-1=k,-2),即可得k0=8号-8k,-6 4K-4k2+3 又Q,A,B三点共线，则kA0=k0, 甲指能主然+，化有网得5点手即kk -8k2-8k1-6-8k3-8k2-6 所以4k+k≥24kk2=23, 组仅当4=k,即k三3时等号成立 又k≠-2所以当且仅当k=± 5时等号成立， 综上所述4k,+k,的最小值为23，2025-2026学年度蚌埠市高中第一学期期末练习A卷 高二数学 参考答案（解析版） 题号 1 3 5 6 P 10 11 答案 B D B C B A D B BC AC BC 1.B 【详解】因为a与b互相垂直， 所以a.b=1×(-1+0×1+1×k=0, 解得k=1. 2.D 【详解】由fx到=c0x，可得=-sincos_ sinx sin2x sin2x 1 所以八4 =-2 4 3.B 【详解】设正项等比数列{an}的公比为q, 由题意知，q≠1， 所以S,S6-S3,S,-S6成等比数列， 所以(S6-S3)2=S,(S,-S6),即(S6-3)2=3(21-S6), 解得S6=9(舍负). 4.C 【详解】当a≠±1时，直线axr+(a+1y=0和直线2ax+1-a)y+1=0平行 分--2a且0*1 分a=0或a= a+1a-1a+1a-1 当a=1时，直线ax+(a+1y=0和直线2ax+1-ay+1=0不平行； 当a=-1时，直线axr+(a+l)y=0和直线2ax+(1-a)y+1=0不平行. 所以a=-}是直线ar+(a+1y=0和直线2ar+1-ay+1=0平行的充 3 分不必要条件」 5.B 【详解】抛物线x2=2py的准线方程为y=-2, 点M(x,5)到直线y=-的距离为5+P 2 因为点M(x,5)与焦点F的距离为3p, 所以5+=3p, 所以p=2. 6.A 【详解】设3x-4y=t, 问题可转化为直线3x-4y-t=0与圆(x-2)2+y2=4有公共点. 6-t 由+-4 ≤2，得-4≤1≤16，所以3x-4y的取值范围为-4,16]， 7.D 【详解】以D为原点，以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐 标系， 则A2,0,0),01,1,0),C(0,2,0),B2,2,4,O(1,1,4), 因为公为08南半成，所以2 则c=（32,c0-l-14,0=204. 设平面CEO,的一个法向量为元=(x,y,z,则 2y+22=0 C0·n=x-y+4z=0 取y=4,则方=(0,4,1)， 设DM=kDA=(2k,0,-4k)(k∈[0,1)，所以 DM=DD+DM=(2k,0,-4k+4, 所以CM=(2k,-2,-4k+4), n.CM 点M到平面CEO,的距离d= 4k+4 园 √17 当k=1时，即M与点A重合时，点M到平面CEO的距离最大， 此时CM=(2,-2,0), CM.n 8 2V34 直线CM与平面CEO,所成角的正弦值为 CM V17×2√217 8.B 【详解】 右焦点F(c,0,一条渐近线为bx-ay=0, bc=b, F到bx-ay=0的距离为 即AF=b,OF=c,OA=a, 由于AB=4AF,所以BF=3b, 由于∠FOA=∠FOB, 由正弦定理得 AF O4 BF OB sin∠OA sin∠OFA'sin∠FOB sin∠OFB 而sin∠OFA=sin∠OFB, OA AF a 所以oBBF'Va+(4b 3b31 9.BC 【详解】对于A中，若非零空间向量a,b,c满足a⊥b,b1c,不一定满足 a/元，所以A不正确； 对于B中，因为PC=PA+3PB,则PC-PA=3PB-3PC,即 4 4 4 4 4 AC=3CB, 又因为AC与CB有公共点，所以A,B,C三点共线，所以B正确； 对于C中，由{a,b,c是空间的一组基底，且m=a+c, 令m=xa+yb,可得xa+yb=d+c,此时方程组无解，所以a,b,d+c不共 面， 所以{ā，b,m可以作为一个空间基底，所以C正确： 对于D中，若a,b为钝角，则a.b<0,且a与b不共线， 3 由a.b=-3+x+9x<0,解得x< 1=1=父，解 当时ā与万平行时，由3g 10 得x=-3, 当石与石不共线得x≠-3，所以当x<3且x≠-3时，a,石为钝角，所以D错 10 误 10.AC 【详解】因为Sn=-n2+33n, 当n=1时，a1=S1=32, 当n≥2时，Sn1=-(n-1)2+33(n-1, 所以a,=S。-Sn1=-n2+33n--(n-1)2+33(n-10=-2n+34, 经检验a,=32也符合上式，所以an=-2n+34,故A正确， 33 由于二次函数y=-x2+33x的开口向下，对称轴为x= =16.5, 2 所以当n=16或n=17时Sn取得最大值，即S6是Sn的最大值，故B错误. 由an=-2n+34≥0解得1≤n≤17，neN, 所以a+a2+…+a0=a+a2+…+a6+a,-as-ag-a0 =2(a1+a2+…+a6+a7)-(a1+a2+…+a6+a,+as+ag+a20 =-S20+2S1,=--202+33×20)+2(-17+33×17=284,故C正确. 由Sn=-n2+33n=-n(n-33)>0→1≤n<33,neN, 所以使Sn>0成立的n的最大值为32，故D错误。 11.BC 【详解】由抛物线标准方程y2=2x可知：F的坐标为 C的准线方程 1 为x=一 2 所以F到C的准线的距离为1，所以A错误； 由抛物线的定义，过R作准线的垂线，垂足为R'，所以 hR+N-hR-leT1+号 当且仅当A,R,R三点共线时等号成立，所以B正确： 设P(xy,),(xgy,),由题可知y2=2x,y后=2xg,当x,≠x,时，两式 作差可得， y-45 所以ke=。业-2 ,所以直线P四的方程为y-y,= 2—(x-x) xp-xg yp+ya y+ya 整理得，（yp+g)y=2x+yyg 当x,=xg时，yp=一yg,此时直线PO的方程为x=xp, 把，=-少，代入(，+，小y=2x+y,,得，x=-2, 2 所以x 2x2,即x=Xp 综上，直线P四的方程为yp+yg)y=2x+y,所以C正确； y2=2x, 设直线：x=+号P小气). 1→y2-2y-1=0, x=y+2 得△=(2)2+4=4t2+1>0,由韦达定理可知：yy,=-1,yp+yg=2t, 所以 Swo,-=,+-4=2+4P+i 所以当且仅当1=0时，△PO0的面积取得最小值为)，所以△POQ的面积不 可以为兮所以D箭误， 【详解】 设直线l与直线12的倾斜角为，B, 因为k为正实数，所以α，B均为锐角， 因为直线1,1，与x轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况， A4 1)a=2B时，tana=tan2B=,2tanB 1-tan2B 所以k= 因为k>0,解得k=2V2, (2)2a=B时，anB=1an2a=21ana,所以2=2k 1-tan2a k1-k2 因为>0，解得K=V2 故答案为： 13.16 【详解】如图，因为F,R关于直线PQ对称，设F,R交PQ与M, 则FR=FF2=6,且FR1PQ, R 由双曲线定义可得F,R=ER+2=8,所以MR=MF2=4, 在R△MFF,中，MF=VEE-ME,=25, 设EP=n,Fg=m,则FP=2+n,F2=m-2, 在RtAMPF,中，由E,P=MP+MF得(2+m)2=(2N5-n'+16①， 在Rt△M0F中，由F,g=Mg+ME得(m-22=(m-25°+16②， 解①②可得：n=2√5-2，m=2√5+2， 所以Pg=m-n=25+2-25+2=4, 于是可得四边形PRQ5,的面积为PQRR=×4×8=16: 故答案为：16. 14.3"-2” 【详解】因为每行的第个数从上到下形成以2"-1为首项，以3为公比的等比数 列， 所以Sn=3°×2"-1+3×2"-2+32×2m-3+…+3-1×20 所以Sn=3” Sn=3m-× 15.【详解】(1)点(3,1).(6,4)中点坐标为： 引 两点连线斜率为 g=1 则两点连线中垂线斜率为-1，故这两点中垂线方程为： 9 2 →y+x=7. x=3 将中垂线方程与2x-y-2=0联立， x+y=7 2x-y=2→ y=4' 即圆心坐标为3,4)，则半径r=3-3)2+（1-42=3, 故圆的标准方程为：（x-3)2+(y-4)=9. (2)设直线1到圆心距离为d,由垂径定理，2Vr2-d2=ABL.则 2V9-d2=25sd=2. 当直线1斜率不存在时，方程为x=1,到圆心3,4)距离为2，满足题意； 当直线斜率存在时，设y=k(x-)+1,由其到圆心距离为2，结合点到直线距离 公式，可得2-到=2与4状+9-12：4秋+4=人：三 Vk2+1 12 则此时，直线方程为y=x-刂+1→5x-2y+7=0, 故直线方程为：x=1或5x-12y+7=0 16.【详解】(1)由已知得4+b=4+2d+bq=1+2d+q=7①， 2a2-b=2(a1+d)-b92=2(1+d)-92=2②， 联立①②，得g2+q-6=(g+3(q-2=0,解得q=-3或9=2， 因为{bn}是各项都为正数的等比数列，所以g=2,代入①式可得d=2, 所以an=1+2(n-1)=2n-1,bn=2"-1 (2)由题意及(1)及cn=a,V3,1,故cn=(2n-1V32m=(2n-1·3”, .Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1×3”, 3T,=1×32+3×33++(2n-3)×3”+(2n-1×3*1, 两式相减得-2Tn=3+232+33+…+3”）-(2n-1·31 -3+2.91-3）-2m-小-3=6+2-2m-3. 1-3 ∴.Tn=3+(n-131 17.【详解】(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⌒平面ABCD=AD 又CD⊥AD,CDC面ABCD,所以CD⊥平面PAD (2)取AD中点O,连接OP,OD, 因为△PAD是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则PO⊥AD,