1.5角平分线（题型专练）数学新教材北师大版八年级下册

1.5角平分线 题型一 利用角平分线的性质进行简单计算 1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为 ．    3．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，平分，交于点E，于点D，如果，，那么的长是 ． 4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，、的角平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若的周长为，，则的周长是 ． 题型二 角平分线的判定定理 1．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 2．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知，如图，在中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 要求：在横线“______”上填证明步骤，在括号“（    ）”中填证明依据 证明：过点P分别作，，． ∵平分 （已知），且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（    ） ∴平分． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，中，，分别是边，延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 4．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，分别交，于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 题型三 角平分线（尺规作图） 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A．说明的依据是 B． C．上任意一点到两边的距离相等 D．点M，N到的距离不相等 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如图，在长方形中，连接，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线交于点M．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧．两弧在的内部相交于点．作射线交于点．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点和点．分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点．连接交于点．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（25-26九年级上·重庆·月考）在学习了三角形和四边形的相关知识后，小明发现：在对角互补的四边形中，，若平分，则，请根据他的思路完成以下作图和推理填空： (1)用尺规完成以下基本作图：过点C作的垂线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 证明：过点C作交延长线于点F ∵，∴． ∵平分，且，， ∴①． ∵，②， ∴． 在和中， ∴（④）． ∴． 题型一 与角平分线有关的几何辅助线作法 1．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，的平分线交于点．若，则点到的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，是中的平分线，交于点E，若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连接，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）在四边形中，平分，，，且的面积为2，则 ． 5．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）在直角三角形中，，，，平分交于点，则的长为 ． 6．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，平分线和边的垂直平分线交于点，已知点到边距离为，那么点E和点A之间的距离为 ． 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点为的中点，平分． (1)若． ①求证：平分． ②猜想线段，，之间的数量关系，并证明． (2)若，请你思考应该满足什么条件，能使得（1）中结论依然成立，并说明理由． 题型二 与角平分线有关的面积计算问题 1．（山西省部分学校2025-2026学年上学期八年级综合素养评估（四）数学试卷）如图，是的角平分线，于点E，，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知中，平分，于点，连接，若，则的面积是（    ） A．6 B．7.5 C．10 D．15 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 4．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则 ． 5．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，已知在中，，，，平分，平分，与交于点O，若过点O的直线平分面积，那么的长为 ． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 题型三 角平分线性质的实际应用 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）． A．处 B．处 C．处 D．处 2．（25-26八年级上·上海·月考）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 3．（22-23八年级下·河南郑州·月考）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 4．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，点在点的北偏西的方向上，且，，．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法不正确的是（   ） A．点在点北偏东方向上 B．点在点南偏西方向上 C． D． 5．（25-26八年级上·山东滨州·月考）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北衡水·期中）为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 7．（19-20九年级上·山东·课后作业）如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 8．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 题型一 角平分线性质与判定的综合运用 1．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D是边上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，已知，在中，，，点G为边上一点，过点C作垂直射线于点，连接，请求出的度数； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，若，，请求出的长． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在四边形中，，． (1)求证：平分； (2)在边上，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，，交于，在边上，，交于，过作于，若，，求线段的长． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5角平分线 题型一 利用角平分线的性质进行简单计算 1．【答案】B 2．【答案】7 3．【答案】2 4．【答案】16 题型二 角平分线的判定定理 1．【答案】A 2． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质和判定方法，进行作答即可． 【详解】证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知），且，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且，， ∴， ∴（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上） ∴平分． 3． 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质定理是解题的关键．过点P作于点，过点P作于点，过点P作于点，根据角平分线的性质得到，则，再根据角平分线的判定进行证明即可． 【详解】解：过点P作于点，过点P作于点，过点P作于点， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵于点，于点 ∴平分． 4． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题关键． （1）首先解得的值，结合，即可获得答案； （2）过点作于，于，利用角平分线的性质定理证明，然后证明结论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点作于，于，如下图， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 5． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理； （1）证明即可得到； （2）过点分别作于点，于点，根据得到，，利用三角形的面积公式得到，再利用角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， ， ． （2）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）得，， ，， ， ， 又，， 平分． 