28.2.2 应用举例 闯关练 2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.2.2 应用举例 闯关练 2025-2026学年 下学期初中数学人教版九年级下册 一、单选题 1．如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是（    ）．    A．30° B．40° C．50° D．60° 2．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡AB的坡比是，则的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．12米 3．一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（    ） A．30° B． C． D． 4．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，电线杆的中点C处有一标志物，在地面D处测得标志物的仰角为，若D到电线杆底部B的距离为12米，则电线杆的长为（　　）    A．8米 B．米 C．米 D．米 6．最近央视纪录片《航拍中国》中各地的美景震撼了全国观众，如图是航拍无人机从A点俯拍在坡比为3：4的斜坡CD上的景点C，此时的俯角为30°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为45°．已知无人机与斜坡CD的坡底D的水平距离DE为400米，则斜坡CD的长度为（　　）米（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73） A．91.1 B．91.3 C．58.2 D．58.4 7．如图，登山爱好者在山脚A处测得山顶B处的仰角∠BAC为30°，在坡比为5：12的山坡AD上走1300米到达D处．已知BD的坡比为1：1，则山的高BC为（　   ）米．      A． B． C．1000 D． 8．如图，在塔前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为，则塔的高为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 9．若斜坡的坡度，则该斜坡坡角的度数是 ． 10．小明为测量校园里一棵大树的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪竖直放在与B相距的位置，在D处测得树顶A的仰角为．若测角仪的高度是，则大树的高度约为 ．（结果精确到．参考数据：） 11．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的坡度为i＝1：2.5，过B点作BC⊥AC．垂足为点C．若大厅水平距离AC的长为7.5m，则两层之间的高度BC为 米． 12．如图，从地面上的点看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点的仰角是，向前走到达点，测得杆顶端点和杆底端点的仰角分别是和．则该电线杆的高度是 （结果可保留根号）． 13．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为，已知米，山坡坡度为，且O，A，B在同一条直线上，则此人所在位置点P的铅直高度为 米．    14．如图，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船从以每小时海里的速度沿南偏东方向匀速航行，轮船航行半小时到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与处的距离是 海里． 三、解答题 15．公园里有一座假山，在B点测得山顶H的仰角为45°，在A点测得山顶H的仰角是30°，已知AB=10m，求假山的高度CH．（结果保留根号） 16．如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？ 17．如图，某小区楼房附近有一个斜坡，坡角为30°，小王发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子长CD=6m，坡脚到楼房的距离CB=8m．在D点处观察点A的仰角为60°．求楼房AB的高度（结果保留根号）． 18．如图，从A地到地的公路需经过地，图中，，，因城市规划的需要，将在A、两地之间修建一条笔直的公路，求改直的公路的长．（参考数据：，，）（结果保留整数） 19．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，坡CD的坡度i=1：，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）    20．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为，然后沿方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为，测角仪的高度为1.6m．参考数据：，，，．    (1)求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m）； (2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B A C B A D 1．B 【分析】过A点作AC⊥OC于C，根据直角三角形的性质可求∠OAC，再根据仰角的定义即可求解． 【详解】解：过A点作AC⊥OC于C，    ∵∠AOC=50°， ∴∠OAC=40°． 故此时观察楼顶的仰角度数是40°． 故选：B． 【点睛】考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，关键是作出辅助线构造直角三角形求出∠OAC的度数． 2．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据题意可以求得米，再根据勾股定理即可求得的长，本题得以解决． 【详解】解：∵米，迎水坡的坡比为， ∴， ∴米， ∴米， 故选：D． 3．B 【分析】画出对应图形，根据题意即勾股定理求出水平距离的长度，利用坡度等于铅直距离与水平距离之比，求出坡度即可． 【详解】解：如下图所示： 由题意即图可知：，， 在中，由勾股定理可得：， 坡度为：． 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了坡度的定义以及勾股定理，熟练掌握坡度的定义，是求解该类问题的关键． 4．A 【分析】过点A作于D，根据轴对称图形得性质即可得，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案． 【详解】解：过点A作于D，如图所示： ∵，， ∴， 房顶A离地面的高度为：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握利用正弦值及斜边求一条直角边，是解题的关键． 5．C 【分析】根据题意可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的中点定义即可解答． 【详解】解：由题意得：米， 在中，， ∴（米）， ∵点C是AB的中点， ∴（米）， ∴电线杆AB的长为米． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解解直角三角形求得是解答本题的关键． 6．B 【分析】作CP⊥BE、CQ⊥DE，设AP＝x，知CP＝x，根据BP＝CP建立方程求出x的值，即可得CP＝QE＝100+300，QD＝CP﹣DE＝100﹣100，由＝知＝，从而得CD＝QD，即可得出答案． 【详解】解：如图，作CP⊥BE于点P，作CQ⊥DE于点Q， 由题意知∠ACP＝30°，∠BCP＝45°， 设AP＝x，则CP＝＝＝x， ∵∠BCP＝45°， ∴BP＝CP，即x＝200+x， 解得：x＝100+100， ∴CP＝x＝100+300， ∵DE＝400， ∴QD＝QE﹣DE＝CP﹣DE＝100+300﹣400＝100﹣100， ∵＝， ∴＝， 则CD＝QD＝（100﹣100）≈91.3（米）， 故选B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法． 7．A 【详解】解：如图：    ∵DE：AE=5：12， 设DE=5x，AE=12x，则AD=， ∴DE：AE：AD=5：12：13， ∵AD=1300米， ∴AE=1200米，DE=500米， 设EC=y米， ∵BD的坡比为1：1， ∴ BF=y米． 又∵∠BAC=30°， ∴AC=CB． 即：1200+y=（500+y）， 解得y=350-150． ∴BF=350-150， ∴CB=BF+CF=350+350（米）． 故选A． 【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助坡比、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 8．D 【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设（米），再利用的关系，进而可解即可求出答案． 【详解】解：在中， ∵， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． 设AB=x（米）， ∵， ∴． ∴ ∴米． 故选∶D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 9．/30度 【分析】根据坡度等于坡角的正切值即可求解． 【详解】解：如图，    由题意知， 即， ， 即该斜坡坡角的度数是． 故答案为：． 10．11m 【分析】过D作DE⊥AB，解直角三角形求出AE即可解决问题． 【详解】如图，过D作DE⊥AB，则四边形BCDE是矩形， ∴BC=DE，BE=CD， ∵ 在D处测得旗杆顶端A的仰角为52º， ∴∠ADE=52º， ∵BC=DE=8m， ∴AE=DE⋅tan52º≈8×1.28≈10.24m， ∴AB=AE+BE=AE+CD=10.24+1=11.24m≈11m. ∴AB约为：11m. 故答案为：11m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解答的关键． 11．3 【分析】根据AB的坡度即为BC：AC，从而求出BC的长. 【详解】解：∵AB的坡度为i＝1：2.5， BC⊥AC，大厅水平距离AC的长为7.5m， ∴BC：AC＝1：2.5， 则BC＝7.5÷2.5＝3（m）． 故答案为3． 【点睛】此题考查的是坡度，熟知坡度的公式：坡面的垂直高度和水平距离的比，是解决此题的关键. 12． 【分析】延长交直线于点，设米，在和中，根据三角函数利用表示出和，根据即可列出方程求得的值，再在中，利用三角函数求得的长，则的长度即可求解． 【详解】延长交直线于点，设米， 在中， ∵， ∴米， 在中， ∵，米， ∴米． ∵米， ∴， ∴米， ∴米． 在中， ∵，， ∴米， ∴米． 【点睛】本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得的长度是解本题的关键． 13． 【分析】在图中共有三个直角三角形，即、，利用、以及坡度比，分别求出、、，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决． 【详解】解：作于点，于点， 在中，，， （米）． 设米， ， ． 在中，，，， ， ， 解得． 答：此人所在位置点的铅直高度米， 故答案为：．    【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 14．30 【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答． 【详解】根据题意， ∠1=∠2=30°， ∵∠ACD=60°， ∴∠ACB=30°+60°=90°， ∴∠CBA=75°-30°=45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵BC=60×0.5=30， ∴AC=BC=30（海里）． 故答案为30． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键． 15．（）米． 【分析】设CH=xm, 根据仰角的定义得到 再根据等腰三角形的性质得BC=CH=x，根据含的直角三角形三边的关系得解出即可． 【详解】解： 如图,设CH=xm,由题意得 在中，BC=CH=x， 在中,   ∵AB+BC=AC， 解得 所以假山的高度CH为 米． 16．C点距离雷达站D是km． 【分析】先通过cos∠BDA求出AD的长,再通过cos∠CDA求出CD的长即可． 【详解】在Rt△ABD中,cos∠BDA＝, ∴AD＝4×＝ (km)； 在Rt△ACD中,cos∠CDA＝, ∴CD＝＝ (km)． ∴C点距离雷达站D是km． 【点睛】本题考查解直角三角形和三角函数应用,关键在于通过图象结合． 17．AB=12+ 【分析】作DE⊥BC，DF⊥AB，根据正弦、余弦的定义求出DE、EC，根据正切的概念求出AF，计算AF+FB即可得到AB的高度． 【详解】解：作DE⊥BC，DF⊥AB， 在Rt△CDE中， ∵CD=6，∠DCE=30°， ∴DE=6×sin30°=3=FB，EC=6×cos30°=， ∴EB=EC+CB=， 在Rt△ADF中， ∵∠ADF=60°，DF=EB=， ∴AF=DF×tan60°=9+， ∴AB=AF+FB=12+； 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握解直角三角形是解题的关键. 18．改直的公路的长为 【分析】过点C作于点D，在中根据求出的长，由求出的长，同理可得的长，根据可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 在中，， ， ， ， ， ， 答：改直的公路的长为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形，求出相关线段． 19． 米. 【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，由已知可求∠DCF=30°，可求DF，利用勾股定理可求CF，由题意得∠E=30°，可求 EF，BE，利用AB=BE×tanE即可计算得解． 【详解】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，    ∵∠BCD=150°，则∠DCF=30°，又CD=4， ∴DF=2，CF=， 由题意得∠E=30°，则 EF= ∴BE=BC+CF+EF=6+4， ∴AB=BE×tanE=（6+4）×=米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键，考查了数形结合思想，属于中档题． 20．(1)12.3m (2)0.3m 【分析】（1）过点A作，交的延长线于点E，连接并延长，交于点D ，m，利用即可求解； （2）用即可． 【详解】（1）解：过点A作，交的延长线于点E，连接并延长，交于点D．    则， 由题意得：m，m，，， 设m，则m，m， 在中， ， ∴m， ∴m， 即观星台最高点A距离地面的高度约为m． （2）解：m． ∴本次测量结果的误差为0.3m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用题中信息是解题关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $