22.2 角平分线（题型专练）数学沪教版五四制2024八年级上册

22.2 角平分线 A 基础达标题 题型一、作角平分线(尺规作图) 1 题型二、角平分线的性质定理 2 题型三、角平分线的判定定理 4 题型四、角平分线性质的实际应用 5 B 能力提升题 题型一、角平分线性质的几何应用 6 题型二、角平分线中的规律探究 7 C 拓展培优题 题型一、作角平分线(尺规作图) 1．下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 2．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点．已知，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 ． 6．如图，在中，D为上一点，满足，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点G，作射线交于点H．若，，则 ． 题型二、角平分线的性质定理 7．如图，在中，，平分交于点，，则点D到的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，中，，平分，于E，若，，，则的长为（　　） A． B．2 C．3 D．4 9．到三角形三条边距离相等的点是（　　） A．三边高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条内角平分线的交点 10．如图，在中，的平分线交于点D，若，则点D到的距离是（   ） A． B． C． D． 11．如图，中，，平分，，则的面积是 ． 12．如图，在中，，平分．若，，则点D到的距离为 ． 题型三、角平分线的判定定理 13．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 15．如图，为内部的一点，连接，过点分别作于点，于点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（     ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 17．如图，于点B，于点C，，则的度数为 ． 18．如图，C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等，连接，若，则的度数为 题型四、角平分线性质的实际应用 19．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 20．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 21．如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 22．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 23．如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 题型一、角平分线性质的几何应用 24．如图所示，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（　　） A． B． C． D． 25．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD＝2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为（　　） A． B．1 C． D．2 26．如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 27．已知，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别是40，50，60，△ABC三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=（    ） A．2：3：4 B．4：5：6 C．3：4：5 D．1：2：3 28．如图，与的平分线相交于点P，，PB与CE交于点H，交BC于F，交AB于G，下列结论：①；②；③ BP垂直平分CE；④，其中正确的判断有（       ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 题型二、角平分线中的规律探究 29．如图，已知的面积为4，平分，且于点，那么的面积为 ． 30．如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．    31．如图，在直角梯形中，，与的平分线恰好交于边上的点处，将绕点逆时针旋转至，点落在线段上的点处，点落在点处，、分别与交于、，，，那么的值为 ．    32．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ． 1．如图，的外角平分线和内角平分线相交于点P，若，则（   ） ​​​​​​​ A． B． C． D． 2．如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，的三边，，的长分别为12，27，30，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）． A． B． C． D． 4．如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，的延长线交于点，连接，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°，点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，射线CP交AB的延长线于点D，下列四个结论：①∠ACB＝76°，②∠APB＝38°，③∠D＝24°，④AB+BC＞AP+PC 其中正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，中，平分，于点E，于H，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中： ①是等腰三角形；②；③；④． 其中正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2 / 32 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.2 角平分线 A 基础达标题 题型一、作角平分线(尺规作图) 1 题型二、角平分线的性质定理 5 题型三、角平分线的判定定理 8 题型四、角平分线性质的实际应用 11 B 能力提升题 题型一、角平分线性质的几何应用 14 题型二、角平分线中的规律探究 18 C 拓展培优题 题型一、作角平分线(尺规作图) 1．下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据SSS证明三角形全等． 【详解】解：连接，， 由作图得：，，， ≌， ． 故选：． 2．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，作角平分线；根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点E作，如图所示： 由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图作线段． 由作图可知，，进而证明，即可得到． 【详解】解：由作图可知，， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：D． 4．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点．已知，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的尺规作图，过点D作于E，由作图方法可知，平分，则由角平分线的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， 由作图方法可知，平分， ∵，， ∴， ∴点到的距离为3， 故选：C． 5．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得答案． 【详解】解：过点作于点，如图， 由题中的作图过程可知，是的平分线， ，， ， ， ， 故答案为：18． 6．如图，在中，D为上一点，满足，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点G，作射线交于点H．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作图以及三角形的外角的定义及性质，由题意得出平分，是解题关键，再根据即可求解； 【详解】解：由题意得：平分， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为： 题型二、角平分线的性质定理 7．如图，在中，，平分交于点，，则点D到的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 角平分线上的点到角两边的距离相等．利用角平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 过点作于点， 平分， ， 点 D到的距离是2， 故选B． 8．如图，中，，平分，于E，若，，，则的长为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据等面积法求是解题的关键；根据角平分线的性质可得，再根据求解即可． 【详解】解：，平分，， ， ， ， ， ， 故选：． 9．到三角形三条边距离相等的点是（　　） A．三边高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条内角平分线的交点 【答案】D 【分析】此题主要考查三角形的内角的角平分线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质． 根据三角形的内角平分线的性质即可判断． 【详解】解：到三角形三条边距离相等的点是三条内角平分线的交点． 故选：D 10．如图，在中，的平分线交于点D，若，则点D到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 利用角平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴点D到的距离等于的长度，为， 故选：B． 11．如图，中，，平分，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质可得，再由三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示， 过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，平分．若，，则点D到的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，则由角平分线的性质可得，由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点D到的距离为2， 故答案为：2． 题型三、角平分线的判定定理 13．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽，进而得到平分，得到，即可． 【详解】解：由图和题意，得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽， ∴平分， ∴； 故选：B． 14．在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据“角内一点到角两边的距离相等，则该点在角平分线上”判断即可． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴，，均为的角平分线， 故选：B． 15．如图，为内部的一点，连接，过点分别作于点，于点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理等知识点． 根据题意得到平分，，进而求解即可． 【详解】∵，，且，， ∴平分，， ∴． 故选：C． 16．如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（     ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据到角的两边距离相等的点在角平分线上，且某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，即可作答． 【详解】解：设便民服务站所在的位置是点， 点到、的距离相等， 点在的平分线上， 同理，点也在、的平分线上， 点是三个角的平分线的交点， 这个便民服务站应该修在三个角的平分线的交点， 故选：B． 17．如图，于点B，于点C，，则的度数为 ． 【答案】55° 【分析】本题考查了角平分线的性质，牢记角平分线的性质（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）是解题的关键． 根据，，，可得为的角平分线． 【详解】解：∵，，， ∴为的角平分线， ∴， 故答案为： ． 18．如图，C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等，连接，若，则的度数为 【答案】/21度 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【详解】解：∵C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故答案为：． 题型四、角平分线性质的实际应用 19．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点共有四处． 故选：D． 20．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 21．如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等成为解题的关键． 由角平分线的交点到角边的距离相等，则两同旁内角平分线的交点满足条件；据此作图即可解答． 【详解】解：如图所示： ∵和的平分线的交点到距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个． 故选：C． 22．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 要使到三边的距离相等，根据角平分线的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等， 油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选：B． 23．如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】4处，作图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理的应用，尺规作角平分线， 作三角形内角的平分线，两条平分线交于点，点到这个三角形三边的距离相等；再作两个外角的平分线，交于点，点到这三条公路的距离相等；同理还有点，，则此题可解. 【详解】解：如图所示，一共有4处，即点，，，. 题型一、角平分线性质的几何应用 24．如图所示，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据角平分线上一点到角两边的距离相等，知此人此时到AB的最短距离即D到AB的距离，而D到AB的距离等于CD，而CD=BC-BD即得答案． 【详解】解：如下图， 过D作DE⊥AB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长． ∵AD平分∠CAB，AC⊥BC ∴DE=CD=BC-BD=1000-700=300（米）． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线性质定理和“垂线段最短” ．其关键是运用角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD等于D到AB的距离． 25．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD＝2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质解答即可 【详解】解：作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N， ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PD＝2， ∵PE⊥OB，MN⊥OB， ∴PE∥MN，又M为OP的中点， ∴MN＝ PE＝1，即点M到射线OB的距离为1， 故选B． 【点睛】此题考查角平分线的性质，解题关键在于熟练运用角平分线的性质，作出辅助线 26．如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到，可判断（1）（2）正确；由，，得到，可判断（3）错误；即可得到答案． 【详解】解：过点P作PG⊥AB，如图：    ∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB， ∴；故（1）正确； ∴点在的平分线上；故（2）正确； ∵， 又， ∴；故（3）错误； ∴正确的选项有2个； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题． 27．已知，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别是40，50，60，△ABC三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=（    ） A．2：3：4 B．4：5：6 C．3：4：5 D．1：2：3 【答案】B 【分析】如图，过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F， 根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF，即可得S△ABO：S△BCO：S△CAO =（ AB•OD）：（ BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC，由此即可求解. 【详解】如图，过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F， ∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线， ∴OD=OE=OF， ∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO =（ AB•OD）：（ BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，根据三角形的面积公式及角平分线的性质定理得到S△ABO：S△BCO：S△CAO =（ AB•OD）：（ BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC是解决问题的关键. 28．如图，与的平分线相交于点P，，PB与CE交于点H，交BC于F，交AB于G，下列结论：①；②；③ BP垂直平分CE；④，其中正确的判断有（       ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论； ②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论； ③根据线段垂直平分线的性质即可得结果； ④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果． 【详解】解：①∵AP平分∠BAC， ∴∠CAP=∠BAP， ∵PG∥AD， ∴∠APG=∠CAP， ∴∠APG=∠BAP， ∴GA=GP； ②∵AP平分∠BAC， ∴P到AC，AB的距离相等， ∴S△PAC：S△PAB=AC：AB， ③∵BE=BC，BP平分∠CBE， ∴BP垂直平分CE（三线合一）， ④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上， ∴∠DCP=∠BCP， 又∵PG∥AD， ∴∠FPC=∠DCP， ∴FP=FC， 故①②③④都正确． 故选D． 【点睛】本题考查角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题关键． 题型二、角平分线中的规律探究 29．如图，已知的面积为4，平分，且于点，那么的面积为 ． 【答案】8 【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，可得出S△ADC=S△ABC．即可求出答案. 【详解】解：如图，延长BD交AC于点E， ∵AD平分∠BAE，AD⊥BD， ∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴BD=DE， ∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE， ∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC， ∴S△ADC=S△ABC， ∴； 故答案为：8. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定和性质，由BD=DE得到S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE是解题的关键． 30．如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．    【答案】 【分析】于点M，于点N，则，过点G作于点P，设，根据得出，继而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故， 【详解】由折叠的性质可知，是的角平分线，，用证明，从而得到，设，则，，利用勾股定理得到即，化简得，从而得出，利用三角形的面积公式得到：． 作于点M，于点N，则， 过点G作于点P，    ∵于点M， ∴， 设，则，， 又∵，， ∴，，， ∵，即， ∴，， 在中，，， 设，则 ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 化简得：， ∴， ∴ 故答案是：． 【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 31．如图，在直角梯形中，，与的平分线恰好交于边上的点处，将绕点逆时针旋转至，点落在线段上的点处，点落在点处，、分别与交于、，，，那么的值为 ．    【答案】 【分析】如图所示，过点E作于H，先由角平分线的性质得到，则，利用勾股定理求出，再证明，进而证明，得到，求出，由旋转的性质可得，则，证明，求出，则，再证明，推出，则． 【详解】解：如图所示，过点E作于H， ∵与的平分线恰好交于边上的点处，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴由角平分线的定义可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质与判定，勾股定理，旋转的性质等等，证明，然后通过证明三角形相似并利用相似三角形的性质求解是解题的关键． 32．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】证明即可判断①，证明即可判断②；过作于点，根据角平分线的性质得，结合，可得，又可得，即可判断③，证明、，可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和△FBD中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③如图所示，过作于点， ∵是边的中点，， ∴，即， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故③错误； ④∵， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 即、都为等腰三角形，故④正确， ∴正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定性质，等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形内角和定理， 1．如图，的外角平分线和内角平分线相交于点P，若，则（   ） ​​​​​​​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质． 设，根据平分得到，进而得到，再根据平分得到，由三角形的外角的性质可得出，求出，进而可求出即可． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，平行线间的距离等等，掌握角平分线的性质是解题的关键．如图所示，过点P作于F，延长交于G，先证明，由角平分线的性质得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于F，延长交于G， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P到与的距离之和为， 故选：D． 3．如图，的三边，，的长分别为12，27，30，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，由角平分线的性质可得，点到三角形三边的距离相等，即三个三角形的、、边上的高相等，利用面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于，于，于， 是三角形三条角平分线的交点， ， ∵的长分别为， ∴． 故选：A． 4．如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，的延长线交于点，连接，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可直接得出A正确；数形结合，由角度之间的关系证明，可得出B正确；过点分别作于点，作交的延长线于点，根据证明得出，利用角平分线的判定定理可推出平分，可得出D正确，由已知无法确定C正确，即可得到答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，，，故A正确； ，即， 又， ， ， ，故B正确； 过点分别作于点，作交的延长线于点，如图所示： 由旋转性质知，， ， 又， ， ， 又，， 平分， ，故D正确； 由已知无法确定，故C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识，准确作出辅助线构造直角三角形逐项验证是解决问题的关键． 5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°，点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，射线CP交AB的延长线于点D，下列四个结论：①∠ACB＝76°，②∠APB＝38°，③∠D＝24°，④AB+BC＞AP+PC 其中正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用等腰三角形性质，角平分线性质一一计算判断即可. 【详解】 在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°，所以∠ABC＝∠ACB＝76°，故①正确. 点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，， 因为∠ABC＝∠ACB＝76°， 所以∠CAP＝∠BAP＝14°，∠COA＝∠BOA＝∠POB＝∠POC＝90°，∠APB＝180°－52°－90°＝38°，故②正确. 因为 ∠CPB＝2∠APB＝PBD＋∠D， 所以∠D＝76°－52°＝24°，故③正确. 作，则BH＝BO， 因为由图可知AP＞AB＋BH＝AB＋BO，CP＞CO， 则AP＋CP＞AB＋BO＋CO＝AB＋BC，故④错误. 故选C. 【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，角平分线性质，作出辅助线是解本题的关键. 6．如图，中，平分，于点E，于H，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中： ①是等腰三角形；②；③；④． 其中正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，以及平行线的性质，熟练应用三角形全等的判定和性质是解题的关键．通过角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，以及平行线的性质，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：平分，，， ， ， ， 平分，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故结论④正确，符合题意； ， ， ， ， 又，， ， 故结论③正确，符合题意； ， ， 又， ， 是等腰三角形， 故结论①正确，符合题意； 在等腰中，，平分， ， 故结论②正确，符合题意， 综上所述，四个结论均正确， 故选：A． 2 / 32 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $