第18期 第15章 轴对称图形与等腰三角形 复习与小结-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（沪科版2024 安徽专版）

八年级数学沪科(AH) 第14~18期 发理极 答案详解 2025~2026学年 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 第14期综合测评卷 20.(1)因为∠ABD=∠CBE,所以∠ABD+∠DBC= ∠CBE+∠DBC,即∠ABC=∠DBE=90°.在△ABC和△DBE 题号1 2345678910 r∠ABC=∠DBE, 答案CBD AAC DD C D 中，因为AB=DB, 所以△ABC≌△DBE(ASA). 二、11.4；12.70°；13.28；14.=2β；15.①②③. I∠BAC=∠BDE, 三、16.因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= (2)过点A作AM⊥BD于点M,图略.所以∠AMB=90° AB DE. =∠EBD.因为F是AE的中点，所以AF=EF,由对顶角相等， EF.在△ABC和△DEF中，因为 AC=DF,所以△ABC≌ 得∠AFM=∠EFB.在△AFM和△EFB中，因为 BC EF, ∠AMF=∠EBF, △DEF(SSS).所以∠B=∠DEF=65°.又因为∠A=88°，所 ∠AFM=∠EFB,所以△AFM≌△EFB(AAS).所以AM= 以∠ACF=∠A+∠B=153°. AF EF 17.根据题意，得∠OAB=∠C=90°.在△AOB和△COD EB=BC,MF=BF.所以BM=2BF.因为∠DBC+∠ABF= AB CD. 90°，∠ABF+∠BAM=90°，所以∠DBC=∠BAM.在△ABM 中，因为 ∠OAB=∠C,所以△AOB≌△COD(SAS).所以 AB BD. A0=C0. 和△BDC中，因为 ∠AOB=∠COD.所以点D,O,B三点共线，即钻头正好从点B ∠BAM=∠DBC,所以△ABM≌ 处打出. AM BC, 18.如图1，过点D作DH⊥BC于点 D △BDC(SAS).以BM=CD.所以CD=2BF H.所以∠EHD=90°.因为DE⊥AC,所 21.(I)因为EF⊥AC,AD⊥AE,所以∠AFE=∠EAD= 以∠AFD=90°.因为∠BAC=90°，所 ∠ACB=90°所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAF= 以AB∥DE.所以∠B=∠DEH.在 90°.所以∠ADC=∠EAF.在△AFE和△DCA中，因为 △ABC和△HED中，因为 B r∠AFE=∠DCA, r∠BAC=∠EHD, 图 ∠EAF=∠ADC,所以△AFE≌△DCA(AAS).所以AC= ∠B=∠DEH,所以△ABC≌ EA AD. BC ED, △HED(AAS).所以HD=AC=4.因为SACE=6,所以 EF=3,AF=DC=1.所以CF=AC-AF=2. (2)如图2，过点E作EM⊥AP,交AP的延长线于点M因 2CBH0=6所以CB=3 为EM⊥AP,AD⊥AE,所以∠AME=∠EAD=∠ACB=90°. 19.(1)因为点O是线段AB的中点，所以OA=OB.因为 所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAM=90°.所以 AC=AO,BD=BO,所以AC=BD.因为CE⊥AB,DF⊥AB, ∠EAM=∠ADC.在△AME和△DCA中，因为 所以∠CEA=∠DFB=90°.在Rt△AEC和Rt△BFD中， ∠AME=∠DCA, [AC=BD,所以Rt△AEC≌R△BFD(HL).所以∠A=∠B. ∠EAM=∠ADC,所以△AME≌△DCA(AAS).所以EM= LCE DF. AE DA. (2)由(1)得∠CE0=∠DF0=90°.因为Rt△AEC≌ Rt△BFD,所以AE=BF.因为OA=OB,所以OA-AE=OB- AC.因为BC=AC,所以BC=ME.在△BCP和△EMP中，因为 BF,即OE=OF.在△CEO和△DFO中，因为 r∠BPC=∠EPM, CE DF. ∠BCP=∠EMP,所以△BCP≌△EMP(AAS).所以BP= ∠CE0=∠DFO,所以△CEO≌△DFO(SAS) BC EM, OE =OF, EP.所以BE=2BP 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 6.图略. 7.(1)图略. (2)(-a,b). (3)△ABC的面积为6. 能力提高8.B. 图2 图3 9.(1)(3,2) (3)如图3，过点E作EN⊥AP,交AP的延长线于点N.因 (2)点A,B沿x轴翻折后的对应点的坐标分别为C(-1, 为DB=2,BC=4,所以CD=DB+BC=6.因为EN⊥AP, -1),D(-4,-1) AD⊥AE,所以∠ANE=∠EAD=∠ACB=90°.所以∠DAC 点C,D沿直线m翻折后的对应点的坐标分别为(3，-1)， +∠ADC=90°，∠DAC+∠EAN=90°.所以∠ADC=∠EAN. (6,-1) ∠ANE=∠DCA, 所以点A,B的<x轴，m>伴随图形点A',B的坐标分别 在△AWE和△DCA中，因为 ∠EAN=∠ADC,所以△ANE≌ 为(3，-1)，(6，-1). EA AD. 第15期3版 △DCA(AAS).所以EN=AC,AN=CD=6.所以CW=AN- AC=2.因为AC=CB,所以BC=NE.在△BCP和△ENP中， 题号12345678 r∠BPC=∠EPW, 答案ACBBBCAC 因为{∠BCP=∠ENP,所以△BCP≌△ENP(AAS).所以BP 二、9.①：10.(5.5,4)；11.45°；12.10°或70° BC EN. 三、13.(1)图略；(4,0)，(-1，-4)，（-3，-1). =EP,CP=PN=L.所以AP=AC+CP=5.所以S△E= 2S△BP=AP·BC=20. (2)△4BC的面积为：号×(3+4)×7-子×2x3- 第15期2版 ×5×4=11.5. 15.1轴对称图形 14.因为△ABE关于直线AE的对称图形是△AFE,所以 15.1.1轴对称 ∠AEB=∠AEF,∠B=∠AFE.因为∠B=∠D,所以∠AFE 基础训练1.C；2.B;3.1;4.10;5.18°； =∠D.所以EF∥CD.所以∠BEF=∠C=72°.所以∠AEB 6.①②③；7.4. =子∠BBF=360 8.图略。 15.(1)E;F;G;H;EH;EF;GH;∠GFE;∠EHG. 9.(I)因为△ABC中点A,B,C关于直线MW的对称点分 (2)图略.AE∥BF,理由：对应点的连线互相平行或共线， 别为点A',B,C',AC=8cm, 这里不共线，所以平行 所以BC=B'C',A'C'=AC=8cm. (3)对称轴MW垂直平分AE.理由：对称轴垂直平分对称 因为A'C=12cm, 点的连线。 所以△A'B'C的周长为：A'B'+B'C'+A'C=A'C+AC= 16.(1)图略 12+8=20(cm) (2)因为点D关于直线AB的对称点是E,所以∠DAB= (2)图略 ∠EAB,∠D=∠AEB. 根据轴对称的性质，得∠A'=∠A=90° 因为∠DAB=∠ABC,所以∠BAE=∠ABC.所以AE∥ 所以△ACC的面积为：AC·ArC=48cm. BC. 10.(1)因为△ACE和△ADE关于直线AE对称，所以 所以∠AEB+∠EBC=180°.所以∠D+∠EBC=180° △ACF和△ADF关于直线AE对称.所以∠ACD=∠ADC.因为 17.(1)∠1+∠2=2∠A.理由如下： 由折叠性质，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED.所以 ∠C4B=36°，所以∠ADC=(180°-∠CAB)=72 ∠1+∠2=180°-∠ADE-∠A'DE+180°-∠AED-∠A'ED (2)因为∠CAB=36°，∠B=48°，所以∠ACB=180°- =360°-2（∠ADE+∠AED)=360°-2(180°-∠A)=2∠A. ∠B-∠CAB=96°.因为△ACE和△ADE关于直线AE对称， (2)猜想：∠1-∠2=2∠A.证明如下： 所以∠ADE=∠ACE=96°.所以∠DEB=∠ADE-∠B= 由折叠性质，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED.所以 48°. ∠1-∠2=180°-∠ADE-∠A'DE-(∠A'ED-∠DEB)= 15.1.2画轴对称图形 180°-2∠ADE-∠A'ED+∠DEB=180°-2∠ADE-∠AED 基础训练1.B;2.B;3.B;4.上，5；5.4. +∠A+∠ADE=2∠A. 2 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 附加题(1)因为A(2,-5)向左平移5个单位长度后的 因为AD⊥CD,所以∠ADC=90°. 坐标为(-3，-5)，(-3，-5)关于y轴的对称点的坐标为(3， 因为AB∥CD, -5),(3,-5)与A1不重合，所以点A(2,-5)不是不动点； 所以∠BAD=180°-∠ADC=90°.所以AD⊥AB. 因为A2(2.5,0)向左平移5个单位长度后的坐标为 因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, (-2.5,0),(-2.5,0)关于y轴的对称点的坐标为(2.5,0)， 所以PA=PQ=PD. (2.5,0)与A2重合，所以A2(2.5,0)是不动点. 第16期3版 (2)点A(a,3)向左平移5个单位长度后的坐标为(a-5, 3),(a-5,3)关于y轴的对称点的坐标为(5-a,3).因为点 题号 2 345678 A(a,3)为不动点，所以a=5-a.解得a=2.5. 第16期2版 15.2线段的垂直平分线 二9.3；10.26；11.10：1224 5 基础训练1.A;2.D;3.5;4.15. 三、13.图略 5.图略. 14.设PA交直线l于点C,连接BC,图略. 6.因为MP和NQ分别垂直平分AB和AC,所以AP=PB, 因为直线I是线段AB的垂直平分线， AQ=CQ.因为△APQ的周长为12，所以AQ+PQ+AP=12. 所以CA=CB. 所以CQ+PQ+PB=BC+2PQ=12.因为BC=8,所以PQ 所以PA=CA+CP=CB+CP>PB. =2. 15.(1)因为EF垂直平分AC,所以AE=EC.因为AD⊥ 7.连接OA,OC,图略. BC,BD=DE,所以△ABD≌△AED.所以AB=AE.所以AB= 因为OE,OF分别是AC,BD的垂直平分线， EC. 所以OA=OC,0B=OD,∠DF0=90°. (2)因为△ABC的周长为20cm,AC=9cm,所以AB+BC .AB CD =11cm.因为AB=EC,BD=DE,所以DC=DE+EC= 在△AB0和△CD0中，因为{OA=OC, 5.5cm. -OB OD. 16.(1)因为AB∥CD,所以∠ACD+∠CAB=180°.因为 所以△AB0≌△CDO(SSS). ∠ACD=114°，所以∠CAB=66°.由作法知，AM是∠CAB的 所以∠AB0=∠CD0=79° 因为∠CDB=38°， 平分线所以∠MAB=之∠C1B=33 所以∠ODF=∠CD0-∠CDB=41°. (2)由作法知AM平分∠CAB,所以∠CAM=∠MAB.因 所以∠D0F=90°-∠0DF=49°. 为AB∥CD,所以∠MAB=∠CMA.所以∠CAM=∠CMA.因 8.(1)因为1是AB边的垂直平分线，所以DA=DB.因为 为CN⊥AM,所以∠ANC=∠MNC.在△ACN和△MCW中，因 l2是AC边的垂直平分线，所以EA=EC.因为△ADE的周长为 r∠CAW=∠CMWN, 8cm,所以BC=DB+DE+EC=DA+DE+EA=8cm. 为{∠AWC=∠MWC,所以△ACN≌△MCN. (2)因为41是AB边的垂直平分线，所以OA=OB.因为2 LCN CN, 是AC边的垂直平分线，所以OA=OC.所以OB=OC.所以点 17.(1)如图4，连接 O在线段BC的垂直平分线上. PA,PB,PC.因为PE垂直平 (3)因为△OBC的周长为18cm,BC=8cm,所以OB= 分AB,PM垂直平分AC,所以 0C=5cm.所以0A=5cm. PA=PB,PA=PC.所以PB 15.3角的平分线 =PC.所以点P在线段BC的 基础训练1B;2.D;3.C；4.A; 垂直平分线上 图4 5.117°；6.3或5；7.12. (2)如图4，由(1)知PA=PB=PC,所以∠PAB= 8.过点O作OM⊥AB于点M,图略. ∠PBA,∠PBF=∠PCN.因为PE垂直平分AB,所以FA=FB. 因为BD是△ABC的一条角平分线，OM⊥AB,OE⊥BC, 所以∠FAB=∠FBA.所以∠PAF=∠PBF.同理可得∠PAW 所以OE=OM. =∠PCN.所以∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN. 由题意知OE=OF,OF⊥AC, (3)因为PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,所以FA= 所以OM=OF FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=90°.设∠B=x°，∠C=y 所以点O在∠BAC的平分线上 所以∠B=x°=∠BAF,∠C=y°=∠CAN.在△ABC中，因 9.过点P作PQ⊥BC于点Q,图略. 为∠B+∠C+∠CAB=180°，∠FAN=a,所以x°+y°+x°+ -3 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 y+a=180,即l1809-=x°+y AC=BC.所以AC=CE.所以BC是△ABE的中线. 2 15.4.3等腰三角形的判定 在四边形AEPM中，因为∠AEP+∠AMP+∠EAM+ 基础训练1.C；2.B;3.16 ∠FPW=360°，所以∠FPV=360°-90°-90°-(x°+y°+ 4.(1)因为△ABC是等腰三角形，∠BAC=52°，所以 a）=180°-(1809=a+a)=1809-g 2 2 ∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)=64因为BG1AC, 附加题(1)因为∠PAB=15°，∠ABC=45°，所以 1 所以∠BGC=90°.所以∠FBC=90°-∠ACB=26°. ∠APC=∠PAB+∠ABC=60°.因为点C关于直线PA的对称 (2)因为AB=AC,AD为中线， 点为D,所以∠APC=∠APD=60°.所以∠BPD=180°- 所以∠BAD=∠CAD,AD⊥BC.所以∠ADC=90. ∠APC-∠APD=60°. 所以∠DAC+∠DCA=90°. (2)如图5，过点A作BD,DP的垂线，G 因为∠GBC+∠GCB=90°，所以∠GBC=∠DAC= 垂足分别为G,F.因为∠APC=∠APD,所 ∠DAB. 以AH=AF.因为∠BDP=30°，∠BPD= 因为DE=DA,所以∠DAE=∠DEA.所以∠AFB= 60°，所以∠DBP=90°.因为∠ABC= ∠CBG+∠DEA=∠DAB+∠DAE=∠BAF.所以BF=AB. 45°，所以∠GBA=∠DBP-∠ABC=45° 图5 15.4.4等边三角形的判定 =∠CBA.所以AG=AH.所以AG=AF.所以点A在∠GDP的 基础训练1.B;2.B;3.30° 平分线上.因为∠BDP=30°，所以∠GDP=150°.所以∠ADP 4.(1)如图6，等边三角形CEF即为所求。 =号∠GDP=75因为点C关于直线PA的对称点为D,所以 ∠C=∠ADP=75°.因为AH为△APC的高，所以∠AHC= 90°.所以∠CAH=90°-∠C=15°.所以∠BAP=∠CAH. 第17期2版 15.4等腰三角形 图6 图7 15.4.1等腰三角形的性质 (2)CD=CE+CF.理由如下： 基础训练1.C；2.C;3.3cm;4.40° 如图7，在CD上截取CH=CE,连接EH.因为△ABC是等 5.因为BE=AE,∠ABE=25°，所以∠BAD=∠ABE= 边三角形，所以∠ACB=60°.所以△ECH为等边三角形.所以 25°.因为AB=AC,点D为BC边的中点，所以∠BAC= EC=EH=CH,∠CEH=60°.因为△DEF是等边三角形，所以 2∠BAD=50°. EF=ED,∠FED=6O°.所以∠CEH-∠FEH=∠FED- 能力提高6.(1)因为∠ADB=∠BCD+∠DBC,∠BCE ∠FEH,即∠CEF=∠HED =∠BCD+∠ECA,∠ADB=∠BCE,所以∠ECA=∠DBC. EF ED. AC CB 在△CEF和△HED中，因为 ∠CEF=∠HED,所以 在△ECA和△DBC中，因为 ∠ECA=∠DBC, EC EH, CE BD. △CEF≌△HED(SAS). 所以△ECA≌△DBC(SAS).所以AE=CD. 所以CF=HD.因为CD=CH+HD,所以CD=CE+CF (2)因为△ECA≌△DBC,所以∠EAC=∠DCB.又因为 第17期3版 ∠FAB=∠EAC+∠CAB=1O7°，所以∠DCB+∠CAB= 107°.所以∠ABC=180°-（∠DCB+∠CAB)=73°.因为AC 题号12345678 =BC,所以∠BAC=∠ABC=73°.所以∠ACB=180°- 答案CADDBCB D ∠BAC-∠ABC=34°. 二、9.等腰三角形的“三线合一”；1075°；11.5； 15.4.2等边三角形的性质 基础训练1.C;2.B;3.15 12.18. 