精品解析：河南省永州市祁阳市浯溪第一中学2025-2026学年八年级上学期期末学情检测数学试卷

浯溪一中2025-2026学年八年级上学期期末学情检测《数学》试卷 一．选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，掌握分式需要满足“分子分母是整式且分母含有字母”是解题关键． 根据分式定义，依次判断代数式是否符合条件． 【详解】解：选项A分母为2025，不含字母， 选项B分母为2，不含字母， 选项C分母为，含有字母， 选项D是整式，不是分式， 故选项C是分式． 故选：C． 2. 化简：的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加法运算．通过通分将两个分式合并，利用平方差公式分解分母，然后相加化简，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：B 3. 若，，，，则a、b、c、d的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方等运算，根据相关运算法则计算后，进行比较大小即可. 【详解】解：，，， ∵ ∴， 故选：D 4. 某市为美化环境，计划植树30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务．设原计划每天植树x万棵，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原计划每天植树x万棵，需要天完成，实际每天植树万棵，需要天完成，根据提前5天完成任务列方程即可． 【详解】设原计划每天植树x万棵，需要天完成，则实际每天植树万棵，需要天完成， ∵提前5天完成任务， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是利用题目中的等量关系． 5. 已知为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，及分母不为0，熟练掌握二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零是解答本题的关键． 【详解】解：A.当时，没有意义，不符合题意； B.当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； C.当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； D.当，即取全体实数时，有意义，符合题意． 故选D． 6. 化简计算正确的结果是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘法运算法则，准确计算．根据二次根式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 7. 如图，在中，，分别为，的角平分线，，则（ ） A 120° B. 125° C. 130° D. 140° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线性质．根据三角形内角和定理求出与之和，再根据角平分线性质求出与之和，再由三角形内角和定理即可求出的值，掌握三角形内角和定理“三角形三个内角和等于”是解本题关键． 【详解】解：， ， ，分别为，的角平分线， ∴， ， ， 故选：B． 8. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 直线不经过第二象限 C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 甲、乙两组学生身高的方差分别为，则乙组学生的身高较整齐 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，一次函数图象经过象限，平行线的判定，方差与稳定性之间的关系，对顶角的性质，根据对顶角的性质可判断A；根据一次函数图象与其系数的关系可判断B；根据平行线的判定定理可判断C；根据方差越小，数据越稳定可判断D． 【详解】解：A、对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意； B、直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，原命题是真命题，不符合题意； C、同旁内角互补，两直线平行，同旁内角相等时，不一定有两直线平行，原命题是假命题，符合题意； D、∵ ∴乙组学生的身高较整齐，原命题是真命题，不符合题意； 故选：C． 9. 下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据完全重合的图形为全等图形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、这两个图形能够完全重合，它们属于全等图形，故该选项符合题意； B、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，故该选项不符合题意； C、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，故该选项不符合题意； D、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，故该选项不符合题意； 故选：A 10. 在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了赵爽弦图，二元一次方程组，勾股定理，根据赵爽弦图，将正方形分成4个全等的直角三角形，和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为，那么，然后解方程组，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：将每个正方形分成四个全等的直角三角形和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为， 那么， ， 正方形的边长为， 故选：B． 二．填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键．提公因式即可分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若最简二次根式与相等，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式与相等，可得关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出的值． 【详解】解：最简二次根式与相等， 可得：， 解得：， ． 故答案为： ． 13. 如图，点在的平分线上，若能用判定，则需添加的一个条件是 _______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据全等三角形的判定定理（在两个三角形中，如果两边和它们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等）即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是公共边，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质可得到，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，再根据直角三角形的性质可得，从而推出的长，进而可求解． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形中，，， ∴， ∴． 故答案为：6． 15. 如图，在RtABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为_____________°． 【答案】40° 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求得∠AEB=80°；根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，则∠C=∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵∠B=90°，∠BAE=10°， ∴∠BEA=80°． ∵ED是AC的垂直平分线， ∴AE=EC， ∴∠C=∠EAC． ∵∠BEA=∠C+∠EAC， ∴∠C=40°． 故答案为：40°． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，涉及到三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质的知识，难度适中． 16. 如图，一面镜子斜固定在地面上，且，点P是距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为时，的长是___． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，垂线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，根据轴对称的性质作辅助线是解题关键．作点P关于的对称点，则，当点、D、E三点共线，且时，光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短，过点P作，则，证明是等边三角形，得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点，则， 当点、D、E三点共线，且时，光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短， ∵光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为， ∴， 过点P作， ∵点P是距离地面为的一个光源， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：6． 三．解答题（8小题，共72分） 17. 分解因式： （1）4m3n﹣mn3 （2）（x﹣1）（x﹣3）+1． 【答案】（1）mn（2m+n）（2m﹣n） （2）（x﹣2）2 【解析】 【分析】（1）先提取公因式mn，再利用平方差公式分解可得； （2）先化简原整式，再利用完全平方公式计算可得． 【小问1详解】 解：原式=mn（4m2﹣n2）=mn（2m+n）（2m﹣n）； 【小问2详解】 解：原式=x2﹣4x+3+1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式混合运算法则计算即可得解； （2）先将分母化为相同的，再计算加减即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算、完全平方公式、平方差公式． （1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并即可； （2）先化简二次根式，再算括号里的加减法，再算除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列方程． （1） （2） 【答案】（1）原方程无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【小问1详解】 解：， 两边都乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，即原方程无解； 【小问2详解】 解：， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 21. 在除夕夜前夕，某店购进花灯和福字两种装饰物，销售过程中发现福字比花灯销量大，店主决定将花灯每个降价5元促销，降价后300元可购买花灯的数量是原来可购买花灯数量的1.5倍． （1）求降价后每个花灯的售价是多少元？ （2）店主用不多于5400元的资金再次购进两种装饰物共1000个，福字进价为6元／个，花灯进价为5元／个，问至少购进花灯多少个？ 【答案】（1）降价后每个花灯的售价是10元 （2）至少购进花灯600个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意建立方程或不等式求解． （1）通过设降价后售价为未知数，根据数量关系建立分式方程求解； （2）通过设购进花灯数量为未知数，根据总资金限制建立不等式求解． 【小问1详解】 解：设降价后每个花灯的售价是元，则降价前每个花灯的售价为元， 由题意得，， 化简得，， 整理得，， 解得， 经检验是原方程的根，且符合题意， 答：降价后每个花灯的售价是10元； 【小问2详解】 解： 设购进花灯个，则购进福字个， 由题意得，， 解得， 答：至少购进花灯600个． 22. 在等边中，是边上的中线，E为上一动点，连接，在的下方作等边． （1）当时，连接，求的度数． （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明为等腰直角三角形，得到，然后计算，接着通过算得答案； （2）先证明，结合，从而得证． 【小问1详解】 解：为等边三角形，是边上的中线， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 【小问2详解】 证明：为等边三角形，为等边三角形， ，， ， ． 23. 如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求证：平分． （3）若，，求的长． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析 （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，掌握等边三角形的判定和性质是解题关键． （1）证明是等边三角形，再结合平行线的性质，得到，即可得出是等边三角形； （2）先判定是的垂直平分线，再根据三线合一的性质证明即可； （3）根据角平分线的定义和平行线的性质，得到，则，进而求出，再根据等边三角形的性质，得到，即可求出的长． 【小问1详解】 解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； 【小问3详解】 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 24. 如图，等边的边长为，点P在边上以每秒的速度从A向B运动，到点B停止；点Q在射线上以每秒的速度从B向C运动，随着点P的停止而停止；设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示线段长度：_______，_________； （2）当t为何值时，为直角三角形； （3）若运动过程中，线段与边交于点M，请问是否存在点M为线段中点的情况？若存在，请求出此时的t值和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或时，为直角三角形 （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）分两种情况进行讨论，利用含角的直角三角形的性质，进行求解即可； （3）假设存在点M为线段中点的情况．过点P作交AC于点D．证明，得出相等的线段，然后列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，要使为直角三角形，分两种情况讨论： 情况1：当时，， ∴， ∴， 解得； 情况2：当时，， ∴， ∴， 解得． 因为点P到点B停止运动，所以t的取值范围是， 所以，当或时，为直角三角形； 【小问3详解】 解：假设存在点M为线段中点的情况．过点P作交AC于点D． 因为是等边三角形，，所以是等边三角形， ，则． 因为， 所以，． 又因为M是PQ中点， 所以， ∴， 则，． ∵，， 所以， ． 当时，，因为， 所以． 经检验，当时，Q在BC延长线上，PQ与AC交于点M，符合题意． 【点睛】本题主要考查了动点问题，等边三角形的性质，列代数式，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浯溪一中2025-2026学年八年级上学期期末学情检测《数学》试卷 一．选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简：的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，，则a、b、c、d的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 某市为美化环境，计划植树30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务．设原计划每天植树x万棵，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（ ） A B. C. D. 6. 化简计算正确的结果是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 如图，在中，，分别为，的角平分线，，则（ ） A. 120° B. 125° C. 130° D. 140° 8. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 直线不经过第二象限 C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 甲、乙两组学生身高的方差分别为，则乙组学生的身高较整齐 9. 下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 10. 在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 3 二．填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_________ ． 12 若最简二次根式与相等，则 ______． 13. 如图，点在的平分线上，若能用判定，则需添加的一个条件是 _______________ 14. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长为______． 15. 如图，在RtABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为_____________°． 16. 如图，一面镜子斜固定在地面上，且，点P是距离地面为一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为时，的长是___． 三．解答题（8小题，共72分） 17. 分解因式： （1）4m3n﹣mn3 （2）（x﹣1）（x﹣3）+1． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 计算： （1） ； （2）． 20 解下列方程． （1） （2） 21. 在除夕夜前夕，某店购进花灯和福字两种装饰物，销售过程中发现福字比花灯销量大，店主决定将花灯每个降价5元促销，降价后300元可购买花灯的数量是原来可购买花灯数量的1.5倍． （1）求降价后每个花灯的售价是多少元？ （2）店主用不多于5400元的资金再次购进两种装饰物共1000个，福字进价为6元／个，花灯进价为5元／个，问至少购进花灯多少个？ 22. 在等边中，是边上的中线，E为上一动点，连接，在的下方作等边． （1）当时，连接，求的度数． （2）求证：． 23. 如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求证：平分． （3）若，，求长． 24. 如图，等边的边长为，点P在边上以每秒的速度从A向B运动，到点B停止；点Q在射线上以每秒的速度从B向C运动，随着点P的停止而停止；设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示线段长度：_______，_________； （2）当t为何值时，为直角三角形； （3）若运动过程中，线段与边交于点M，请问是否存在点M为线段中点的情况？若存在，请求出此时的t值和的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $