精品解析：吉林省长春市净月高新区2025-2026学年八年级上学期12月期末数学试卷

2025-2026学年吉林省长春市净月高新区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的判断，无理数是无限不循环小数，常见的无理数包括开方开不尽的平方根等． 根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解： A．，是整数，属于有理数； B． 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； C． 是有限小数，属于有理数； D． 是分数，属于有理数． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相除，同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方． 根据运算法则，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，原运算错误，不符合题意； B．，原运算错误，不符合题意； C．，原运算错误，不符合题意； D．，原运算正确，符合题意． 故选：D． 3. 中学生培养“强健的体魄、良好的运动习惯和坚韧的意志品质”，才能为学习和生活打下坚实基础．某校为了解初三年级700名学生的每周体育锻炼情况，随机抽取了100名学生的每周体育锻炼时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（ ） A. 700名学生是总体 B. 样本容量是700 C. 此调查为全面调查 D. 100名学生的每周体育锻炼时间是样本 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查统计学中的基本概念，包括总体、样本、样本容量和调查方式．正确理解总体、样本、样本容量和调查方式的定义是解题关键．注意总体和样本的研究对象是数据（如锻炼时间），而不是个体本身．根据题干描述判断各选项的正误． 【详解】解：∵ 总体是所研究的全体对象，这里研究的是700名学生的每周体育锻炼时间，因此总体是700名学生的每周体育锻炼时间，而不是700名学生本身，故A错误； ∵ 样本容量是样本中个体的数量，本题中样本是100名学生的每周体育锻炼时间，因此样本容量是100，故B错误； ∵ 全面调查是对总体中每一个个体都进行调查，本题只抽取了100名学生，因此是抽样调查，不是全面调查，故C错误； ∵ 样本是从总体中抽取的一部分个体，本题中抽取了100名学生的每周体育锻炼时间，因此这些时间数据是样本，故D正确． 故选：D． 4. 已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法，反证法需假设结论的反面成立，即假设． 【详解】解：∵要证明， ∴用反证法时，应假设 故选C． 5. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据 证明三角形全等即可． 【详解】解：在△和△中， ， ， ． 故选：A． 6. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 7. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理．根据三角形内角和定理可得A、D选项；根据勾股定理逆定理可判断出B、C选项． 【详解】解：A. ，且，，故为直角三角形，故该选项不符合题意； B. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； C. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； D. ，，故不能判定是直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 8. 赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理的证明方法是解题的关键． 根据三角形的面积和正方形的面积即可得到结论． 【详解】解：由题意得，， A、可知，又，（负值已舍），故选项A正确，符合题目要求， B、可知，故选项B错误，不符合题目要求， C、可知，故选项C错误，不符合题目要求， D、可知，故选项D错误，不符合题目要求． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 16的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 【详解】，， 的平方根是． 10. 写出一个2到3之间的无理数______． 【答案】答案不唯一，如： 【解析】 【详解】无理数是无限不循环小数，本题答案不唯一，只要在2到3之间的无理数都可，例如：.故答案为（答案不唯一，符合要求即可）. 11. 如图，在中，．则的度数为_________． 【答案】36° 【解析】 【分析】由，根据等腰三角形的性质可知，∠A=∠ACD， ∠B=∠ACB=∠BDC，设∠A=，由三角形外角的性质，得∠B=∠ACB=∠BDC=2，然后利用三角形内角和为180°，列出关于的方程，求解即得． 【详解】∵， ∴∠A=∠ACD， ∠B=∠ACB=∠BDC， 设∠A=，则∠ACD=， ∴∠B=∠ACB=∠BDC=2， ∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴， 解得：， ∴∠A=36° 故答案为：36°． 【点睛】考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟记等腰三角形的性质定理是解题的关键． 12. 已知，，那么______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．被开方数是把2的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位． 【详解】解∶ ∵，， ∴， 故答案为∶． 13. 如图，有三种正方形或长方形卡片，其中卡片①4张，卡片②4张，卡片③1张，用这9张卡片可以拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为________（用含a、b的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查因式分解．根据题意得到大正方形的面积是，再利用完全平方公式因式分解即可得到答案． 【详解】解：大正方形的面积是： ， 所以大正方形的边长是． 故答案为：． 14. 如图，在与中，与相交于点D．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识．证明，进一步即可作出正确的判断． 【详解】解：在和中， ∴，故①正确， ∴， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴，则④结论正确， 与的关系不能确定，故②不正确， 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算、单项式的乘法和多项式的乘法，熟练掌握运算法则是关键． （1）计算算术平方根、立方根，再计算加法即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （3）利用多项式乘以多项式的法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 16. 