4.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°.因为 三、13.(1)因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， 所以∠BAD=∠CAD.因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD.所 CD是△ABC的中线，所以∠BCD=∠ACD=∠ACB=30 以∠DAE=∠ADE.所以EA=ED. 因为BE∥CD,所以∠E=∠ACD=30° (2)因为AB=AC,所以∠C=∠B.因为DE∥AB,所以 (2)因为BE∥CD,所以∠CBE=∠BCD=30°，所以 ∠EDC=∠B.所以∠EDC=∠C.所以DE=CE.由(1)得EA ∠CBE=∠E.所以BC=CE.因为△ABC是等边三角形，所以 =ED.所以AE=CE 4 八年级数学沪科(AH)第14~18期 14.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BCE=∠A=2∠C.所以∠B=2∠C. 60°，BC=CA. (2)如图8，过点D作DH⊥AC于点H.所 BC=CA. 以∠AHD=∠CHD=90°.因为AD是△ABC 在△BCE和△CAD中，因为 ∠BCE=∠CAD,所以 的角平分线，所以BD=HD. CE AD. 在Rt△ABD和Rt△AHD中，因为 △BCE≌△CAD(SAS).所以BE=CD. AD=AD,所以R△ABD≌t△AHD(HL) (2)因为△BCE≌△CAD,所以∠CBE=∠ACD.所以 BD HD. ∠BPD=∠PCB+∠CBE=∠PCB+∠ACD=∠ACB=6O°. 所以AB=AH 15.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BE= 因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠C=45°.所以 DE,所以∠CBE=∠D.所以∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠D, ∠HDC=90°-∠C=45°.所以HD=HC.所以BD=HC.因 即∠ABE=∠CED. 为AC=AH+CH,所以AC=AB+BD 因为AE=BE,所以∠A=∠ABE. 附加题因为∠ACB=90°，∠A=30°，所以∠ABC= 由对顶角相等，得∠AEF=∠CED. 60,BC=之AB.因为BD平分∠ABC,所以∠DBA=LABC 所以∠A=∠AEF.所以△AEF是等腰三角形. (2)由(1)得∠BFE=∠A+∠AEF=2∠A.所以∠BFE =30°=∠A.所以AD=BD,∠BDC=∠A+∠DBA=60°. ≠∠ABE.所以当△BEF是等腰三角形时，存在以下两种情况： (I)因为DE⊥AB,所以AE=BE=4B所以BC=BE ①当∠BFE=∠BEF=2∠A时，在△BEF中，5∠A= 所以△EBC是等边三角形. 180°，解得∠A=36°； (2)AD=DG+MD.理由如下： ②当∠BEF=∠ABE=∠A时，在△BEF中，4∠A= 如图9，延长ED至点P,使得DP 180°，解得∠A=45°. =MD,连接MP.因为DE⊥AB,所以 综上所述，∠A的度数为36°或45° ∠AED=90°.因为∠A=30°，所以 16.(1)因为∠ACB=90°，∠CAD=60°，所以∠B=90 ∠ADE=90°-∠A=60°.所以 G -∠CAD=30°.所以AB=2AC.因为AC=BD,所以AD=AC. 图9 ∠PDM=60°.又因为DM=DP,所以 所以△ADC是等边三角形.因为P是CD的中点，所以AP⊥ △PDM是等边三角形.所以∠P=∠PMD=60°，MP=MD. CD. 因为∠BMG=60°，所以∠PMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG, (2)连接BE,图略.因为P是CD的中点，所以CP=DP.因 即∠PMG=∠DMB.在△PGM和△DBM中，因为 为DE∥AC,所以∠CAP=∠DEP. ∠P=∠MDB. ∠CAP=∠DEP, MP MD. 所以△PGM≌△DBM(ASA).所以PG= 在△CPA和△DPE中，因为 ∠CPA=∠DPE,所以 ∠PMG=∠DMB, CP DP, DB.因为PG=DP+DG=MD+DG,所以AD=DG+MD. △CPA≌△DPE(AAS) 第18期2版 所以AP=EP=AE,AC=ED因为BD=AC,所以BD 专题一 轴对称图形 =DE. 1.B:2.-1. 因为DE∥AC,所以∠BDE=∠CAD=60°.所以△BDE 3.答案不惟一，图略。 是等边三角形.所以BD=BE,∠EBD=60°.所以AC=BE. 专题二 线段的垂直平分线与角的平分线 AC BE 1.B;2.4. 在△CBA和△EAB中，因为 ∠CAB=∠EBA,所以 3.如图10，过点A作AH⊥EF于点H, AB BA. 由题意得AB⊥EB,因为EA平分 △CBA≌△EAB(SAS).所以BC=AE=2AP. ∠BEF,AH⊥EF,所以AH=AB. 17.(I)因为AD⊥BC,BD=DE,所以AB=AE.所以∠B 因为AB=AD,所以AH=AD. E 图10 =∠AEB.因为CD=BD+AB=DE+AE=DE+CE,所以AE 所以Rt△ADF≌Rt△AHF(HL) =CE.所以∠C=∠EAC.所以∠AEB=∠C+∠EAC= 所以∠AFD=∠AFH.所以FA平分∠DFE. 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 4.因为∠BAC=90°，所以∠ABC+∠C=90°.因为AM⊥兰△BDC.所以∠BAC=∠BDC. BC,所以∠AMB=90°.所以∠ABC+∠BAM=90°.所以∠C (2)连接AP,如图13.因为△BAC =∠BAM.因为AD平分∠MAC,所以∠MAD=∠CAD.所以 ≌△BDC, ∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.因为∠ADB=∠C+∠CAD, 所以AB=DB=12,∠DBN= 所以∠BAD=∠ADB.所以AB=BD.因为BE平分∠ABC,所 ∠ABN=60 以BF⊥AD,AF=FD,即线段BF垂直平分线段AD. 所以∠EBD=180°-∠DBN- 专题三等腰三角形 ∠ABN=60°. 图13 1.D;2.D;3.6. 所以△BDE为等边三角形.所以DE=12. 4.(1)等边 因为点A关于射线BN的对称点为D,所以△BAP≌ (2)△BEF是等腰三角形.理由如下： △BDP 因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠BAD=∠DAE- 所以PA=PD.所以PE+PD=PE+PA ∠BAD,即∠DAC=∠EAB. 因为PE+PA≥AE,所以当点P运动到点B时，PE+PA的 又因为AC=AB,AD=AE,所以△DAC≌△EAB(SAS). 值最小，为24. 所以∠C=∠EBA. 此时△PDE周长最小，为36. 因为EF∥BC,所以∠EFB=∠ABC. 20.(1)△DEF是等边三角形.理由如下： 因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.所以∠EFB=∠EBA 因为AB=AD,∠DAB=60°，所以△ABD是等边三角形. 所以EB=EF.所以△BEF是等腰三角形 所以∠ABD=∠ADB=60°. 第18期3,4版综合测评卷 因为CE∥AB,所以∠CED=∠DAB=60°，∠DFE= ∠ABD=60. 题号1 2345678 9 10 所以△DEF是等边三角形. (2)因为AB=AD,CB=CD,所以AC是BD的垂直平分 二、11.21°；12.50°；13.3265；14.3；15.2. 线.所以AC平分∠DAB. 三、16.(1)图略. (3)因为AC平分∠DAB,∠DAB=60°， (2)点C的坐标为(4,3). 所以∠BAC=∠DAC=30°. 17.(1)如图11所示. 因为CE∥AB,所以∠ACE=∠BAC=30°=∠CAD. (2)如图11，由(1)可得，BD=CD,因 所以AE=CE=8.所以DE=AD-AE=4. 为△ABD的周长为14， 因为△DEF是等边三角形，所以EF=DE=4. 所以AB+AD+BD=AB+AD+CD= 所以CF=CE-EF=4. AB +AC 14. 图11 21.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C 因为AC=8, 因为BD=BC,所以∠BDC=∠C.所以∠ABC=∠BDC 所以AB=6. 因为∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+∠ABD, 因为∠A=90,所以△ABC的面积为：7×6×8=24 所以∠A=∠DBC.所以BD是△ABC的“等角分割线” (2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C 18.如图12，在AB上截取AD=AC,连接 所以∠A=180°-2∠C. CD. 因为BD⊥AC,所以∠BDC=∠BDA=90° 因为∠A=60°，所以△ACD是等边三角 所以∠ABD=90°-∠A=2∠C-90°，∠DBC=90°- 形 ∠C. 所以CD=AD,∠ADC=∠ACD=60°. 图12 因为BD是△ABC的“等角分割线”，所以 因为4C=4B。 ①若∠A=∠ABD,则180°-2∠C=2∠C-90°，解得 所以AD=之AB所以BD=AD=CD所以∠B=∠BCD ∠C=67.5°； ②若∠A=∠DBC,则180°-2∠C=90°-∠C,解得∠C =30° =90°（舍去）. 所以∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°.所以△ABC是直角 综上所述，∠C的度数为67.5°. 三角形。 19.(1)因为点A关于射线BN的对称点为D,所以△BAC (3)45°或180 7 618.(10分)如图16，在△4BC中，∠A=60°，AC= 20.(12分)如图18，在△ABD与△BCD中，AB=AD,CB=CD, 21.(14分)定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线 ∠DAB=60°，过点C作CE∥BA,交AD于点E,交BD于点F,连接 分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的 △ABC是直角三角形. AC,交BD于点H. 顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线” (1)判断△DEF的形状，并说明理由： 已知在△ABC中，AB=AC,点D在边AC上 (2)求证：AC平分∠DAB; (1)如图19，如果BD=BC,求证：BD是△ABC的“等角分割 (3)若AD=12,CE=8,求CF的长 线”； 图16 H/F (2)如图20，如果BD⊥AC,且BD是△ABC的“等角分割线”， 求∠C的度数； 图18 (3)BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点 F.如果DF=DC,那么∠BAC的度数为 数理报·初中数学·沪科八年 图19 19.(10分)如图17，∠ABN=60°，点C为射线BN上一定点，E 为线段AB延长线上一定点，且BE=AB=I2,点A关于射线BN的 对称点为D,连接BD,CD,DE 级(M综合测评卷 (1)求证：∠BAC=∠BDC; (2)若P为直线BC上一个动点，当△PDE周长最小时，判断点 数理报·初中数学·沪科八年级()综合测评卷 P所在的位置，并求出△PDE周长的最小值， 图17 (参考答案见复习专号15版) 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 2025年10月29日·星期三 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 18期总第1162期 沪科 0351-5271248 装淫柄 八年级(AH) 上接2版参考答案 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 16.(1)证明略 (2)连接BE, 略.因为P是CD的中 思维天地太 一、忽视分类讨论 点，所以CP=DP.因为 DE∥AC,所以∠CAE 轴对称中的数学思想 例1 已知等腰三 ∠DEP.在△CPA和 角形的一个外角为130°， △DPE中， 因为 ©湖北 高思璇 则它的顶角的度数为 r∠CAP= ∠DEP 数学思想不仅是数学知识的精髓，更是数学 所 所以A'B= BC=4,即1PA-PB的最大 ∠CPA=∠DPE. CP DP, 的生命和灵魂在学习轴对称时，既要注重基础值为4. 所以△CPA 错解：等腰三角形的 知识的掌握，又要注意数学思想的挖掘和应用. 二、方程思想 平 角 △DPE(AAS).所以AP 个外角等于130°，则这 一、转化思想 2AE.AC 例2如图2，在 EP 例1如图1，已知△ABC 个等腰三角形的顶角为： △ABC中，D是BC边上 易 ED.因为BD=AC,所 是等腰直角三角形，AC=BC= 180°-130°=50°.故填 以BD=DE.因为DE/ 的一点，且AB=AC= AC,所以∠BDE 4,∠BCD=15°，P为CD上的动 50° CD,BD AD, 求 ∠CAD=60°.所以 △BDE是等边三角形. 点，求IPA-PBI的最大值 ∠BAC的度数. 正解：等腰三角形的 所以BD=BE,∠EBD 分析：要求IPA-PB的最 个外角等于130°，则这 分析：要求∠BAC的度数，已知条件中并没 =60°.所以AC=BE. 大值，只需求出当P,A,B三点共 △CBA和△EAB中 图 1309 有涉及任何角的度数，但分析可知，通过设未知 个等腰三角形的一个内角为：180° 线时AB的长度，利用轴对称以及等腰直角三角 50° 数，利用三角形的内角和定理与平角的定义即 rAC BE, 形的性质进而求解 可列方程求解 (1)当50°为顶角时，其他两角为65°，65°： ∠CAB=∠EBA AB BA. 解：作点A关于CD的对称点A',连接A'C, (2)当50°为底角时，其他两角为50°，80°. 解：设∠B=x 所以△CBA A'B交CD于点P',此时A',B,P'三点共线，IPA 综上所述，等腰三角形的顶角为50°或 △EAB(SAS).所以BC AE 2AP PBI的最大值即A'B的长度 因为AB=AC,BD=AD, 80°.故填50°或80°. 17.(1)因为AD1 因为△ABC是等腰直角三角形，AC=BC 所以∠C=∠B=∠DAB=x. 例2在△ABC中，AB=AC,AB边上的垂 BC,BD=DE,所以AE =4,所以∠BAC=∠ABC=45°，∠ACB= 所以∠ADC=∠B+∠DAB=2x. =AE.所以∠B 线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则 ∠AEB.因为CD=BD 90° 因为AC=CD, ∠B= AB DE +AE DE 所以∠CAD=∠ADC=2x. +CE,所以AE=CE.所 由题意知，CD垂直平分AA',所以AC 错解：如图1，因为 以∠C= ∠EAC.所以 A'C.所以BC=A'C. 所以∠BAC=∠BAD+LCAD=3x. ∠AEB=∠C+∠EAC ∠ADE=50°，∠AED 因为∠BCD=15°，所以∠ACD=75°.所 在△ABC中，由三角形的内角和定理，得3x 2∠C.所以∠B 90 2/ 以∠ACA'=150°，∠CAA'=∠CA'A=15. +x+x=180° 90°，所以LA= (2)过点D作DH ∠AED=40°. 所以∠A'CB=60°.所以△A'BC是等边三 解得x=36° AC于点H,图略.所 因为AB=AC,所以 以∠AHD=∠CHD 角形 所以3x=108°，即∠BAC=108° 90°.因为AD是△AB( 的角平分线，所以BD 专题铺导 ∠B=∠C=7×(180e HD. Rt△ABD ∠A)=70°.故填70° Rt△AHD中， 因为 「AD=AD, 所 BD HD 尔一个.结论 正解：(1)当△ABC是锐角三角形时，同错 解； Rt△ABD ◎安徽李瑞源 Rt△AHD(HL). 所以 结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰PE+PF=KH+BK=BH (2)如图2，当 AB=AH.因为△ABC 是等腰直角三角形，所 的距离和等于一腰上的高 方法2：如图5，连接AP △ABC为钝角三角形 以∠C =45°. 所以 在△ABC中，AB=AC,P是底边BC上任意 时，因为LADE=50, /HDG=909-/G 因为SABP+SAACP= -AR 45°.所以HD=HC.所 点，PE⊥AC,PF⊥AB,点E,F为垂足，BH为 AED=90°，所以 以BD=HC.因为AC= AH+CH,所以AC=AE 腰AC上的高.求证：PE+PF=BH. BAC=∠ADE+∠AED=140 BD. 在△ABC中，∠BAC可能为锐角、直角或钝 所以∠B=∠C= ×(180°- 附加题 因为 ∠ACB =90°，∠A 角，因此可画出三种图形，如图1，图2和图3. PE), -AC·BH,又因为S AABP+S△ACr 2 20°.故填70°或20° 30°，所以∠ABC=60° BC=AB.因为BD平 Saac,所以2AC(PF+PE)= 2AC·BH 二、错用等腰三角形的性质 例3如图3，在△ABC ∠ABC,所以∠DBA 化简，得PE+PF=BH. 2 ∠ABC=30 注：当△ABC为直角三角形或钝角三角形 中，AB=AC,0是△ABC内 ∠A.所以AD=BD 点，且0B=0C.求证：401 ∠BDC=∠A+∠DBA 下面就锐角三角形的情形给出证明， 时，也可以用类似的方法证得结论成立 BC. =60°. 证明：方法1：如图4，过点P作 (1)因为DE1 错证：如图3，延长A0交 AB,所以AE=BE PK⊥BH,垂足为点K 本周 BC于点D.由OB=OC,OD平 AB.所以BC=BE. 因为PE⊥AC,BH⊥AC,所以 2 第15章小结与复习 分∠BOC,根据等腰三角形“三线合 ”的性质 所以△EBC是等边三 四边形PEHK为长方形，PE=KH 可得AO⊥BC 角形 因为AB=AC,所以∠ABC= 学习目标：1进一步熟悉和掌握本章知识，能 (2)AD DG + 证明：因为AB=AC,所以点A在线段BC MD.略. ∠C.因为PK⊥BH,AC⊥BH,所以PK∥AC.所 运用本章知识解决相关问题 (全文完) 的垂直平分线上 以∠BPK=∠C=∠FBP. 2.能应用本章知识解释生活中的现象及 因为OB=OC,所以点O在线段BC的垂直平 因为∠BFP=∠PKB=90°，BP=PB,所 解决简单的实际问题」 分线上 以△BFP≌△PKB(AAS).所以PF=BK所以 所以AO⊥BC 2H 素养·专练 数理极 分∠MAC,交BC于点D,交BE于点F.求证：线段 第17期2版参考答案 专题一海 BF垂直平分线段AD 15.4等腰三角形 15.4.1等腰三角形的性质 轴对称图形 基础训练1.C:2.C;3.3cm:4.40° 5.∠BAC的度数为50° 1.对称美是我国古人和谐平衡思想的体现， 能力提高6.(1)因为∠ADB=∠BCD+ 常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计 ∠DBC,LBCE=∠BCD+∠ECA,∠ADB= 上，使对称之美惊艳了千年的时光.下列四个图案 ∠BCE,所以∠ECA=∠DBC. 中，不是轴对称图形的是 在△ECA和△DBC 中， 因为 AC CB, ∠ECA=∠DBC, CE=BD」 专题三 所以△ECA兰△DBC(SAS).所以AE=CD. 2.已知P,(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴 (2)∠ACB的度数为34°. 对称，则(a+b)225的值为 等腰三角形 15.4.2等边三角形的性质 3.为美化校园，学校准备在如图所示的一个 基础训练1.C;2.B;3.15 圆形空地上修建花坛，现在征集设计方案，要求设 1.已知等腰三角形的两边长分别是m,n.若 4.(1)∠E的度数为30°. 计的方案由圆和三角形组成（圆和三角形的个数！ m,n满足Im-81+(n-4)2=0,那么它的周长 (2)因为BE∥CD,所以∠CBE=∠BCD= 不限)，并使整个圆形场地成轴对称图形，请你在 是 30°.所以∠CBE=∠E.所以BC=CE.因为 图上画出你设计的方案 A.12 B.16 △ABC是等边三角形，所以AC=BC.所以AC= C.16或20 D.20 CE.所以BC是△ABE的中线 2.如图1，△DEF是等边三角形，DA是EF边 15.4.3等腰三角形的判定 上的中线，B,C分别是DE,DF的中点，连接AB, 基础训练1.C;2.B;3.16. AC,则下列结论错误的是 4.(1)∠FBC的度数为26° A.DA⊥EF B.AB =AC (2)因为AB=AC,AD为中线，所以∠BAD= C.△DAB兰△DAC D.∠BAC=150° 专题二 ∠CAD,AD⊥BC.所以∠ADC=90°.所以∠DAC +∠DCA=90°.因为∠GBC+∠GCB=90°，所以 LGBC=∠DAC=∠DAB.因为DE=DA,所以 线段的垂直平分线与角的平分线 LDAE=∠DEA.所以∠AFB=LCBG+∠DEA =∠DAB+∠DAE=∠BAF.所以BF=AB. 1.如图1，线段AC,AB的垂直平分线交于点 15.4.4等边三角形的判定 0,已知0C=2cm,则OB的长为 ( 图 基础训练1.B;2.B;3.30° A.1 cm B.2 cm 3.如图2，在△ABC中，AB=AC=8,AD,CE 分别是△ABC的两条中线，CE=6,P是AD上 4.(1)略 C.4cm D.不能确定 动点，则BP+EP的最小值是 (2)CD=CE+CF.理由略 + 4.在△ABC中，AB=AC,点D为线段BC上 第17期3版参考答案 的一个动点（不与点B,C重合），以AD为一边向 AD的左侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE= 题号12345678 图1 图2 ∠BAC,过点E作BC的平行线，交AB于点F,连接 答案CA DDB C BD 2.如图2，△ABC中，∠C=90°，AD平分 BE. 二、9.等腰三角形的“三线合一”；10.75°； ∠BAC交BC于点D,BD:DC=2:1,BC= (1)如图3-①，若∠BAC=∠DAE=60° 11.5:12.18. 12cm,则D到AB的距离为 cm 则△BEF是 三角形； 三、I3.(1)因为AD是等腰三角形ABC的底 3.如图3，在四边形ABCD中，∠B=∠D= (2)若∠BAC=∠DAE≠60°，如图3-②， 边BC上的高，所以∠BAD=LCAD.因为DE∥ 90°，AB=AD=6cm,点E,F分别在边BC,DC 当点D在线段BC上移动时，判断△BEF的形状， AB,所以∠ADE=∠BAD.所以∠DAE=∠ADE 上，且EA平分∠BEF.求证：FA平分∠DFE, 并说明理由. 所以EA=ED. (2)因为AB=AC,所以∠C=∠B.因为DE ∥AB,所以∠EDC=∠B.所以∠EDC=∠C.所 以DE=CE.由(I)得EA=ED.所以AE=CE. 14.(1)略 (2)∠BPD的度数为60°. 15.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 因为BE=DE,所以∠CBE=∠D.所以∠ABC ∠CBE=∠ACB-∠D,即∠ABE=∠CED.因为 AE=BE,所以∠A=∠ABE.由对顶角相等，得 ∠AEF=∠CED.所以∠A=∠AEF.所以△AEF 是等腰三角形 4.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平 (2)∠A的度数为36°或45° 数理报社试题研究中心 分∠ABC,AM⊥BC于点M,交BE于点G,AD平 (参考答案见复习专号15版) (下转1,4版中缝) A.7 B.6 C.5 75°，△AB'C'与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，则∠CAB 《轴对称图形与等腰三角形》 的度数是 综合测评卷 ◆数理报社试题研究中心 （时间：90分钟满分：120分) 图3 图4 %2a5E公 6.如图4，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AC 题 号 总 图10 图11 图12 的垂直平分线EF分别交AC,AB于点E,F,若点D为BC边的中点， 13.如图11是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 分 点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 14.如图12，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC A.7 B.8 C.10 D.11 一、精心选一选 题号 23 4 5678910 于点D,DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若DE=1,则BC的长为 7.如图5，在△ABC中，AB=AC,尺规作图：(1)分别以点B,C 为圆心，BC为半径作弧，两弧交于点D;(2)作射线AD,连接BD, 得分 答案 15.如图13，△ABC是等边三角形，AB=4, CD.则下列结论中错误的是 ( ) 点P是BC上一动点，BP=m,PD∥AC,交AB于 11. A.S四边形ABDc=AD·BC B.∠BAD=∠CAD 点D,连接CD.过点P作PE∥AB交AC于点E 数理报·初中 二、细心填一填 C.△BCD是等边三角形 D.AD垂直平分BC 连接BE,交CD于点F.当BE+CD的值最小时， 12. m的值为 报 图13 三、耐心解一解（本大题共6小题，共60分） 初 中 13. 16.(6分)如图14，在平面直角坐标系中，4(-1,5)，B(-3, 数学·泸科 得分 数 0),C(-4,3). 14. 15. 图5 图6 (1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A,B,C1; 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分）】 ·泸科 8.如图6，△ABC中，BA=BC,D是边AC上一点，连接BD,作BA (2)写出点C,的坐标. 朵 八 1.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是 关于BD的对称线段BE,连接CE并延长，交BD的延长线于点F,若 年 级 级()综 ∠ABC=50°，则∠F的大小为 ( ) A.25° B.40° C.50° D.65° 9.如图7，在△ABC中，AD平分∠BAC,CD1AD,若∠ABC与 ∠ACD互补，CD=8,则BC的长为 B 测评卷 A.12 B.14 C.16 D.18 2.如图1，△ABC与△DEF关于直线I对称，△ABC的周长为 图14 ()综合测评卷 24cm,若AB=6cm,EF=8cm,则AC的长是 A.6 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm 17.(8分)如图15，在△ABC中，∠A=90°，AC=8. (1)尺规作图：作BC边的垂直平分线交AC于点D(保留作图痕 图7 8 迹，不写作法)； 10.如图8，已知∠AOB=120°，点D是∠A0B平分线上的一个 (2)在(1)所作的图中，连接BD,若△ABD的周长为14，求 定点，点E,F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF=60°.下列结 △ABC的面积 图2 论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值； 3.如图2所示的衣架可以近以看成一个等腰三角形ABC,其中 ③当DE∥OB时，DF也平行于OA.其中正确的个数是 AB=AC,AD⊥BC于点D,若BC=44cm,则BD的长为( A.0 B.1 C.2 D.3 A.44 cm B.40 cm C.22 cm D.20 cm 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，共20分）4 图15 4.点M(-2,-1)关于x轴的对称点的坐标为 ( 11.如图9，C为∠AOB内部一点，且点C到 A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(1,-2)D.(-1,-2) A0的距离与点C到OB的距离相等，连接OC, 5.如图3，在△ABC中，点D在BC上，∠DAC=∠ADC=2∠B, 若∠A0C=21°，则∠B0C的度数为 04 AC=3,AD=2,则BC的长为 ( 12.如图10，在△ABC中，∠B=∠C= 图9