精品解析：山东省青岛大学附属中学2025-2026学年八年级上学期数学周测（2）

第二周周测0912 一、单选题（4分×8=32分） 1. 在3.1415926，（相邻两个8之间有一个1）中，有理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图是一个由张直角三角形纸片和张正方形纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，则这个平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则点G到线段的最短距离是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 4. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2025 C. D. 5. 下列结论正确的是（ ） ①在数轴上只能表示无理数； ②任何一个有理数都能用数轴上的点表示； ③实数与数轴上的点一一对应； ④两个无理数的和仍为无理数． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 6. 如图，点、、在正方形网格中的格点上，每个小正方形的边长为1，则网格上的三边中，，边长为无理数的边数有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 7. 在中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①；②；③；④；⑤．其中，能判断为直角三角形的条件有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 图中是第七届国际数学教育大会的会徽，其图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的．其中，记为相应三角形的面积．则的值为（ ） A. B. 30 C. 33 D. 二、填空题（4分×6=24分） 9. 的绝对值是___________，的倒数是___________，的相反数是___________． 10. 在（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有___________个． 11. 现有下列说法：①有限小数一定是有理数；②无限小数一定是无理数；③无限不循环小数叫做无理数；④任何一个有理数的绝对值一定是正数；⑤若一个数的平方等于这个数的立方，则这个数是0，．其中正确说法的序号是___________． 12. 《九章算术》第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，其中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．则折断后的竹子的高度为多少尺？（备注：1丈尺）”如图，设折断后的竹子的高度为x尺，则________． 13. 如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度的平方是___________． 14. 如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是________米． 三、解答题 15. 如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． （1）使三边的长度都是有理数的直角三角形． （2）使三边的长度都是无理数的直角三角形． 16. 学习了无理数之后，我们已经把数的范围扩大到了实数的范围，下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数． （1）如图1，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（开始滚动时与点O重合）由原点到达点，则的长度就等于圆的周长，所以数轴上点代表的实数就是___________，它是一个无理数． （2）如图2，在中，，，，则___________．（保留一位小数） （3）在图3中（每个小正方形边长均为1），画出一个边长为无理数a、面积最大的格点正方形． （4）请在图4的数轴上表示出中的． 17. 如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长． 18. 课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二周周测0912 一、单选题（4分×8=32分） 1. 在3.1415926，（相邻两个8之间有一个1）中，有理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数、无理数的判断，解题的关键是熟练掌握有理数的定义． 根据有理数的定义（整数、有限小数和无限循环小数），据此判断每个数是否为有理数即可． 【详解】解：∵ 3.1415926是有限小数，是有理数； ∵，是分数，也是有限小数，是有理数； ∵中含有，故是无理数； ∵是有限小数，是有理数； ∵根据题干条件“相邻两个8之间有一个1”可知，是无限循环小数，是有理数. ∴有理数有4个， 故选：D． 2. 如图是一个由张直角三角形纸片和张正方形纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，则这个平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等腰直角三角形的直角边为，正方形边长为，求出用、表示，得出，，之间的关系，由此即可解决问题． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边为，正方形边长为， 则， ， ， 平行四边形面积． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出，，之间的关系，属于中考常考题型． 3. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则点G到线段的最短距离是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”根据，，即可得到答案； 【详解】解：由作图得平分， ∵，即， ∴点G到线段的最短距离等于的长， 即点G到的距离为1， 故选：A 4. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形和勾股定理可知每“生长”一次，形成的图形中所有的正方形的面积和增加1，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为（由正方形B和正方形C“生长”出来的四个正方形的面积之和等于正方形B和正方形C的面积之和）， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， 以此类推可知，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为． 故选：A． 5. 下列结论正确的是（ ） ①在数轴上只能表示无理数； ②任何一个有理数都能用数轴上的点表示； ③实数与数轴上的点一一对应； ④两个无理数的和仍为无理数． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，实数与数轴上的点一一对应，实数包括有理数和无理数，据此可判断①②③；根据和都是无理数，但是它们的和为0可判断④． 【详解】解：①数轴上的点既能表示有理数也能表示无理数，原说法错误； ②任何一个有理数都能用数轴上的点表示，原说法正确； ③实数与数轴上的点一一对应，原说法正确； ④两个无理数的和不一定是无理数，例如和都是无理数，但是它们的和为0，是有理数，原说法错误； ∴正确的有②和③， 故选：B． 6. 如图，点、、在正方形网格中的格点上，每个小正方形的边长为1，则网格上的三边中，，边长为无理数的边数有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出三边的长度，再判断即可． 【详解】由勾股定理得：AC==5，是有理数，不是无理数； BC==，是无理数； AB==，是无理数， 即网格上的△ABC三边中，边长为无理数的边数有2条， 故选C． 【点睛】本题考查了无理数和勾股定理，能正确根据勾股定理求出三边的长度是解此题的关键． 7. 在中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①；②；③；④；⑤．其中，能判断为直角三角形的条件有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定进行解答即可． 【详解】①若，则，所以，所以是直角三角形，正确，符合题意； ②若，所以，所以是直角三角形，正确，符合题意； ③，最大角为，错误，不符合题意； ④若，设，则，则是直角三角形，正确，符合题意； ⑤若，，则是直角三角形，正确，符合题意； 故能判断为直角三角形的条件有：①②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 8. 图中是第七届国际数学教育大会的会徽，其图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的．其中，记为相应三角形的面积．则的值为（ ） A. B. 30 C. 33 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，利用勾股定理求出，可得规律，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ……， 以此类推可知， ∴； ∴ ， 故选：D． 二、填空题（4分×6=24分） 9. 的绝对值是___________，的倒数是___________，的相反数是___________． 【答案】 ①. ## ②. ③. ## 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、倒数以及相反数，掌握相关定义是解题关键．根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数；倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数；相反数的定义是只有符号不同的两个数，即可得解． 【详解】解：， ， ； 的倒数是； 的相反数是， 故答案为：，，． 10. 在（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有___________个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：在（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有（每两个1之间0的个数逐次增加1），共2个， 故答案为：2． 11. 现有下列说法：①有限小数一定是有理数；②无限小数一定是无理数；③无限不循环小数叫做无理数；④任何一个有理数的绝对值一定是正数；⑤若一个数的平方等于这个数的立方，则这个数是0，．其中正确说法的序号是___________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了实数的分类，绝对值，以及有理数的乘方，掌握相关定义是解题关键，根据有理数和无理数的定义、绝对值的性质以及乘方运算进行判断，即可得解． 【详解】解：①有限小数可以表示为分数，因此是有理数，正确； ②无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，因此无限小数不一定是无理数，错误； ③无限不循环小数称为无理数，这是标准定义，正确； ④有理数的绝对值是非负数，但零的绝对值是零，不是正数，错误； ⑤当这个数是，，，则平方不等于立方，错误． 故答案为：①③． 12. 《九章算术》第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，其中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．则折断后的竹子的高度为多少尺？（备注：1丈尺）”如图，设折断后的竹子的高度为x尺，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设折断后的竹子的高度为x尺，则．利用勾股定理列式即可． 【详解】解：如图， 由题意得，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度的平方是___________． 【答案】41 【解析】 【分析】要解决蚂蚁从点爬到点的最短路线长度的平方问题，需将立体组合体的表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”转化为直角三角形问题，再通过勾股定理计算．关键是确定展开后直角三角形两条直角边的长度． 【详解】由20个棱长为1的小正方体搭成组合体，观察结构可知：组合体的长为、宽为、高为．蚂蚁在立体表面爬行的最短路径，需将表面展开为平面．点与点在同一平面内形成直角三角形，其两条直角边分别为： 水平方向：宽与高之和，即； 垂直方向：长，即． 根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和．因此，最短路线长度的平方为： 故答案为：41 【点睛】本题的核心是将立体图形表面展开为平面图形，把空间中的最短路径问题转化为平面上的直角三角形问题，再利用勾股定理求解．关键在于准确分析组合体的长、宽、高，并选择合适的展开方式确定直角边长度． 14. 如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，画出展开图得到最短路径是解题的关键；展开图的对角线长即为所求，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将木块展开如图所示， 则米，米， 米， 一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是米， 故答案为： 三、解答题 15. 如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． （1）使三边的长度都是有理数的直角三角形． （2）使三边的长度都是无理数的直角三角形． 【答案】（1） 即为所求作； （2） 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），以3,4,5为边作出直角三角形即可； 对于（2），以为边长画出直角三角形即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示，，，，可知 16. 学习了无理数之后，我们已经把数的范围扩大到了实数的范围，下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数． （1）如图1，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（开始滚动时与点O重合）由原点到达点，则的长度就等于圆的周长，所以数轴上点代表的实数就是___________，它是一个无理数． （2）如图2，在中，，，，则___________．（保留一位小数） （3）在图3中（每个小正方形边长均为1），画出一个边长为无理数a、面积最大的格点正方形． （4）请在图4的数轴上表示出中的． 【答案】（1） （2） （3） 如图所示，边长为，面积是26的正方形即为所求， （4） 如图所示，下图表示的数即为所求， 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，无理数与数轴，无理数的大小估算，灵活运用以上知识点是解题的关键． （1）根据周长公式计算即可解答； （2）根据勾股定理计算和无理数的大小估算方法即可解答； （3）由题意可知正方形最大边长为6，那么可知，设，且只能取，且，那么面积最大的格点正方形的边长为，进而得出答案； （4）根据勾股定理得，可知以2，2为直角边的斜边为，再以原点为圆心，以为半径画弧可得答案． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 17. 如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长． 【答案】13.3km 【解析】 【分析】设AE=xkm，则BE=（20-x）km，利用DE=CE，再结合勾股定理求出即可． 【详解】设AE=xkm，则BE=（20-x）km， ∵DE=CE，DA⊥AB，CB⊥AB， ∴AD2+AE2=BE2+BC2，即82+x2=（20-x）2+142， 解得：x=13.3． 答：AE的长为13.3km． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 18. 课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【解析】 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $