28.2.2(第3课时)利用方位角、坡度角解直角三角形（培优教学课件）数学人教版九年级下册

第28章 锐角三角函数 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 28.2.2(第3课时) 利用方位角、坡度角 解直角三角形 BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航线.在A处看见小岛C在船北偏东60°方向上，40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围是多暗礁的危险区.如果这艘渔船继续向东航线，有没有进入危险区的可能. B C A 北 30° 60° 思考： 如何判断渔船有没有可能进入危险区？ BY YUSHEN BY YUSHEN 知识清单 方位角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角. 30° 45° B O A 东 西 北 南 北偏东30° 南偏西45° BY YUSHEN BY YUSHEN 知识清单 方位角 东 西 北 南 O (1)正东，正南，正西，正北 (2)西北方向:_________ 西南方向:__________ 东南方向:__________ 东北方向:__________ 射线OE A B C D OF OG OH 45° 射线OE 射线OF 射线OG 射线OH E G F H 45° 45° 45° BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 分析：只需要计算垂线段CD的长度即可. CD即渔船与小岛的最近距离， 当CD≥10时，没有危险；当CD＜10时，有危险. D B C A 北 30° 60° 转化为数学问题：如图，AB的长为 海里，∠EAC=60°,∠FBC=30°,求CD的长. E F BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 20 B C A 北 30° 60° D E F 法一： 解： 过点C作CD⊥AB的延长线于点D. 则∠CBD=60°,设BD=x， 在Rt△BCD中 ∴CD=BD·tan∠CBD=x 在Rt△ACD中， ，解得 x=10， ∴渔船不会进入危险区. 两个直角三角形△BCD与△ACD各用一次三角函数 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 20 B C A 北 30° 60° D E F 法二： 解： 过点C作CD⊥AB的延长线于点D. 则∠CBD=90°-30°=60°, ∵∠1=90°-60°=30° ∴∠2=∠1=30° ∴BC=AB=20 在Rt△BCD中 ∴渔船不会进入危险区. 把已知数值导入Rt△CBD中，不再用设未知数 1 2 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 20 B C A 北 30° 60° D E F 法三： 解： 过点C作CD⊥AB的延长线于点D. 则∠CBD=60°,设CD=x, 在Rt△BCD中 在Rt△ACD中， ∴渔船不会进入危险区. 两个直角三角形△BCD与△ACD各用一次三角函数 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 200km 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足． 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°. ∵AC＋BC＝AB， ∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200， 即 PC＋PC＝200， 解得 PC≈126.8km＞100km. 答：计划修筑的这条高速公 路不会穿越保护区． C BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 如图．点A为某物流中心，B、C、D为三个驿站，B在A的正北方向4.5km处，D在A的正东方向，C在D的北偏西37°方向3km处，B在C北偏西60°方向． (1)求驿站B与驿站C之间的距离（结果精确到0.1km）； ∴AK=CJ，AJ=CK， ∵∠JCD=37°，CD=3km，∠CJD=90°， ∴CJ=CD·cos37°≈3×0.8=2.4km， ∴AK=CJ=2.4km， ∵AB=4.5km， ∴BK=AB−AK=4.5−2.4=2.1km， ∵∠BCK=90°−60°=30°，∠BKC=90°， ∴BC=2BK=4.2km． ∴驿站B与驿站C之间的距离约为4.2km． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 (2)某日，快递员从该物流中心A出发，以30km/h的速度沿A−B−C−D的路线派送快递到各个驿站、快递员途经B，C两个驿站各停留6min存放快递，请计算说明快递员能否在40min内到达驿站D？ （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （2）解：∵AB=4.5km，BC=4.2km，CD=3km， ∴t=(4.5+4.2+3)÷30=0.39h =0.39×60=23.4min， ∴总时间为：23.4+6×2=35.4min<40min， ∴快递员能在40min内到达驿站D． BY YUSHEN BY YUSHEN 用三角函数求边长时的注意事项 1.当给出的已知边长恰为直角三角形的边长时，可直接计算； 2.当给出的已知边长不是直角三角形的边长时，可设未知数； 3.当图形中出现两个直角三角形时，一般会用两次三角函数. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度i' =1:2.5,求斜坡AB的坡角 ，坝底宽AD和斜坡AB的长. BY YUSHEN BY YUSHEN 知识清单 坡角 1. 坡角： 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . 2. 坡度 (或坡比)：如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l .坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6. α l h i= h : l 坡面 水平面 3.坡度与坡角的关系： 坡度等于坡角的正切值 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡， 即tan α的值就越大． BY YUSHEN BY YUSHEN 特别注意 ⑴坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与坡角相混淆; ⑵坡度通常写成“ h:l ”的形式 ⑶坡度i 和坡角α的关系为i＝tanα. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图，坡比为1:的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，求两树间的坡面距离AB. 坡比为1: 的斜坡上两树间的水平距离AC为2m， . BY YUSHEN BY YUSHEN 解： 设小山岗的高AB为x m，在Rt△ABC中，   ∴BC＝ x m． ∴BD＝DC＋BC＝ ∵在Rt△ABD中，tan∠ADB＝ tan 26.6°≈0.50， ∴ ≈0.50，解得x≈300.答：小山岗的高AB约为300 m. 典例精析 例4 如图所示，小山岗的斜坡AC的坡度tan α＝ ，在与山脚C距离200 m的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.(结果取整数，参考数据：sin 26.6°≈ 0.45，cos 26.6°≈ 0.89，tan 26.6°≈ 0.50) BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 一个长方体快递盒沿斜面下滑，当快递盒滑至如图所示的位置时，AB＝3 m，已知快递盒高BE＝ m，斜面坡角为30°，求快递盒端点E距地面AC的高度EF. 解：如图，连接AE. 在Rt△ABE中，AB＝3，BE＝ ， 则AE= ∵tan ∠EAB= ∴∠EAB＝30°. 在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB+∠BAC＝30°+30°＝60°， ∴EF＝AE×sin ∠EAF＝ 答：快递盒端点E距地面AC的高度EF为3 m. 例5 BY YUSHEN BY YUSHEN 解： 作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F， 由题意可知 DE = CF = 4.2, EF = CD = 12.51. 在 Rt△ADE 中，  在Rt△ BCF中，同理可得 ∴AB = AE + EF + BF ≈6. 72 + 12.51 +7.90 ≈27. 1(米). 答：路基下底的宽约为27. 1米. 典例精析 例6 如图，修建“三峡千古情”一段路基的横断面是梯形，高为4. 2米，上底宽为12. 51米，路基的坡面与地面的倾角分別是32°和28°，求路基下底的宽.（精确到0. 1米） 12.51米 4.2米 A B C D E F ┐ ┐ 32° 28° BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 如图，果果为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走到点D，此时从点A到D垂直上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1:3，E、A、C在同一水平线上．求大树BC的高度约为多少米？ （参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86, tan31°≈0.60） 解：根据题意，BC⊥AC,∠CAB=45°， ∴AC=BC，如图所示，过点D作DG⊥EC,DH⊥BC， ∴四边形DGCH是矩形， ∴DG=CH=2米，DH=AG+AC， ∵斜坡AF的坡比为1:3， ∴=13，则AG=2DG=6米， BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 如图，果果为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走到点D，此时从点A到D垂直上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1:3，E、A、C在同一水平线上．求大树BC的高度约为多少米？ （参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86, tan31°≈0.60） 设AC=BC=x米，则BH=BC−CH=(x−2)米，DH=(6+x)米， 在Rt△BDH中，∠BDH=31°， ∴tan31°=，即tan31°=， 整理得，x(1−tan31°)=6tan31°+2， ∴x=≈， 解得，x=14， 经检验，当x=14时，原方程有意义， ∴大树BC的高度约为14米． BY YUSHEN BY YUSHEN 利用 方位角、坡度角 解直角三角形 归纳总结 坡度 坡角 坡度(或坡比) 方位角 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1．如图，A，B两景点相距15km，景点C位于景点A北偏东60°方向上，位于景点B北偏西30°方向上，则A，C两景点相距（    ） B 2．通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东30°，5海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP的长为x，BP2为y，y关于x的函数图象（如图2所示），最低点P(4,m)，且经过Q(5,n)．则下列选项正确的是（    ） A．△ABC的面积是20 B．m=49 C．点(1,57)在该函数图象上 D．n=50 C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 3.堤的横断面如图.堤高BC是10米,迎水坡AB的坡比是1∶，那么斜坡AB的坡度是(　　)米. A. B. C.20 D. C 4.拦水坝横断面如图所示，斜坡AB的水平宽度为12米，斜坡坡度是1:2，则坡面AB的长度是(　　) A．4 m　　B． m　C．12 m　D．24 m B BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的A处． 如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB是 (　　) A．2海里 B．2sin 55°海里 C．2cos 55°海里 D．2tan 55°海里 C 6.如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是(　　) A．15 海里 B．30海里 C．45海里 D．30 海里 B BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7.如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是(　　)米/秒． A．20( ＋1) B．20( －1) C．200 D．300 A BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8. 如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2 000米，则他实际上升了______米． 1000 9．如图，在港口P的南偏东60°方向有一座小岛Q，一艘船从港口P出发沿正东方向行驶24海里后到达A处，在A处测得小岛Q恰在其西南方向，那么小岛Q与港口P相距 海里．（结果保留根号） BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 10.如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，果果在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，果果沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为________． 11 11.如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为____海里(结果取整数)． (参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4) BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 12．如图，一艘货轮以36海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向． (1)求此时货轮C到线段AB的距离；（结果保留根号） （1）解：∵货轮速度36海里/小时，航行40分钟， ∴AC=36×=24海里， 过点C作CD⊥AB于点D， ∵∠CAD=45∘，CD⊥AB， ∴CD=AC⋅sin45°=24×=12， ∴货轮C到线段AB的距离为12海里； BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 12．(2)求此时货轮C与灯塔B的距离（结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73）． （2）解：∵∠NCA=180°，∠NCB=75° ∴∠ACB=180°−75°=105° ∵∠CAD=45°， ∴∠B=180°−45°−105°=30° 在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=12 ∵sinB= ∴CB=CDsin30° CB=24≈24×1.41=33.8， ∴货轮C与灯塔B的距离约为33.8海里． BY YUSHEN BY YUSHEN $