题型三 角平分线（尺规作图） 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】本题考查了尺规作图之作高，角平分线的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）以点为圆心，以超过到的距离为半径画弧，交于，再分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，则为所求； （2）根据角平分线的性质，可得，结合平角，可知，接着利用证明，从而得出结论． 【详解】（1）解：下图即为所求： （2）证明：过点C作交延长线于点F， ∵， ∴． ∵平分，且，， ∴． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 题型一 与角平分线有关的几何辅助线作法 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】2 5．【答案】 6．【答案】 7． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理及判定定理等；添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）①过点作交于，由角平分线的性质得，再由角平分线的判定定理即可得证； ②由可判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）在上截取，连接，过点作交于，作交于，由判定，结合全等三角形的性质，再由判定、，由全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）①证明：过点作交于， 平分，， ， 点为的中点， ， ， ，， 平分； ②， 证明：，， （）， ， 同理可证， ； （2）解：， 理由如下：在上截取，连接，过点作交于，作交于， ， 平分， ， ， （）， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ， （）， ， 平分， ， ， （）， ， ． 故时，能使得（1）中结论依然成立． 题型二 与角平分线有关的面积计算问题 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】4 4．【答案】 5．【答案】9 6． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ，，， ， ． 题型三 角平分线性质的实际应用 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6． 【答案】(1)见解析； (2)这个服务站到三条公路的距离均为米． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作和平分线即可； （）连接，设点到三边的距离均为，则有，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：作和平分线，交于点，则点即为所求，如图所示， （2）解：连接，设点到三边的距离均为， ∴，解得， 即这个服务站P到三条公路的距离均为米． 7． 【答案】4处，作图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理的应用，尺规作角平分线， 作三角形内角的平分线，两条平分线交于点，点到这个三角形三边的距离相等；再作两个外角的平分线，交于点，点到这三条公路的距离相等；同理还有点，，则此题可解. 【详解】解：如图所示，一共有4处，即点，，，. 8． 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由即可得到答案； （2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，且于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，，； （2）解：成立． 已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点． 求证：． 证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴＝． 题型一 角平分线性质与判定的综合运用 1． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，，，利用角的和差关系得出，利用证明，得出，根据平行线的判定定理即可得结论； （2）过点作，交延长线于，于，根据直角三角形两锐角互余及对顶角相等得出，利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出． （3）以为边，作等边三角形，连接，利用等边三角形的性质及角的和差关系得出，，利用证明，得出，利用勾股定理即可得答案． 【详解】证明：∵、为等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴, ∴． （2）解：如图，过点作，交延长线于，于， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴． （3）解：如图，以为边，作等边三角形，连接， ∴，， ∵， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 2． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）延长，过点C作，，证，得到，即可得到平分． （2）延长至点N，连接，通过角度转化，得到，由得到，则，得到． （3）连接，延长、交于点T，过点F作CD的平行线交的延长线于点Q，设，则，，，先证是等边三角形，得到，证，得到，，再证，得到，再证，得到 ，根据列方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长，过点C作，， ， ， 又， ， ， 平分． （2）如图，延长至点N，连接， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （3）如图，连接，延长、交于点T，过点F作CD的平行线交的延长线于点Q，设，则，，， 由（1）可知，由（2）可知， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是的中位线， ， ， ，解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一，掌握相关知识点的应用和添加辅助线构造全等是解题的关键． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5角平分线 题型一 利用角平分线的性质进行简单计算 1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，运用角平分线的判定定理，即角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，进而求出的度数． 【详解】解：∵，，， 根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴是的角平分线， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为 ．    【答案】7 【分析】本题主要考查角平分线的性质．此题由两角相等可以确定是角的平分线，利用角平分线的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，平分，交于点E，于点D，如果，，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质．先根据线段的和差求出，再由角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴． 故答案为：2． 4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，、的角平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若的周长为，，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由角平分线与平行线的性质，证出，得，同理可证，结合周长公式可得出结果． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：16． 题型二 角平分线的判定定理 1．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知，如图，在中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 要求：在横线“______”上填证明步骤，在括号“（    ）”中填证明依据 证明：过点P分别作，，． ∵平分 （已知），且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（    ） ∴平分． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质和判定方法，进行作答即可． 【详解】证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知），且，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且，， ∴， ∴（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上） ∴平分． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，中，，分别是边，延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质定理是解题的关键．过点P作于点，过点P作于点，过点P作于点，根据角平分线的性质得到，则，再根据角平分线的判定进行证明即可． 【详解】解：过点P作于点，过点P作于点，过点P作于点， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵于点，于点 ∴平分． 4．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题关键． （1）首先解得的值，结合，即可获得答案； （2）过点作于，于，利用角平分线的性质定理证明，然后证明结论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点作于，于，如下图， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，分别交，于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理； （1）证明即可得到； （2）过点分别作于点，于点，根据得到，，利用三角形的面积公式得到，再利用角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， ， ． （2）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）得，， ，， ， ， 又，， 平分． 题型三 角平分线（尺规作图） 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A．说明的依据是 B． C．上任意一点到两边的距离相等 D．点M，N到的距离不相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的作图，角平分线性质的证明，三角形全等的判定和性质．根据作图可得，证明即可判断A；根据作图即可判断B；点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H，证明即可判断C；过点N作于点P，过点M作于点Q，证明，即可判断D． 【详解】解：A、由作图可知：， 又， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B、由作图可得：，故B正确，不符合题意； C、点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴上任意一点到两边的距离相等， 故C正确，不符合题意； D、过点N作于点P，过点M作于点Q，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．先根据尺规作图判断是的平分线，再利用角平分线的性质得出点到的距离等于的长度． 【详解】解：设点到的距离为， 由题意可得平分， ∵，即，点到的距离为， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如图，在长方形中，连接，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线交于点M．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质和基本作图，熟练掌握5种基本作图是解题的关键． 先利用矩形的性质得到，则利用平行线的性质可计算出，再由作法得平分，所以． 【详解】解：在长方形中， ∵，， ∴， 由作法得：平分， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧．两弧在的内部相交于点．作射线交于点．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点和点．分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点．连接交于点．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了作图—角平分线和垂线、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质，理解题意是解决本题的关键． 由作图可得，是的角平分线，，则根据角平分线的性质，证明，可得，进而即可求解． 【详解】解：由作图可得，是的角平分线，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长为 ． 又∵，且， ∴， ∴ ． 故选：B． 5．（25-26九年级上·重庆·月考）在学习了三角形和四边形的相关知识后，小明发现：在对角互补的四边形中，，若平分，则，请根据他的思路完成以下作图和推理填空： (1)用尺规完成以下基本作图：过点C作的垂线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 证明：过点C作交延长线于点F ∵，∴． ∵平分，且，， ∴①． ∵，②， ∴． 在和中， ∴（④）． ∴． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】本题考查了尺规作图之作高，角平分线的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）以点为圆心，以超过到的距离为半径画弧，交于，再分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，则为所求； （2）根据角平分线的性质，可得，结合平角，可知，接着利用证明，从而得出结论． 【详解】（1）解：下图即为所求： （2）证明：过点C作交延长线于点F， ∵， ∴． ∵平分，且，， ∴． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 题型一 与角平分线有关的几何辅助线作法 1．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，的平分线交于点．若，则点到的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及角平分线的性质，熟记角平分线性质是解决问题的关键． 先由题意求出，过点作于点，如图所示，从而由角平分线的性质得到即可确定答案． 【详解】解：， ， 过点作于点，如图所示： 在中，的平分线交于点， 由角平分线的性质可知， 则点到的距离为， 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，是中的平分线，交于点E，若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点D作，由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可． 【详解】解：过点D作，如图， 是的平分线，且，， ， ， ， 解得． 故选：B． 3．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． 证明，得到，，，，则，即，作于点I，于点L，可知，即点O在的平分线上，即可求出的度数． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ∴， ，，，， ， ， ， 作于点I，于点L，则， ， ， 点O在的平分线上， 平分， ， 故选：C． 4．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）在四边形中，平分，，，且的面积为2，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，得到是解题的关键．过点作的延长线于点，利用角平分线的性质可得出，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作的延长线于点， 平分，， ， ∵的面积为2， ∴，即， ∴． 故答案为：2． 5．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）在直角三角形中，，，，平分交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，过点D作于点E，利用勾股定理求出的长，由角平分线的性质得到，根据求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， ∵在中，，，， ∴， ∵平分交于点，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，平分线和边的垂直平分线交于点，已知点到边距离为，那么点E和点A之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，过点作，根据题意得到，由角平分线的性质可得，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：过点作， 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴点E和点A之间的距离为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点为的中点，平分． (1)若． ①求证：平分． ②猜想线段，，之间的数量关系，并证明． (2)若，请你思考应该满足什么条件，能使得（1）中结论依然成立，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理及判定定理等；添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）①过点作交于，由角平分线的性质得，再由角平分线的判定定理即可得证； ②由可判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）在上截取，连接，过点作交于，作交于，由判定，结合全等三角形的性质，再由判定、，由全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）①证明：过点作交于， 平分，， ， 点为的中点， ， ， ，， 平分； ②， 证明：，， （）， ， 同理可证， ； （2）解：， 理由如下：在上截取，连接，过点作交于，作交于， ， 平分， ， ， （）， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ， （）， ， 平分， ， ， （）， ， ． 故时，能使得（1）中结论依然成立． 题型二 与角平分线有关的面积计算问题 1．（山西省部分学校2025-2026学年上学期八年级综合素养评估（四）数学试卷）如图，是的角平分线，于点E，，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质．过点D作于点F，根据角平分线的性质定理可得，再由三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴． 故选：B 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知中，平分，于点，连接，若，则的面积是（    ） A．6 B．7.5 C．10 D．15 【答案】B 【分析】本题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，作于点F，由平分，于点E，根据角平分线的性质得，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点F， ∵平分，于点E， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，根据角平分线性质定理得，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，再通过证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ，，分别为的角平分线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， 为的角平分线，，， ， ， 的面积， 故答案为：4． 4．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，利用角平分线的性质，推导点到、的距离相等是解题关键． 作到、、的垂线，可由角平分线性质得三条垂线段相等，然后通过的面积求出垂线段长度，用该长度计算的面积即可． 【详解】解：如图，过点分别作、、的垂线，交延长线于点，交延长线于点，交于点． 平分，平分， ，， ， 已知，，， ， 解得，即， ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，已知在中，，，，平分，平分，与交于点O，若过点O的直线平分面积，那么的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理；过点O作，垂足分别为H、G、P，连接，由角平分线的性质得到，利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，再由过点的直线平分面积，得到，则，再根据可得答案． 【详解】解：如图所示，过点O作，垂足分别为H、G、P，连接，    ∵平分，平分， ∴， ∴ ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵过点的直线平分面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：9． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ，，， ， ． 题型三 角平分线性质的实际应用 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）． A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键．根据角平分线上的点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点到三条公路的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 2．（25-26八年级上·上海·月考）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等， ∴应建在三条角平分线的交点． 故选：C． 3．（22-23八年级下·河南郑州·月考）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到三边的距离相等． 【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等， ∴该点应是三角形三条角平分线的交点， 故选：B． 4．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，点在点的北偏西的方向上，且，，．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法不正确的是（   ） A．点在点北偏东方向上 B．点在点南偏西方向上 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方向角，作图—角平分线基本作图，角平分线的性质，含角的直角三角形，能根据作图得出是的角平分线是解决此题的关键. 先得到是的角平分线，求出，，即可推导出，点在点北偏东方向上； 点在点南偏西方向上；，，则，即可解答． 【详解】解：如图，由题意，及图得 是的角平分线，， ∴， ∴， 即点在点北偏东方向上， 故A正确； ∵，，是的角平分线， ∴， ∴， ∴点在点南偏西方向上， 故B错误，C正确； ∵，， ∴， ∴， ∴． 故D正确． 综上所述，只有B错误． 故选B． 5．（25-26八年级上·山东滨州·月考）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 6．（25-26八年级上·河北衡水·期中）为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 【答案】(1)见解析； (2)这个服务站到三条公路的距离均为米． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作和平分线即可； （）连接，设点到三边的距离均为，则有，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：作和平分线，交于点，则点即为所求，如图所示， （2）解：连接，设点到三边的距离均为， ∴，解得， 即这个服务站P到三条公路的距离均为米． 7．（19-20九年级上·山东·课后作业）如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】4处，作图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理的应用，尺规作角平分线， 作三角形内角的平分线，两条平分线交于点，点到这个三角形三边的距离相等；再作两个外角的平分线，交于点，点到这三条公路的距离相等；同理还有点，，则此题可解. 【详解】解：如图所示，一共有4处，即点，，，. 8．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由即可得到答案； （2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，且于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，，； （2）解：成立． 已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点． 求证：． 证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴＝． 题型一 角平分线性质与判定的综合运用 1．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D是边上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，已知，在中，，，点G为边上一点，过点C作垂直射线于点，连接，请求出的度数； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，若，，请求出的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，，，利用角的和差关系得出，利用证明，得出，根据平行线的判定定理即可得结论； （2）过点作，交延长线于，于，根据直角三角形两锐角互余及对顶角相等得出，利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出． （3）以为边，作等边三角形，连接，利用等边三角形的性质及角的和差关系得出，，利用证明，得出，利用勾股定理即可得答案． 【详解】证明：∵、为等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴, ∴． （2）解：如图，过点作，交延长线于，于， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴． （3）解：如图，以为边，作等边三角形，连接， ∴，， ∵， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在四边形中，，． (1)求证：平分； (2)在边上，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，，交于，在边上，，交于，过作于，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）延长，过点C作，，证，得到，即可得到平分． （2）延长至点N，连接，通过角度转化，得到，由得到，则，得到． （3）连接，延长、交于点T，过点F作CD的平行线交的延长线于点Q，设，则，，，先证是等边三角形，得到，证，得到，，再证，得到，再证，得到 ，根据列方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长，过点C作，， ， ， 又， ， ， 平分． （2）如图，延长至点N，连接， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （3）如图，连接，延长、交于点T，过点F作CD的平行线交的延长线于点Q，设，则，，， 由（1）可知，由（2）可知， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是的中位线， ， ， ，解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一，掌握相关知识点的应用和添加辅助线构造全等是解题的关键． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $