28.2.2（第1课时）解直角三角形的简单应用（培优教学课件）数学人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形的简单应用”，以住宅小区采光问题情境导入，衔接解直角三角形的依据（勾股定理、锐角三角函数等），通过将实际问题抽象为数学模型搭建学习支架，帮助学生掌握知识应用脉络。 其亮点在于结合生活实例（如无人机测高、热气球看高楼），以问题驱动引导学生用数学眼光观察现实世界，通过逻辑推理和符号运算培养数学思维，用几何图形与规范步骤强化数学语言表达。总结方法步骤清晰，助力学生提升应用能力，也为教师提供丰富教学实例与结构化教学流程。

第28章 锐角三角函数 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 28.2.2（第1课时） 解直角三角形 的简单应用 BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 住宅小区楼房之间的距离是建楼和购房时人们常关心的一个问题. α 若某地冬至这天中午12时太阳光线与地面夹角α是35°，两楼之间的距离是20米，南楼的影子是否会影响北楼的采光？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 如图标示下，AB⊥BD,CD⊥BD，垂足分别是B,D.AE为冬至这天中午12时的太阳光线，AE交CD于E,ED为南楼落在北楼上的影子.作EF⊥AB，垂足是F. AB=CD=16.8m,BD=20m. 南楼的影子是否会影响北楼的采光？ A B F D C E 35° 如何判断是否影响采光？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 (1)要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙角，两楼之间的距离应为多少？ AF=16.8m,∠AEF=35°， A B(F) 35° D(E) C ， BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 (2)如果两栋楼房之间的距离是20m, 那么这时南楼的影子是否会影响一楼的采光？ EF=BD=20m,∠AEF=35°， A B F D C E 35° ， BY YUSHEN BY YUSHEN 知识回顾 在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1. 解直角三角形 (1) 三边之间的关系： a2＋b2＝c2（勾股定理）； 2. 解直角三角形的依据 (2) 两锐角之间的关系： ∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3) 边角之间的关系： tanA＝ sinA＝ a c cosA＝ A C B a b c b c a b BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 · O C B A “欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人王之涣的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点， =500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？ 你能画出几何图形吗？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度， ∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km). 即这层楼至少要高19km，即19000m. 这是不存在的. 在Rt△OCB中，∠O · O C B A BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30，在C点测得∠BCD=60，又测得AC=100米，求B点到河岸AD的距离. 解：过 B 作 BM⊥AD ∵∠BAD=30 ，∠BCD=60 ， ∴∠ABC=30 ∴AC-CB=100米， ∵ BM⊥AD，∴∠BMC=90 ，∴∠CBM=30 ∴CM= CM=50米 M BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 A B C D α β 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 答：这栋楼高约为277.1m 解：用线段BC表示高楼，A表示热气球所在位置，过A作AD⊥BC于D， α = 30°,β= 60°， AD＝120m． ， BC=BD+CD= BY YUSHEN BY YUSHEN 方法总结 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB.小刚在D处用高1.5m的测角仪CD ,测得教学楼顶角A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E处,又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这栋教学楼的高度AB. 解：如图，由题意可知， ∠ACG=30°，∠AFG=60°， CF=DE=40m,设AG=xm 在Rt△AFG中，FG= , 在Rt△ACG中，CG= ，∵CF=CG－FG,∴－ =40 ∴x=20,∵BG=CD=1.5, AB=AG+GB,∴AB=(20+1.5) 所以，教学楼高AB为（20+1.5）m BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图，在相距2000米的东西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到0.001米） 解：在Rt△ABC中， ∵ ∠DAC=40°∴ ∠CAB=50° =tan∠CAB ∴ BC=AB× tan∠CAB = 2000×tan50° ≈2.384（米） ∵ =cos50° ∴ AC== ≈3.111(米） 答：敌舰与A、B两炮台的距离分别为3.111米和2.384米. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，CD与AB的夹角∠BDC=60°.综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D 的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE=3m, EF=8m(A,E,F在同一条直线上)根据以上数据，解答下列问题： (1)求灯管支架底部距地面高度AD 的长； BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 (2)求灯管支架CD 的长. BY YUSHEN BY YUSHEN 解直角三角形的简单应用 归纳总结 知识基础 直角三角形的边角关系 两个锐角之间的关系 勾股定理 应用类型 高度问题、距离问题 解题关键 画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与 地面成30°角时，测得旗杆在地面上的影长为24米，那么旗杆的高度约是( ) A. 12米 B. 米 C. 24米 D. 米 B 2. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点B到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平 面BC的夹角为45°，则这棵大树高是 米. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 4.从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼,探测器显示,看到教学楼底部点C处的俯角为45°,看到楼顶部点D处的仰角为60°,已知两栋楼之间的水平距离为6米,则教学楼的高CD是 （ ） A.(6+6)米 B. (6+3)米 C. (6+2)米 D. 12米 A 5.2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点P时，位于海平面R处的雷达测得点R到点Q的距离为a千米，仰角为β则此时火箭距海平面的高度PQ为 千米. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6.如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔P．小华在海岸线上的点A测得灯塔P在北偏东70°的方向上；小华继续沿着正东方向走了a海里到达点B处，此时测得灯塔P在北偏东50°的方向上．那么灯塔P到海岸线的距离为 海里. 7.图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若∠ACB=90°， ∠ABC=α，当h1=h2=h,AB可表示为 . BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 9.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求:(1)从A处到B处的距离;(2)灯塔Q到B处的距离. 解：由题意可知， AB=32.6×0.5=16.3（海里） 在Rt△ABC中， =tanA ∴ BQ=AB× tanA = 2000×tan30° =2000× =（海里） 答：AB的距离是16.3海里，BQ的距离是海里. B A Q BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 10.为了缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）已知立杆AB高度是3米，从侧面点D测得显示牌顶端点C和低端点B的仰角分别为60°和45°，求路况显示牌BC的高度.(结果保留根号） C B A D 3m 60° 45° 施 工慢 行 B 解：在等腰三角形BDA中∵∠BAD=90°,∠ADB=45° ∴AD=AB=3m 在Rt△ACD中，∵∠ADC=60° ∴AC=tan∠ADC×AD=tan60°×3=3 ∴BC=AC－AB=( 3－3)m 答：路况显示牌BC的高度为 （3－3)m. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 11.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号） G 解：作AG⊥CD于点G， 则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米. ∴ (米). ∴CD=CG+DG= ( +1.5) (米)， ∴ (米). BY YUSHEN BY YUSHEN $