2025年山东省临沂市郯城县博雅学校初中学生学业考试模拟试题数学卷

2025年山东省临沂市郯城县博雅中学初中学生学业考试模拟试题 数学 注意事项： 1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟。 2. 答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置。 3. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 4. 非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。 第Ⅰ卷（共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.2025-1的相反数等于（ ） A.-2025 B. 2025 C. D. － 【考点】相反数的定义与负整数指数幂的概念 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数与一般地，当n是正整数时，a-n=(a≠0),这就是说，a-n是an的倒数。根据这两知识点定义即可得出答案。 【解答】解：2025-1= ， 的相反数等于－ 故选：D 【点评】本题主要考查了相反数的定义与负整数指数幂的概念，掌握二者的定义是解题的关键。培养学生对知识的掌握程度，知识结合的能力，结合学生分析能力判断初正确答案。 2.2024年巴黎奥运会是第33届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月12日在法国巴黎举行，以下为巴黎奥运会项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】轴对称图形与中心对称图形的概念 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可。 【解答】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图，故此选项不符合题意; B.不是轴对称图形，不是中心对称图，故此选项符合题意； C.是轴对称图形，是中心对称图，故此选项不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图，故此选项不符合题意； 故选：C 【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键。培养学生感知各种几何图形，分析问题的能力，依据图形特征进行分类。 3.鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，由六根木条组合而成，是中国先辈的智慧结晶。其中一根如下图，则该零件的主视图为（ ） A B C D 【考点】三视图 【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行判断即可。 【解答】解：A.是俯视图，故此选项不符合题意; B.不是本零件的三视图，故此选项不符合题意； C.是左视图，故此选项不符合题意； D.是主视图，故此选项符合题意； 故选：D 【点评】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察视角是本题的关键。 4.将一个含30°角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，∠F=30°，此时，直尺边AB正好是三角板的角平分线，则∠CEF的度数是（ ） ( N ) ( M ) ( P ) A.30° B.45° C.60° D.75° 【考点】三角形的内角和、对顶角、角平分线与平行线的性质、三角形的外角 【分析】根据三角板的特性及角平线与三角形的内角和求出∠FNB的大小，再由平行线的性质求解即可。 【解答】解：在含30°角的三角板FMP中，∠FMP=60° ∵MN为∠FMP平分线 ∴∠NMP=30° 由三角形的内角和可得，∠PNM=60° ∴∠FNB=∠PNM=60° ∵DC∥AB ∴∠CEF=60° 故选：C 【点评】本题主要考查了平行线的性质与三角形的内角和。准确识图，利用角平分线和三角形内角和求出∠PNM的度数，再由对顶角和平行线的性质求出所问即可。考查学生看图识图的能力，并要求学生对所学知识进行综合运用。 5.一次山东行，一生山东情！好客山东，欢迎您！如图，一个圆盘被平均分成4份，分别标上“好”“客”“山”“东”四个字，转动指针一次，待指针静止后，记录下指针所指区域的汉字（若指针指在分割线上，则重新转动指针），通过转动两次指针后，记录汉字可以组成词语“山东”的概率为（ ） A. B. C. D. 【考点】概率 【分析】将实际问题抽象成数学模型，利用树状图法或列表法来列举出事情发生 的所有可能，从而找到可以组成词语“山东”的事件，计算概率。 【解答】解：树状图如下所示， 开始 好 客 山 东 好 客 山 东 好 客 山 东 好 客 山 东 好 客 山 东 由上可得，一共有16种可能性，其中通过转动两次转盘后，指针所指区域的汉字可以组成词语“山东”的有2种， ∴通过转动两次指针后，指针所指区域的汉字可以组成词语“山东”的概率为 ． 故选：B 【点评】本题考察了简单随机概率计算，掌握用列表或画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，找出指定随机事件发生的所有可能结果，并计算其概率。加入转针确认字游戏的实际背景，用以激发学生对于数学的学习乐趣。 6.若关于y的不等式组有解，且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（ ） A.3≤m＜5 B.-3≤m＜-1 C.-3＜m≤-1或-3＜m≤-1 D.3≤m＜5或-3≤m＜-1 【考点】求不等式组的解集，由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】解不等式组得y≤3，y＞根据不等式组解集内整数解得和为5，分两种情况： （1）整数解为3、2，得1≤ ＜2，即3≤m＜5； （2）整数解为3、2、1、0、-1，得-2≤ ＜-1，即-3≤m＜-1，即可求解 由①得，y≤3， 由②得，y＞ 关于解集范围内整数解的和为5，分两种情况： （1）整数解为3、2，得：1≤ ＜2，解得：3≤m＜5 （2）整数解为3、2、1、0、-1，得：-2≤ ＜-1, 解得：-3≤m＜-1 故选：D 【点评】本题考察了一元一次不等式组解集的定义、确定方法以及一元一次不等式（组）中待定字母的值的确定方法；已知一元一次不等式（组）的解集，确定其中所含待定字母（即不是未知数的字母）的值，是考查学生掌握及灵活运用所学知识的综合体现，可从已知不等式（组）中求出它的解集，再利用解集的等价性求出待定字母的取值范围，当然本次也恰到好处的运用了分类讨论数学思想。 7.如图以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，为半径作圆A，与正六边形ABCDEF重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面面积与侧面积之比为（ ） A． B． C． D． 【考点】正多边形的内角问题，求扇形弧长、圆锥侧面积的实际问题 【分析】设正六边形ABCDEF的边长为a，圆锥的底面半径为r，由六边形ABCDEF为正六边形，得到∠BAF=120o，根据圆锥的底面周长与扇形的弧长相等可得2r= ，再根据S扇=与S底圆=r2，整理后即可得到答案 【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为a，圆锥的底面半径为r， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ， 根据题意得， 所以a=3r， 又S底圆=，S扇= 即该圆锥的底面面积与圆锥的侧面积之比为． 故选：B． 【点评】此题考查了扇形的弧长、正六边形的性质、圆锥的相关知识，得到圆锥的底面周长与扇形的弧长相等是解题的关键，进而再利用底面圆与侧面积公式之比解决问题． 8.端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节。某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【考点】分式方程的应用 【分析】据时间=工作总量÷工作效率，找出两次所用时间；再根据两次所用时间相同这一数量关系，列出分式方程即可。 【解答】解： 设实际每小时包 个，则实际所用时间为小时，计划每小时包个，则计划所用时间为小时，因为实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同 ，所以分式方程为 故选: A 【点评】本题考查分式方程的实际应用， 需要从实际问题中提炼出数学信息，再根据时间、工作总量、工作效率之间的关系，列出表达式，通过等量关系列方程，培养学生分析解决问题的能力和模型观念。 9. 如图，△ABC为等腰三角形，∠A=30°，圆0为△ABC的外接圆，圆上有一点D，连接BD，交AC于点E,点E恰好为AC边上靠近C的三等分点，已知BE=8，ED=4，则圆0的半径为（ ） （提示：sin15°=，cos15°=，tan15°=2-） A. B. C. D. 【考点】圆周角定理、垂径定理、相似三角形、锐角三角函数、等边三角形的判定 【分析】连接OB、OC、CD，证明△ABE∽△DCE，求出AC的长，再由锐角三角函数求半径即可。 【解答】解：连接OB、OC、CD，过点O作OF⊥AC，垂足为F ∵∠A=30°， ∴∠D=30°，∠BOC=60°，∠ACB=75° 又∵∠AEB=∠DEC ∴△AEB∽△DEC ∴ 设AE=2x,CE=x,则 解得x=4 ∴AC=AE+CE=12 由垂径定理，CF==6 ∵OB=OC ∴△OBC为等边三角形 ∴∠OCB=60°，∠OCA=∠ACB-∠OCB=15° ∴OC= 故选：B 【点评】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似以及锐角三角函数的综合运用。根据已知条件联想所学知识，并作出辅助线，熟练运用相似三角形的判定和性质以及垂径定理求出长度，对学生所学知识综合运用的能力有较高要求。 10.若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f (x)=f (x+T) 恒成立，则f (x)叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期。现在已知一个周期为2的周期函数在-1≤x≤1时的解析式为f（x）=，则f（-2024）+f（-2023）+……+f（2023）+f（2024）=（ ） A.2024 B.4048 C.-2024 D.-4048 【考点】新定义、找规律 【分析】根据新定义确定函数图像，根据图像找到规律求解即可。 【解答】解：先根据-1≤x≤1时的解析式画出一个周期的图像， 如图所示， 再根据周期函数的定义画出周期函数的图像， 发现规律：当x为奇数时，函数值为1；当x为偶数时，函数值为0 从-2024到2024中一共有2024个奇数， 所以原式=2024 故选：A 【点评】本题主要考查了学生对于新函数的图像的作图。函数要与图像结合起来，培养学生对数形结合思想渗透与运用。 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如果式子 有意义，那么的取值范围是_________。 【考点】二次根式、分式、不等式组的解法 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件得到不等式组，并求出解集 【解答】解：根据二次根式有意义的条件得 ①； 根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件得2->0 ②； 联立不等式①②得 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为： 【点评】本题考察了二次根式和分式有意义的条件，根据这些条件得到不等式组，进一步考察不等式组的解法，培养学生综合运用知识的能力。 12.2025年，临沂中考的人数会高于2024年参加中考人数，将突破19.5万人，其中19.5万用科学记数法表示为。 【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤＜10，n为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数绝对值＜1时，n是负数； 【解答】解：19.5万=195000=1.95×105 【点评】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。 13.如果关于x的一元二次方程3x2+mx+3=0的一个根为1，那么多项式3x2+mx+3可因式分解为。 【考点】一元二次方程的解、提公因式法、完全平方公式法 【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将x=1代入原方程，求出m的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键 【解答】解：∵关于x的一元二次方程3x2+mx+3=0的一个根为1 ∴把x=1代入，得3+m+3=0 解得：m=-6 则3x2+mx+3=3x2-6x+3=3（x2-2x+1）=3（x-1）2 故答案为：3（x-1）2 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解与因式分解，熟练掌握一元二次方程解的概念和提公因式法、完全平方公式法是解答此题的关键。 14.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是，；则 ________． 【考点】整式运算、一元二次方程根与系数关系 【分析】通过一元二次方程根与系数关系得到两根之和及两根之积的值，代入所求整式运算中得到答案。 【解答】解：由一元二次方程根与系数关系得， 故 【点评】本题主要考察了学生的运算能力，由一元二次方程根与系数关系得到两根之和及两根之积的值，并通过整式运算化简，将所得值代入得到最终结果。 15. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,0），点B的坐标为（-1,0）， ( 1 2 )将△OAB绕点O旋转得到△OCD，此时OD⊥AB，则C点坐标为。 【考点】相似三角形、平面直角坐标系 【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一分析即可。 【解答】解：延长DO交AB于点F，过点C作CE⊥x轴， 垂足为点E 由题意知，OA=2，OB=1，OF⊥AB ∴ ∵∠AOB=90° ∴∠COD=90° ∵OD⊥AB ∴∠BFO=90° ( 1 2 )∴AB∥CD ∴∠ABO=∠COE ∴△ABO∽△COE ∴ ∴ 解得CE=,OE=, ∵点C在第三象限 ∴点C坐标为（- ，- ） 【点评】本题主要考查了相似三角形在平面直角坐标系中的应用。正确作好辅助线并判定相似三角形，利用相似三角形的性质求长度是解题的关键。 16.二次函数的图像如图所示，对称轴为x=1，与x轴负半轴交于（-0.5，0），下列结论①abc＞0；②3a+c＞0;③有两个不相等的实数根；④4a+5c＞0；其中正确的个数为。 【考点】二次函数的图像和性质 【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一分析即可。 【解答】解：①∵函数图像开口向下，对称轴为x=1，与y轴交于正半轴 ∴a＜0，b=-2a＞0，c＞0 ∴abc＜0，故①错； ②∵二次函数与x轴交于（-0.5,0），且对称轴为x=1 ∴与x轴另一个交点为（2.5,0） 将x=3带入 得：y= 将代入，得， 由图像可知，＜0，故②错； ③将变形 得： 由图像可知，二次函数与直线一定有两个交点 ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③对； ④将（-0.5,0）带入 得： 整理得： 将代入，得（1）， 将x=1带入 得：y= 将代入，得， （1）+（2）得：,故④对 所以正确的个数为2个 【点评】本题主要考查了二次函数的图像和性质。正确读图，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键。 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17.（1）计算： 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】根据实数运算的法则，零指数幂的性质，负整数指数幂的性质特殊角的三角函数值计算即可． 【解答】解： 【点评】本题考查了实数运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． （2）解分式方程： 【考点】解分式方程 【分析】根据解分式方程的步骤，方程两边同乘最简公分母，化为整式方程后再求解，然后进行检验，可得结果． 【解答】解： 方程两边同乘（x+3）（x-3），去分母得2（x+3）=10，·········1分 解这个整式方程得x=2，···································2分 检验：把x=2代入（x+3）（x-3）≠0，·······················3分 ∴x=2是分式方程的解．···································4分 故答案为：x=2． 【点评】此题主要是考查了解分式方程，能够熟练掌握解分式方程的方法是解答此题的关键，注意要检验． 18.文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． （1）求A、B这两种书籍得进货单价． （2）若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． （3）哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 【考点】销售、利润问题（二元一次方程组的应用）、一元一次不等式组应用 【分析】（1）设A类书籍进货单件为 x元，B为 y元，利用两类书籍的个数和花费费用列方程组求解.(2) 设进A 类书籍m本，B为 (240-m)本，利用金额范围列不等式组求解.（3）根据（2）可知结果． 【解答】（1）设A 类书籍进货单件为x元，B为y元， ·································2分 解得 答：A类书籍进货单件为25元，B为45元．···················3分 (2)解：设进A类书籍m本，B为（240-m）本， ·····························4分 解①得，m≤112 ②得，m≥110 ∴ 110≤m≤112···········································5分 ∴有三种方案 1．A进110本，B进130本． 2．A进111本，B进129本． 3. A进112本, B进128本.··································6分 （3）根据B种单件获利较大为13元，选第一种方案， 获利110×6+130×13=2350（元）．····························8分 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，解答时求出第一问的解析式是解答后面问题的关键． 19.为了解我校九年级学生在数学期末考试中的表现，通过对考试成绩的收集、统计和分析，我们将得出一些有关九年级数学学习状况的结论，并提出相应的建议以提高学生的数学成绩；以下数据是从全校九年级学生参加数学期末考试的成绩单中获取的，随机抽取25名男生和25名女生的测试成绩（满分120）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．0，B．0，C．90，D．100，E．110，F.120）， [Ⅰ]收集、整理数据 25名男生的数学成绩分别为：86，87，105，98，117，60，99，99，106，107，109，103，107，99，75，112，97，78，100，99，88，98，108，120，98． 女生数学成绩在C组和D组的分别为：83，95，84，93，99，93，84，84，86，89，97，98，84，98，99． [Ⅱ]分析数据 两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示：请根据以下信息，解答下列问题： 成绩 平均数 中位数 众数 男生 98.2 99 b 女生 91.1 84 绘制了不完整的统计图表． 男生数学成绩的频数分布直方图 女生数学成绩的扇形统计图 （1）①补全频数分布直方图： ②填空：_____________，_____________，女生数学成绩C组在扇形统计图中所占的圆心角为_____________度； (2)根据以上数据，你认为该校九年级学生是男生的数学成绩好，还是女生的数学成绩好？ (3)如果该校九年级有男生500名，女生400名．请估计九年级数学成绩不低于80分的学生人数． 【考点】用样本的频数估计总体的频数、求扇形统计图的圆心角、频数分布直方图、求众数 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数以及用样本估计总体： （1）①先求出男生成绩在90的人数，再补全统计图即可；②根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，再用360o乘以女生成绩在C组的人数占比即可得到答案； （2）根据男生成绩与女生成绩的数据即可得到结论； （3）分别用男生和女生的人数乘以样本中对应的男生成绩和女生成绩在80分以上的人数占比，然后求和即可得到答案． 【解答】（1）解：①25-1-2-3-6-5=8人， ∴男生成绩在90的人数为8人， 补全统计图如下： 男生数学成绩的频数分布直方图 ·························2分 ②25名男生的数学成绩出现次数最多的是99分，共出现4次，因此男生的众数是99，即99；················································3分 将25名女生的数学成绩从小到大排列后，处在第13名成绩为89分，因此女生的中位数为89分，即a=89；···································4分 ∵女生成绩在C组的人数为7人， ∴女生数学成绩C组在扇形统计图中所占的圆心角为360O×=100.80.··5分 故答案为：89；99；100.80； （2）解：∵男生的数学成绩的平均数、中位数、众数均比女生的高， ∴男生的数学成绩好；·····································6分 （3）解：人， ∴估计九年级数学成绩不低于80分的学生人数为572人．·········8分 【点评】本题考查了直数据的收集整理与分析，平均数、中位数、众数、圆心角的求法等，频数（率）分布直方图和扇形统计图的综合应用，提高读频数分布直方图的能力和利用扇形统计图获取信息的能力；从统计图中获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断和解决问题；也考查了用样本估计总体。 20.北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功。为了让学生们感受国家航天事业的伟大，学校组织九年级同学参观航天博物馆，在展览场地展示了长征二号F遥十七运载火箭模型。有数学兴趣小组的同学观察到以下情况：如图，火箭模型AB后有一个山坡CD，其坡度i=1：．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30°时，火箭模型AB在小山坡CD上的影长为20米，测得坡脚C与楼房的水平距离BC=66米，求火箭模型AB的高。 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；平行投影 【分析】过点D分别作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，DF⊥AB于点F，则四边形BFDE是矩形，DF=BE，DE=BF．由坡度i=1：可得tan∠DCE=，从而得到 ∠DCE=30°，在Rt△CED中,DE=CDsin30°=10，从而BF=DE=10,在Rt△ADF中，解直角三角形得AF=DFtan30°=(EC+CF)tan30°，AB=AF+BF从而即可得解． 【解答】解：过点D分别作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，DF⊥AB于点F， ∵斜坡坡度i＝1： ∴火箭模型AB的高度为(20+22)米．·····················8分 【点评】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形以及矩形的判定及性质，通过作恰当的辅助线，构造直角三角形，将实际问题转化成解直角三角形求解是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数交于A（m,2）和B（-3，n）两点 （1） 求m、n的值和一次函数的解析式； （2） 直接写出当＞时x的取值范围； （3） 连接OA、OB，求△AOB的面积。 【考点】反比例函数与一次函数的图像和性质、函数与不等式之间的关系 【分析】（1）将A（m,2）、B（-3，n）代入双曲线，求出m、n的值，再将两点坐标代入一次函数求解析式即可； （2） ＞即当一次函数图像在反比例函数图像上方的时候，数形结合，找准对应的自变量x的取值范围即可； （3） 用割补法表示出△OAB的面积。过B作直线BC∥x轴交OA于点C，求出C点坐标，用S△OAB=S△ABC+S△OBC求出面积即可。 【解答】解：（1）将A（m,2）、B（-3，n）代入， 得：-1=m×2=-3×n 解得：m=，n=················································1分 ∴A（,2）、B（-3，） 将A（,2）、B（-3，）代入 得，解得 ∴一次函数解析式为：···············3分 （2） -3＜x＜·························5分 （3）过B作直线BC∥x轴交OA于点C 设：直线OA的解析式为： 将A（,2）代入，得 解得： ∴·············································6分 ∵BC∥x轴 ∴C点纵坐标为 当，代入，解得 ∴BC=-（-3）=·························7分 所以S△OAB=S△ABC+S△OBC=（2-）+（-0）=··········9分 【点评】本题主要考查了反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的图像及性质，数形结合是关键。 22. 如图，△ABC的外接圆为圆O，圆心O恰好为三角形一边AB的中点，点D为圆上一点，且，过点D作直线DE使∠CBD=∠BDE。 （1） 证明：DE为圆O切线 （2） 当圆O的半径为3，时，求BE的长。 【考点】圆心角、弧、弦的关系，切线的判定，平行线的判定和性质，相似的判定和性质 【分析】（1）连接OD、OC，根据圆心角，弦，弧的关系可得∠COD=∠BOD，进而证明△CON≌△BON，从而得到∠ONC=∠ONB=90°；再根据平行的性质得到OD⊥DE，结合OD为半径，从而证明结论； （2）连接AD，根据等弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角，结合锐角三角函数，求出BD的值；再由（1）问中的条件证明△ONB∽△ODE，利用相似比求出OE的长，最后根据即可求解。 【解答】解：（1）证明：连接OD、OC ∵ ∴∠COD=∠BOD ∵OC=OB，ON=ON ∴△CON≌△BON(SAS)····························2分 ∴∠ONC=∠ONB=90° ∵∠CBD=∠BDE ∴BC∥DE ∴∠ODE=∠ONB=90°··········································3分 ∴OD⊥DE ∵OD为半径 ∴DE为圆O的切线············································4分 （2）连接AD ∵ ∴∠DAB=∠CBD ∴ ∵AB为直径 ∴∠ADB=90° ∴在Rt△ABD中， ∴····························6分 由（1）知，OD⊥DE ∴在Rt△ABD中， ∴ ∴ON=OD-DN=··········································7分 由（1）知，BC∥DE ∴△ONB∽△ODE· ∴ 即： 解得··················································8分 ∴············································9分 【点评】本题考查了圆心角，弦，弧的关系，直径所对的圆周角是90度，平行线的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，正弦的定义，熟练掌握以上性质是解题的关键． 23.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点,与y轴相交于C（3,0）点，直线y=x+2与抛物线交于D、E两点． （1）求二次函数解析式； （2）点P为直线ED上方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交ED于Q点，当PQ最长时求此时点P的坐标； （3）抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式为 （2）设点P（n,-n2+2n+3），则点Q（n,n+2），可得，利用二次函数性质即可求得答案； （3）设N（m,n），分三种情况：①BM为对角线时，AN的中点与BM的中点重合，利用中点公式可得出答案，②AM为对角线时，BN的中点与AM的中点重合，利用中点公式可得出答案，③AB为对角线时，MN的中点与AB的中点重合，利用中点公式可得出答案． 【解答】解： （1） ( 图1 )（2）如图1，设 （3） 如图2点E、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时 设N(m,n)，分三种情况： ①DM为对角线时，EN的中点与DM的中点重合， ②EM为对角线时，DN的中点与EM的中点重合， ③ED为对角线时，MN的中点与ED的中点重合， 图2 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，平行四边形性质，中点公式的应用，解题关键是运用分类讨论思想和数形结合思想解决问题． 24. 问题背景：如图（1），△ABC与△ADE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90O， 连接BD、CE，请直接写出线段BD与CE有什么的关系？ 尝试应用：如图（2），△ABC与△ADE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90O，连接BD、CE，且点D,B,C在一条直线上，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，猜测：CD,CE,AF之间有什么数量关系，并证明. 拓展延伸：如图（3），等腰直角△ADE绕点A逆时针旋转一定角度，使得点B、C、D在一条直线上，∠BAC=∠DAE=90O，AB=AC=，CD=1,连接AD、CE交于一点F，在线段AD上有一动点P，求DP+CP的最小值. 图（1） 图（2） 图（3） 【考点】全等三角形的性质和SAS综合问题，等腰直角三角形性质，用勾股定理解三角形，锐角三角函数，最值问题 【分析】（1）易证∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACE(SAS),再根据全等三角形的性质即可得，BD=CE;延长EC交BD于点F，在△EFD中，由全等三角形的性质可知角的关系，易得∠EFD=90o，所以BD⊥CE （2） 易证∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACE(SAS),知BD=CE；在等腰Rt△ABC中，AF⊥CD，易得BC=2AF,∴CD=CE+2AF （3） 易证∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACE(SAS),BD=CE,由（1）不难得知∠ECD=90O,在等腰Rt△ABC中，AB=AC=，所以BC=2，CE=BD=3,在Rt△CDE中，根据勾股定理ED==;在AD上任找一点P，作PQ⊥DE，垂足为点Q，Rt△PDQ中，依据锐角三角函数得PQ=DP，所以DP+CP=PQ+CP，所以当PQ、CP在同一条直线上时，长度最小，过点C作CP⊥DE，此时再利用面积法求出即可。 【解答】（1）解：∵△ABC与△ADE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90O ∴AB=AC,AD=AE;∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD 即：∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE中： ∴△ABD≌△ACE(SAS) ∴BD=CE，∠ADB=∠AEC·············································1分 延长EC交BD于点F， 在Rt△ADE中:∠ADE+∠AED=∠ADE+∠AEC+∠CED=90o ∴∠ADE+∠ADB+∠CED=90o ∴∠EFD=90o 所以BD⊥CE······················································2分 （2）解：∵△ABC与△ADE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90O ∴AB=AC,AD=AE;∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE 即：∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE中： ∴△ABD≌△ACE(SAS) ∴BD=CE························································4分 在等腰Rt△ABC中: ∵AF⊥CD ∴BF=CF(三线合一) ∴AFBC,即BC=2AF··············································6分 ∴CD=BD+BC=CE+2AF················································7分 (3)解：∵△ABC与△ADE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90O ∴AB=AC,AD=AE;∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE 即：∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE中： ∴△ABD≌△ACE(SAS) ∴BD=CE,∠ADB=∠AEC 在Rt△ADE中:∠ADE+∠AED=∠ADE+∠AEC+∠CED=90o ∴∠ADE+∠ADB+∠CED=90o ∴∠ECD=90o······························8分 在等腰Rt△ABC中，AB=AC= ∴BC=2 又CD=1 ∴CE=BD=3 在Rt△CDE中， 根据勾股定理,得：ED==································9分 在AD上任找一点P’，作⊥DE，垂足为点Q’ 即= ∴ ∴ 所以求DP+CP最小值就转化为求PQ+CP的最小值 所以当PQ、CP在同一条直线上时，长度最小，过点C作垂线段CQ⊥DE，交AD于点P，此时CQ长度就是所求最小值······························10分 S△CDE=CE=DECQ ∴13=CQ 得：CQ= 所以DP+CP最小值为·········································12分 【点评】本题主要考查了全等三角形得判定与性质，等腰三角形得三线合一，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，转化思想以及添加适当的辅助线等，灵活运用以上定理是解答本题得关键. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省临沂市郯城县博雅中学初中学生学业考试模拟试题 数学 注意事项： 1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟。 2. 答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置。 3. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 4. 非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。 第Ⅰ卷（共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.2025-1的相反数等于（ ） A.-2025 B. 2025 C. D. － 2.2024年巴黎奥运会是第33届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月12日在法国巴黎举行，以下为巴黎奥运会项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3.鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，由六根木条组合而成，是中国先辈的智慧结晶。其中一根如下图，则该零件的主视图为（ ） A B C D 4.将一个含30°角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，此时，直尺边AB正好是三角板的角平分线，则∠CEF的度数是（ ） A.30° B.45° C.60° D.75° 5.一次山东行，一生山东情！好客山东，欢迎您！如图，一个圆盘被平均分成4份，分别标上“好”“客”“山”“东”四个字，转动指针一次，待指针静止后，记录下指针所指区域的汉字（若指针指在分割线上，则重新转动指针），通过转动两次指针后，记录汉字可以组成词语“山东”的概率为（ ） A. B. C. D. 6.若关于y的不等式组有解，且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（ ） A.3≤m＜5 B.-3≤m＜-1 C.-3＜m≤-1或-3＜m≤-1 D.3≤m＜5或-3≤m＜-1 7.如图以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AB为半径作，与正六边形ABCDEF重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面面积与侧面积之比为（ ） A． B． C． D． 8.端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节。某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，△ABC为等腰三角形，∠A=30°，圆0为△ABC的外接圆，圆上有一点D，连接BD，交AC于点E,点E恰好为AC边上靠近C的三等分点，已知BE=8，ED=4，则圆0的半径为（ ） （提示：sin15°=，cos15°=，tan15°=2-） A. B. C. D. 10.若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f (x)=f (x+T) 恒成立，则f (x)叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期。现在已知一个周期为2的周期函数在-1≤x≤1时的解析式为f（x）=，则f（-2024）+f（-2023）+……+f（2023）+f（2024）=（ ） A.2024 B.4048 C.-2024 D.-4048 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如果式子 有意义，那么的取值范围是_________。 12.2025年，临沂中考的人数会高于2024年参加中考人数，将突破19.5万人，其中19.5万用科学记数法表示为。 13.如果关于x的一元二次方程3x2+mx+3=0的一个根为1，那么多项式3x2+mx+3可因式分解为。 14.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是，；则 ________． 15. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,0），点B的坐标为（-1,0），将△OAB绕点O旋转得到△OCD，此时OD⊥AB，则C点坐标为。 ( 1 2 ) 第15题 第16题 16.二次函数的图像如图所示，对称轴为x=1，与x轴负半轴交于（-0.5，0），下列结论①abc＞0；②3a+c＞0;③有两个不相等的实数根；④4a+5c＞0；其中正确的个数为。 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17.（1）计算： （2）解分式方程： 18.文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． （1）求A、B这两种书籍的进货单价． （2）若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． （3）哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 19.为了解我校九年级学生在数学期末考试中的表现，通过对考试成绩的收集、统计和分析，我们将得出一些有关九年级数学学习状况的结论，并提出相应的建议以提高学生的数学成绩；以下数据是从全校九年级学生参加数学期末考试的成绩单中获取的，随机抽取25名男生和25名女生的测试成绩（满分120）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．0，B．0，C．90，D．100，E．110，F.120）， [Ⅰ]收集、整理数据 25名男生的数学成绩分别为：86，87，105，98，117，60，99，99，106，107，109，103，107，99，75，112，97，78，100，99，88，98，108，120，98． 女生数学成绩在C组和D组的分别为：83，95，84，93，99，93，84，84，86，89，97，98，84，98，99． [Ⅱ]分析数据 两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示：请根据以下信息，解答下列问题： 成绩 平均数 中位数 众数 男生 98.2 99 b 女生 91.1 84 绘制了不完整的统计图表． 男生数学成绩的频数分布直方图 女生数学成绩的扇形统计图 （1）①补全频数分布直方图： ②填空：_____________，_____________，女生数学成绩C组在扇形统计图中所占的圆心角为_____________度； (2)根据以上数据，你认为该校九年级学生是男生的数学成绩好，还是女生的数学成绩好？ (3)如果该校九年级有男生500名，女生400名．请估计九年级数学成绩不低于80分的学生人数． 20.北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功。为了让学生们感受国家航天事业的伟大，学校组织九年级同学参观航天博物馆，在展览场地展示了长征二号F遥十七运载火箭模型。有数学兴趣小组的同学观察到以下情况：如图，火箭模型AB后有一个山坡CD，其坡度i=1：．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30°时，火箭模型AB在小山坡CD上的影长为20米，测得坡脚C与楼房的水平距离BC=66米，求火箭模型AB的高。 21. 在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数交于A（m,2）和B（-3，n）两点 （1） 求m、n的值和一次函数的解析式； （2） 直接写出当＞时x的取值范围； （3） 连接OA、OB，求△AOB的面积。 22.如图，△ABC的外接圆为圆O，圆心O恰好为三角形一边AB的中点，点D为圆上一点，且，过点D作直线DE使∠CBD=∠BDE。 （1） 证明：DE为圆O切线 （2） 当圆O的半径为3，时，求BE的长。 23.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点,与y轴相交于C（3,0）点，直线y=x+2与抛物线交于D、E两点． （1）求二次函数解析式； （2）点P为直线ED上方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交ED于Q点，当PQ最长时求此时点P的坐标； （3）抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标；若不存在，请说明理由． 24. 问题背景：如图（1），△ABC与△ADE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90O， 连接BD、CE，请直接写出线段BD与CE有什么的关系？ 尝试应用：如图（2），△ABC与△ADE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90O，连接BD、CE，且点D,B,C在一条直线上，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，猜测：CD,CE,AF之间有什么数量关系，并证明. 拓展延伸：如图（3），等腰直角△ADE绕点A逆时针旋转一定角度，使得点B、C、D在一条直线上，∠BAC=∠DAE=90O，AB=AC=，CD=1,连接AD、CE交于一点F，在线段AD上有一动点P，求DP+CP的最小值. 图（1） 图（2） 图（3） 学科网（北京）股份有限公司 $