15.4 等腰三角形-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 15.4 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 ☑基础进阶 淘素能攀升 1.(2024·云南)已知AF是等腰三角形ABC 5.新考向·数学文化(2025·芜湖无为期末)“三 底边BC上的高，若点F到直线AB的距离 等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人 为3，则点F到直线AC的距离为( 提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能 A B.2 C.3 DZ 三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽 的棒OA,OB组成，两根棒在点O处相连并 2.(2025·毫州谯城期末)如图，AD,CE分别 可绕点O转动，点C固定，OC=CD=DE, 是△ABC的中线和高.若AB=AC, 点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=69°，则 ∠ACE=32°，则∠BAD的度数为( ∠CDE的度数是 () A.32°B.29° C.28°D.25° 04 (第5题) A.60° B.69°C.76 D.88 (第2题) (第3题) 3.(2024·蚌埠二模)如图，一束平行光线照射 6.易错题等腰三角形的一个角的度数 在等边三角形上，若∠1=40°，则∠2的度数 比另一个角的度数的2倍少20°，这 为 个等腰三角形的顶角的度数是 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC,EF垂直平分 AC,交AC于点F,交BC于点E,且 A.44°或80°或140°B.20°或80° BD=DE. C.44°或80° D.140° (1)若∠BAE=40°，求∠C的度数 7.(2024·内江)如图，在△ABC中，∠DCE= (2)若△ABC的周长为21cm,AC=8cm, 40°，AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数 求DC的长， 为 (第7题) (第8题) (第4题) 8.如图，△ABC是等边三角形，高AD=6,P 为AD上一动点，E为AB的中点，则PB十 PE的最小值为 9.分类讨论思想☐在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=40°，点D在直线BC上，CD=CA, 则∠BDA= 90 第15章轴对称图形与等腰三角形 10.在△ABC中，AB=AC,点D在边BC上， ②求证：PA=PM. 点E在边AC上，且AD=AE,连接DE. (1)如图①，当AD是边BC上的高，且 ∠BAD=30时，求∠EDC的度数 (2)如图②，当AD不是边BC上的高时，请 B 判断∠BAD与∠EDC之间的数量关系，并 (第11题②) 加以证明. B D (第10题) 缈思维拓展 12.复习课上，老师布置了一道思考 题：如图，点M,N分别在等边三 角形ABC的边BC,CA上，且 BM=CN,AM,BN交于点Q.求证： ∠BQM=60°. (1)请你完成这道思考题， (2)①若将题中“BM=CN”与“∠BQM= 60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？ 请说明理由， ②若将题中的点M,N分别移动到BC, CA的延长线上，BM=CN,则∠BQM= 60°是否仍然成立？请说明理由. 11.已知△ABC是等边三角形 (1)如图①，P,Q是边BC上的两点，AP= B M (第12题)》 AQ,∠BAP=20°，求∠AQB的度数. (2)P,Q是边BC上的两个 动点（不与点B,C重合），点 P在点Q的左侧，且AP= AQ,点Q关于直线AC的对BPQC 称点为M,连接AM,PM. (第11题①)》 ①依题意将图②补全 91 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第2课时 等腰三角形的判定 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD 5.如图，AD是△ABC的中线，下列条件中，不 平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是 能推出△ABC是等腰三角形的为() A.∠BAD+∠B=∠CAD+∠C A.0 B.1 C.2 D.3 B.AB-BD-AC-CD C.AB+BD=AC+CD D.AD=BC D (第1题) (第3题) 2.给出下列三角形：①有两个角等于60°的三 角形；②有一个角等于60°的等腰三角形； D (第5题) (第6题) ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都 6.如图，在等边三角形ABC中，BD⊥ 相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰 AC于点D,P,Q分别为AB,AD 上的高的等腰三角形.其中，属于等边三角形 上的两个定点.若BP=AQ=2, 的是 QD=1.5,在BD上有一动点E使PE+QE A.①②③④ B.①②④ 的值最小，则PE十QE的最小值为( C.①③ D.②③④ A.5 B.4C.3.5D.3 3.(2025·合肥庐江期末)如图，在Rt△ABC 7.(2024·安庆潜山期末)如图，在△ABC中， 中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC,CD= AB=AC,点B,C,D,E在同一条直线上，点 1,则BD= F在AC上，且CF=CD,DF=DE.若 4.(2024·钦州浦北期中)如图，一艘货轮在海 ∠E=15°，则∠A= 上以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方 向航行，当货轮在B处时，测得灯塔A在其 北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达 C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方 C D (第7题) (第8题) 向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离， 8.分类讨论思想如图，在△ABC中，∠B=50°， 北 A灯塔 货轮80 ∠C=90°，在射线BA上找一点D,使 B 40 △ACD为等腰三角形，则∠ADC= 9.易错题在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A (第4题) 30°，D是直线AB上的一点，且满足BD= 号AB,则∠BDC的度数为 92 第15章轴对称图形与等腰三角形 10.如图，在△ABC中，AB=AC,将△ABC沿 罚思维拓展 BC方向平移得到△DEF,其中点E在边 12.如图，在△ABC中，AB=AC=2, BC上，DE与AC相交于点O. ∠B=∠C=40°，点D在线段BC (1)求证：△OEC是等腰三角形 上运动（不与点B,C重合），连接 (2)当点E在什么位置时，O是AC的中 AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC于 点？请说明理由. 点E (1)当∠BDA=115时，∠EDC= ∠DEC= ,点D从点B向点C运 动时，∠BDA逐渐变 (填“大” B EC 或“小”) (第10题) (2)当DC的长为多少时，△ABD≌ △DCE?请说明理由， (3)在点D的运动过程中，△ADE可以是 等腰三角形吗？若可以，请直接写出 ∠BDA的度数；若不可以，请说明理由， 11.*如图，D为等边三角形ABC的边BC上一 B D 点，以AD为边向左作等边三角形ADE,连 (第12题) 接BE (1)求证：BE=CD, (2)分别取BE,CD的中点M,N,连接 AM,AN,MN,试判断△AMN的形状，并 证明. M B D N C (第11题) 93的延长线上取PG=PC,连接GC. ,:∠ABC=60°，∠ACB=40°， .∠BAC=80°. 由(2)得，AP平分∠BAC. ∴.∠PAC=40°. ,CP分别平分∠ACB, ∴.∠ACP=20 ∴.∠PAC=∠ACB=40°，∠GPC= ∠PAC+∠ACP=60° .PC=PG. ∴.△PGC为等边三角形 ∴.∠G=60°=∠ABC,PC=CG. 在△ABC和△CGA中， I∠ACB=∠CAG, ∠ABC=∠G, AC-CA. .△ABC≌△CGA. .'AB-CG. 又PC=CG, .AB=PC. B B G ① ② (第10题) 15.4等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1.C2.B3.20° 4.(1).AD⊥BC,BD=DE, .AD垂直平分BE .'AB=AE. ∴.∠ABD=∠AED. .EF垂直平分AC, .'AE=CE. ∴.∠CAE=∠C .·∠BAE=40°， ∠AED=3(180-∠BAE)= 70°. .·∠AED=∠C+∠CAE, ∠C=3∠ABD=3S (2)由(1)得，AB=AE=CE. .'△ABC的周长为21cm,AC= 8 cm, ∴.AB+BE+EC=13cm,即2DE+ 2EC=13 cm. .DC=DE+EC=6.5 cm. 5.D解析：，OC=CD=DE, ∴.∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC. .∠DEC=∠DCE=∠O+ ∠ODC=2∠ODC.:∠BDE= ∠O+∠OED=3∠ODC=69°， ∴.∠ODC=23°.，∠CDE+ ∠ODC=180°-∠BDE=111°， .∠CDE=111°-∠ODC=88°. 6.A解析：设另一个角的度数是x, 表示出一个角的度数是2x一20°.分 情况讨论：①当x是顶角的度数， 2x一20°是底角的度数时，x十2(2x 20)=180°，解得x=44°.∴.顶角的 度数是44°.②当x是底角的度数， 2x-20°是顶角的度数时，2x十2.x 20°=180°，解得x=50°.∴.顶角的度 数是2×50°-20°=80°.③当x与 2x一20°都是底角的度数时，x=2x一 20°，解得x=20°.∴.顶角的度数是 180°-20°×2=140°.综上所述，这个 等腰三角形的顶角的度数是44°或 80或140°. 易错警示 忽略等腰三角形顶角 和底角度数的取值范围 在求等腰三角形角的度数时， 若不能确定顶角和底角，则必须进 行分类讨论.若等腰三角形的顶角 为a,底角为3，则0°<a<180°， 0°<3<90°. 7.100°解析：设∠AEC=x, ZBDC=y.AC=AE,BC=BD, ∴.∠AEC=∠ACE=x,∠BDC= ∠BCD=y..∠A=180°-2x, ∠B=180°-2y.∠ACB+∠A+ ∠B=180°，∠BDC+∠AEC+ ∠DCE=180°，.∠ACB+(180° 2.x)+(180°-2y)=180°，180°-(.x+ y)=∠DCE..∠ACB+360° 2(x+y)=180°..∠ACB+ 2∠DCE=180°.∠DCE=40°， ∴.∠ACB=100°. 8.6 9.55°或35°解析：分两种情况讨 35 论：①如图①，当点D在点C的左侧 时，AB=AC,∠BAC=40°， ∴.∠ABC=∠C=70°.，CD=CA, ∠C=70°，∴.∠BDA=∠CAD= ×(180°-70)=55.②如图②，当 1 点D在点C的右侧时，，AB=AC, ∠BAC=40°，，∴.∠B=∠ACB=70° CD=CA,∴∠BDA=∠CAD. ∴.∠ACB=∠CAD+∠BDA= 2∠BDA.∠BDA=2∠ACB= 35°.综上所述，∠BDA的度数为55° 或35°. B D ② (第9题) 10.(1),AD是边BC上的高， .∠ADC=90. AB=AC, .AD是∠BAC的平分线. ∴.∠BAD=∠CAD=30. .AD=AE, .∠ADE=∠AED=75. ∴.∠EDC=∠ADC-∠ADE= 90°-75=15°. (2)∠BAD=2∠EDC. .'AB=AC,AD=AE, ∴.∠B=∠C,∠ADE=∠AED. :∠ADC=∠B+∠BAD, ∠AED=∠C+∠EDC, ∴.∠B+∠BAD=∠ADC= ∠ADE+∠EDC=∠AED+ ∠EDC=∠C+2∠EDC .∠BAD=2∠EDC. 11.(1)·△ABC是等边三角形， .∠B=60°. ∠BAP=20°， ∴.∠APC=∠BAP+∠B=80. .AP=AQ, ∴.∠AQB=∠APC=80°. (2)①如图所示. ②如图，过点A作AH⊥BC于 点H ,△ABC是等边三角形， ∴.∠B=∠C=∠BAC=60° .AP=AQ. .∠APQ=∠AQP ∴.∠APQ-∠B=∠AQP-∠C,即 ∠PAB=∠QAC :点Q,M关于直线AC对称， ∴.易得∠QAC=∠MAC,AQ=AM. ∴.∠PAB=∠MAC,AP=AM. .易得∠PAM=∠BAC=60. ∴.△APM是等边三角形. .PA=PM. B PHO C (第11题) 12.(1):△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC,∠ABC=∠C=60°. 在△ABM和△BCN中， BM=CN, ∠ABM=∠C, AB=BC. ∴.△ABM≌△BCN .∠BAM=∠CBN, ,∠ABC=∠QBA+∠CBN=60°， ∴.∠BQM=∠QBA+∠BAM=60°， (2)①是真命题. 理由：，△ABC是等边三角形， ,∴.AB=BC,∠ABC=∠C=60°. .∠BQM=60°， ∴.∠QBA+∠BAM=60° :∠QBA+∠CBN=∠ABC=60°， .∴.∠BAM=∠CBN 在△ABM和△BCN中， ∠ABM=∠C, AB=BC. ∠BAM=∠CBN, '.△ABM≌△BCN. ∴.BM=CN. ②成立. 理由：如图， ·△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC=AC,∠BAC= ∠ACB=60°. BM=CN,BC=AC, ,∴.BM-BC=CN-AC,即CM= AN. .∠BAC=∠ACB=60°， .∠BAN=∠ACM=180°-60°= 120° 在△BAN和△ACM中， BA=AC, ∠BAN=∠ACM, AN-CM, ∴.△BAN≌△ACM. ∴.∠N=∠M. ∠BQM=∠N+∠NAQ, ∠ACB=∠M+∠MAC,∠NAQ= ∠MAC, ∴.∠BQM=∠ACB=60°. B M (第12题) 第2课时等腰三角形的判定 1.D2.A3.3 4.如图.由题意，得∠ABC=180° 80°-40°=60°，BC=40×0.5= 20(海里)」 CD//BE, ∴.∠BCD=∠CBE=40. .∠ACD=20°， .∠ACB=∠BCD+∠ACD=60°. ∴.易得△ABC是等边三角形 ∴.AC=BC=20海里. ∴.货轮到达C处时与灯塔A的距离 为20海里， 北 A灯塔 货轮80 140 D 20 E (第4题) 5.D解析：∠BAD十∠B= ∠CAD+∠C,∴.∠ADB=∠ADC. ∴.易得AD是边BC上的高.又 36 AD是△ABC的中线，.AB= AC.,.△ABC是等腰三角形.故选 项A不合题意.：AD是△ABC的 中线，.BD=CD.AB-BD= AC-CD,.AB=AC..△ABC是 等腰三角形.故选项B不合题意 BD=CD,AB十BD=AC+CD, .AB=AC..△ABC是等腰三角 形.故选项C不合题意.由AD=BC 无法推出△ABC是等腰三角形，故选 项D符合题意. 6.A解析：如图，△ABC是等边 三角形，.BA=BC.BD⊥AC, AQ=2,QD=1.5,..AD=DC= AQ+QD=3.5.作点Q关于BD的 对称点Q',连接PQ'交BD于点E,连 接QE,此时PE+EQ的值最小，最小 =PE+EQ'=PQ'.QD=1.5. .DQ'=1.5..'BP=AQ=2,AD= DC=3.5,.CQ'=AQ=BP=2. .易得AP=AQ=5.易知∠A= 60°，.△APQ'是等边三角形. .PQ'=PA=5.∴.PE+QE的最 小值为5. B (第6题) 7.60° 8.70或100或20°解析：∠ACB= 90°，∠B=50°，.∠CAB=40°.如 图，分三种情况讨论：①当AC=AD 时，∠ADC=2180-∠CAB)= 70°.②当CD'=AD'时，∠D'CA= ∠D'AC..∠AD'C=180° 2∠CAB=100°.③当AC=AD°时， ∠ACD”=AD”C.'∠CAB= ∠ACD”+∠AD"C,.∠AD"C= 名∠CMB-20.综上所述，∠ADC 的度数为70°或100°或20° C B D D' A D” (第8题) 9.30°或60°解析：当点D在线段 AB上时，如图①.在Rt△ABC中， ∠A=30,BC=2AB,∠B=60. BD=AB.BC=BI ∴.△BCD为等边三角形..∠BDC= 60°.当点D在线段AB的延长线上 时，如图②.同理可得BD=BC, ∴.∠BCD=∠BDC.:∠ABC= ∠BCD+∠BDC=60°，.∠BDC= 30°.综上所述，∠BDC的度数为30 或60. C B C B ② (第9题) 易错警示 考虑问题不全面致错 本题在解答时，要分点D在线 段AB上和在线段AB的延长线上 两种情况考虑，防止漏解。 10.(1).AB=AC, ∴.∠B=∠ACB. 由平移，可知∠DEC=∠B, '.∠DEC=∠ACB. ∴.OE=OC. .△OEC是等腰三角形 (2)当E为BC的中点时，O是AC的 中点 理由：连接AE. AB=AC,E为BC的中点， ∴.AE⊥BC. ∴.∠ACE+∠EAC=90. .·∠AEO+∠OEC=90°，∠ACE= ∠OEC, .∠EAC=∠AEO. .AO=OE. .OE=O℃， .AO=OC,即O是AC的中点， 11.(1),△ABC和△ADE是等边 三角形， .AE=AD,AB=AC,EAD= ∠BAC=60°. ∴.∠EAD-∠BAD=∠BAC- ∠BAD,即∠EAB=∠DAC. .△AEB≌△ADC. ∴.BE=CD (2)△AMN是等边三角形. ,△AEB≌△ADC, '.∠AEB=∠ADC,即∠AEM= ∠ADN. ,M,N分别是BE,CD的中点， EM-7 BE.DN-7 CD. BE=CD, ∴.EM=DN. 在△AEM和△ADN中， (AE=AD, ∠AEM=∠ADN, EM=DN, ∴.△AEM≌△ADN. .AM=AN,∠EAM=∠DAN. :∠EAM+∠MAD=∠EAD 60°， ∴.∠DAN+∠MAD=∠MAN= 60°. ∴.△AMN是等边三角形. 方法归纳 等边三角形判定方法的选择 (1)若已知三边关系，则考虑 用“三条边都相等的三角形是等边 三角形”来判定 (2)若已知三角关系，则考虑 用“三个角都相等的三角形是等边 三角形”来判定 (3)若已知该三角形是等腰三 角形，则考虑用“有一个角是60°的 等腰三角形是等边三角形”来 判定 12.(1)25°：115°：小 (2)当DC=2时，△ABD≌△DCE. 理由：：∠C=40°， ∴.∠DEC+∠EDC=140°. 又.∠ADE=40°， ∴.∠ADB+∠EDC=140°. ∴.∠ADB=∠DEC. 又，AB=DC=2,∠B=∠C=40, ∴.△ABD≌△DCE. (3)可以. 当∠BDA的度数为110°或80°时， △ADE是等腰三角形. 37 专题特训七等腰三角形 中的常用辅助线 1.连接AD. :AB=AC,∠BAC=120°，D为BC 的中点， .AD⊥BC,AD平分∠BAC,∠B= ∠C=30°. :∠DAC=2 ∠BAC=60. .DE⊥AC, .∠AED=90° .∠ADE=30°. 在Rt△ADE中，AE=8,∠ADE= 30°， .AD=2AE=16. 在Rt△ADC中，AD=16,∠C=30°， .AC=2AD=32. .CE=AC-AE=32-8=24. 2.如图，过点E作FE∥AC,交BD 的延长线于点F ·△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC,∠B=∠BAC= ∠ACB=60° :FE∥AC, ∴.∠BAC=∠BEF=60°，∠ACB= ∠F=60° ∴.∠B=∠F=∠BEF ∴.△BEF是等边三角形. .BE=BF=FE. .BE-AB=BF-BC,即AE= CF. .BD=AE, .BD=CF. .BD-CD=CF-CD,即BC= FD. 在△BCE和△FDE中， (BC=FD, ∠B=∠F, BE=FE, .△BCE≌△FDE. .CE=DE. D (第2题)