把下列多项式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用完全平方公式展开，合并同类项后再利用完全平方公式进行分解因式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值．利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项后再计算多项式除以单项式即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 18. 观察下列算式： ①； ②； ③； ④； … （1）请按照以上规律写出第⑤个算式：________________； （2）按这个规律写出第n个等式：________________，并说明这个等式成立． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的运用，读懂题目信息，写出奇数列的两种不同表示是解题的关键． （1）根据题干中的规律即可写出答案； （2）左边是相邻奇数的平方差，右边是8的倍数，根据奇数的不同表示写出算式，再利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：①； ②； ③； ④； 可知第⑤个算式为：， 故答案为： 【小问2详解】 解：由题意可知，左边是从3开始的奇数列的平方减去从1开始的奇数列的平方，右边是8的倍数，即第n个等式为：， 证明如下： ， 故答案为：． 19. 如图，，与相交于点O．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，结合等角对等边即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴． 20. 在数学活动课上，同学们学习了三角形全等的判定后，继续探索特殊三角形的判定方法：若与均为等腰三角形，其中，． （1）下列条件中，可以判定的是________；（填序号） ①，； ②，； ③，； ④，． （2）从（1）中选择一个合适的条件进行证明． 【答案】（1）②③ （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）判断添的条件是否满足全等三角形的判定定理即可求解； （2）见详解，根据全等三角形的判定定理即可求证． 【小问1详解】 解：①，， ①中的条件不能判定； ②，，， , 又， 可依据“”判定， ②中的条件能判定； ③与均为等腰三角形，，， ，， 又， ， 可依据“”判定， ③中的条件能判定； ④，， ，， ，， ， 三个角对应相等不能判定， ④中的条件不能判定； 故答案为：②③； 【小问2详解】 选择②时，证明如下： ，，， ， 在和中， ， （）； 选择③时，证明如下： 与为等腰三角形，，， ，， 又， ， 在和中， ， （）． 21. 2025年2月，吉林省教育厅组织召开会议，提出“确保中小学生每天在校至少参与2个小时体育运动”的通知．为更好地落实会议精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理，部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天参加体育活动（含体育课的时间（单位：小时）（ ）单选 A.0.5～1小时（包含1小时） B.1～1.5小时（包含1.5小时） C.1.5～2小时（包含2小时） D.2小时以上 2．随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有（ ）（可多选） E．球类 F．田径类 G．体操类 H．冰雪或水上类 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查选取的方式为________（填“普查”或“随机抽样调查”），共调查了________名学生，m＝________； （2）补全条形统计图； （3）根据调查统计的结果，学校计划优先增设两个最受欢迎的体育活动项目，应该优先增设哪两个项目？请说明理由． 【答案】（1）随机抽样调查，200，23 （2）见解析 （3）应该优先增设球类和冰雪或水上类两个项目，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，正确理解题意是解题的关键． （1）根据调查过程得到调查方式，根据A组的人数及其百分比即可求出共调查的学生数，C组的人数除以调查的总人数即可求出m的值； （2）求出D组人数，补全条形统计图即可； （3）根据调查的数据进行解答即可． 【小问1详解】 解：本次调查选取的方式为随机抽样调查； 共调查了（人）， ， 故答案为：抽样调查；200；； 【小问2详解】 解：D组人数为：， 补全条形统计图； 【小问3详解】 解：计划应该优先增设球类和冰雪或水上类两个项目，因为这两个项目选择的人数最多． 22. 在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画图并回答问题： 示例：比较与的大小 如图①，在正方形网格中作△OPQ，使，，， ∵在中，， ∴． （1）参考示例的方法，在图②中构造图形，比较与，并说明理由； （2）如图③，点A、B、C、D均在格点上，点M是上任意一点，若满足取最小值，在图③中画出点M（保留作图痕迹），直接写出的值为________；若连接，直接写出的度数为________． 【答案】（1），理由见解析 （2）， 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、轴对称的作图和性质． （1）根据勾股定理和三角形的三边关系进行解答即可； （2）根据轴对称的性质作图，利用勾股定理和逆定理证明是等腰直角三角形，得到，根据轴对称的性质即可得到即可． 【小问1详解】 解：结论：． 理由：如图②所示构造，使得，， ∵在中，， ∴； 【小问2详解】 如图，点M即为所求， 如图，连接，作点C关于的对称点，连接交于点M， ∵， ∵关于轴对称， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：，． 23. 某校八年级数学兴趣小组开展了“测量风筝的垂直高度”数学实践活动．小组成员利用课余时间完成了实地测量，并利用皮尺等工具采集了如下实验数据． 【数据采集】甲、乙两名同学手持风筝，小组成员在操场上进行了测量，并记录以下数据： 测量项目 同学甲的数据（单位：m） 同学乙的数据（单位：m） 高度 1.6 1.6 到风筝的水平距离 16 26 已放风筝线的长度（根据手中剩余风筝线长度得出） 20 40 风筝的垂直高度 待测 待测 【问题解决】 （1）图①是同学甲测量的示意图．已知点C、D、E在同一条直线上，于点A，于点E，于D．．求此时风筝的垂直高度； （2）如图②，若同学甲站在点A不动，风筝沿竖直方向从C点的位置上升到点F的位置，，则还需要放出风筝线多少米？ （3）直接写出同学乙所放风筝的垂直高度是________m，在（2）的前提下，两名同学________（填甲或乙）的风筝更高． 【答案】（1）风筝的高度是 （2）还需要放出风筝线14米 （3），乙 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容是关键． （1）勾股定理求出，即可得到答案； （2）勾股定理求出，即可得到答案； （3）勾股定理求出，再进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵于点D． 在中，， ∴ ∵， ∴， 即此时风筝的高度是； 【小问2详解】 由（1）知， ∵， ∴， 在中，， ∴ ∴； 即则还需要放出风筝线14米． 【小问3详解】 由题意得，， ∴ ∴同学乙所放风筝的垂直高度是m， ∵， ∴乙的风筝更高， 故答案为：，乙 24. 同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． （1）（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． （2）如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． （3）如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论； （2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到； （3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案． 【小问1详解】 若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年吉林省长春市净月高新区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中学生培养“强健的体魄、良好的运动习惯和坚韧的意志品质”，才能为学习和生活打下坚实基础．某校为了解初三年级700名学生的每周体育锻炼情况，随机抽取了100名学生的每周体育锻炼时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（ ） A. 700名学生是总体 B. 样本容量是700 C. 此调查为全面调查 D. 100名学生的每周体育锻炼时间是样本 4. 已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（    ） A. B. C. D. 5. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 6. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 8. 赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 16的平方根是___________． 10. 写出一个2到3之间的无理数______． 11. 如图，在中，．则的度数为_________． 12. 已知，，那么______. 13. 如图，有三种正方形或长方形卡片，其中卡片①4张，卡片②4张，卡片③1张，用这9张卡片可以拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为________（用含a、b的代数式表示）． 14. 如图，在与中，与相交于点D．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 16. 把下列多项式分解因式： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 观察下列算式： ①； ②； ③； ④； … （1）请按照以上规律写出第⑤个算式：________________； （2）按这个规律写出第n个等式：________________，并说明这个等式成立． 19. 如图，，与相交于点O．求证： （1）； （2）． 20. 在数学活动课上，同学们学习了三角形全等的判定后，继续探索特殊三角形的判定方法：若与均为等腰三角形，其中，． （1）下列条件中，可以判定的是________；（填序号） ①，； ②，； ③，； ④，． （2）从（1）中选择一个合适的条件进行证明． 21. 2025年2月，吉林省教育厅组织召开会议，提出“确保中小学生每天在校至少参与2个小时体育运动”的通知．为更好地落实会议精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理，部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天参加体育活动（含体育课的时间（单位：小时）（ ）单选 A.0.5～1小时（包含1小时） B.1～1.5小时（包含1.5小时） C.1.5～2小时（包含2小时） D.2小时以上 2．随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有（ ）（可多选） E．球类 F．田径类 G．体操类 H．冰雪或水上类 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查选取的方式为________（填“普查”或“随机抽样调查”），共调查了________名学生，m＝________； （2）补全条形统计图； （3）根据调查统计的结果，学校计划优先增设两个最受欢迎的体育活动项目，应该优先增设哪两个项目？请说明理由． 22. 在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画图并回答问题： 示例：比较与的大小 如图①，在正方形网格中作△OPQ，使，，， ∵在中，， ∴． （1）参考示例的方法，在图②中构造图形，比较与，并说明理由； （2）如图③，点A、B、C、D均在格点上，点M是上任意一点，若满足取最小值，在图③中画出点M（保留作图痕迹），直接写出的值为________；若连接，直接写出的度数为________． 23. 某校八年级数学兴趣小组开展了“测量风筝的垂直高度”数学实践活动．小组成员利用课余时间完成了实地测量，并利用皮尺等工具采集了如下实验数据． 【数据采集】甲、乙两名同学手持风筝，小组成员在操场上进行了测量，并记录以下数据： 测量项目 同学甲的数据（单位：m） 同学乙的数据（单位：m） 高度 1.6 1.6 到风筝的水平距离 16 26 已放风筝线的长度（根据手中剩余风筝线长度得出） 20 40 风筝的垂直高度 待测 待测 【问题解决】 （1）图①是同学甲测量的示意图．已知点C、D、E在同一条直线上，于点A，于点E，于D．．求此时风筝的垂直高度； （2）如图②，若同学甲站在点A不动，风筝沿竖直方向从C点的位置上升到点F的位置，，则还需要放出风筝线多少米？ （3）直接写出同学乙所放风筝的垂直高度是________m，在（2）的前提下，两名同学________（填甲或乙）的风筝更高． 24. 同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． （1）（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． （2）如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． （3）如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $