第16期 15.2 线段的垂直平分线 15.3 角的平分线-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（沪科版2024 安徽专版）

4 素养拓展 A 数理招 (上接第3版) 附加题⊙ 第15期2版参考答案 17.(14分)如图17，在△ABC中，∠BAC> 15.1轴对称图形 90°，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F, (以下试题供各地根据实际情况选用) 15.1.1轴对称 AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点P为边 基础训练1.C;2.B;3.1;4.10; EF,MN交于点P. BC上的一点，且∠PAB=15°，点C关于直线PA 5.18°； (1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上； 的对称点为D,连接BD,∠BDP=30°，AH为 6.①②③：7.4 (2)连接AP,求证：AP平分∠FAN; △APC的边PC上的高， 8.图略. (3)设∠FAN=a,其他条件不变时，求 (1)求∠BPD的度数： 9.(1)因为△ABC中点A,B,C关于直线 MN的对称点分别为点A',B',C',AC=8cm,所 ∠FPN的度数. (2)求证：LBAP=∠CAH, 以BC=B'C',A'C'=AC=8cm.因为A'C= 12cm,所以△A'B'C'的周长为：A'B'+B'C'+ A'C'=A'C+AC=12+8=20(cm) (2)△A'CC'的面积为48cm2 10.(1)因为△ACE和△ADE关于直线AE 1 对称，所以△ACF和△ADF关于直线AE对称 所以∠ACD=∠ADC.因为∠CAB=36°，所以 ∠ADC=2(180°-LCAB)=72 (2)因为∠CAB=36°，∠B=48°，所以 ∠ACB=180°-∠B-∠CAB=96°.因为 △ACE和△ADE关于直线AE对称，所以 ∠ADE=∠ACE=96°.所以∠DEB=∠ADE ∠B=48 15.1.2画轴对称图形 基础训练1.B;2.B;3.B;4.上，5； 5.4. 数理报社试题研究中心 6.图略. (参考答案见下期) 7.(1)图略 (2)(-a,b) 品味方法 (3)△ABC的面积为6 倍助尺规1 屉“两线”风手 能力提高8.B. 9.(1)(3,2). ◎山东刘栋宏 (2)点A,B沿x轴翻折后的对应点的坐标 学习了线段的垂直平分线和角的平分线AB=AD,AP=AP,结合题意与三角形全等的 分别为C(-1,-1),D(-4,-1). 后，我们经常会遇到用尺规确定位置的题型，下判定方法，可作∠BAD的平分线，根据“SAS”即 点C,D沿直线m翻折后的对应点的坐标 面举例分析说明，供同学们参考. 可说明△ABP≌△ADP. 分别为(3，-1)，(6，-1). 一、用线段的垂直平分线确定位置 解：如图4，以点A为圆心，任意长（小于线 所以点A,B的<x轴，m>伴随图形点A', 例1如图1，已知∠EBC,点A为BE边上段AB的长)为半径作弧，交AB于点E,交AD于 B的坐标分别为(3，-1)，(6，-1). 一点，请用尺规作图，在BC边上作一点D,使得 第15期3版参考答案 ∠ADC=2∠B, 点F,分别以E,F为圆心，大于)EF的长为半径 -、题号12345678 画弧，两弧相交于点0，连接AO并延长，交BC于 答案ACBBBC AC 点P,则点P即为所求. 二、9.①；10.(5.5,4)；11.45°；12.10° 三、用线段的垂直平分线结合角的平分线 或70°. 确定位置 三、13.(1)图略；(4,0)，(-1，-4)，(-3， 1). 图1 图2 例3两个城镇A,B与一条公路CD,一条 (2)△A'B'C'的面积为11.5. 分析：要使∠ADC=2LB,即∠DAB=河流CE的位置如图5所示，某人要修建一避暑 14.因为△ABE关于直线AE的对称图形 ∠B,根据等腰三角形的性质可知DA=DB,所山庄，要求该山庄到城镇A,B的距离必须相等， 是△AFE,所以∠AEB=∠AEF,∠B= 以可知，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交到公路CD和河流CE的距离也相等，且在 ∠AFE.因为∠B=∠D,所以∠AFE=∠D.所 点 ∠DCE的内部，请用尺规作出该山庄的位置P. 以EF∥CD.所以∠BEF=∠C=72°.所以 解：如图2，分别以A,B为圆心，大于AB LAEB=∠BEF=36 的长为半径作弧，两弧交于两点M,N,连接MN 5 (1)E:F:G:H:EH:EF:GH:LGFE: 交BC于点D,则点D即为所求 ∠EHG. 二、用角的平分线确定位置 (2)图略.AE∥BF,理由略 图5 图6 例2如图3，在四边形ABCD中，AB=AD (3)对称轴MN垂直平分AE, 在BC边上求作一点P,使得△ABP≌△ADP. 分析：根据该山庄到城镇A,B的距离相等可 16.(1)图略. 知，该山庄在线段AB的垂直平分线上，根据该山庄 (2)因为点D关于直线AB的对称点是E, 到公路CD和河流CE的距离相等可知，该山庄在 所以∠DAB=LEAB,LD=∠AEB.因为 ∠DCE的平分线上 ∠DAB=∠ABC,所以∠BAE=∠ABC.所以 解：如图6，作线段AB的垂直平分线MN,作AE∥BC.所以∠AEB+∠EBC=180°.所以 4 ∠DCE的平分线CF,MN与CF相交于点P,则点∠D+∠EBC=180°. 分析：要使△ABP≌△ADP,根据题意可知P就是山庄的位置. (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话， 数评橘 2025年10月15日·星期三 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 第16期总第1160期 沪科 0351-5271248 八年级(AH】 上接4版参考答案) 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 17.(1)∠1+ ∠2=2∠A.理由如 名师点睛 解：过点D分别作DE⊥BC交BC的延长线 下： 于点E,DF⊥AB交BA的延长线于点F,DG 由折叠性质，得 直击角平分线的性质与判定 ∠ADE=∠A'DE, 4C于点G,如图4.因为BD平分∠ABC,DE⊥ ∠AED=∠A'ED ◎安徽潘晓琦 所以∠1+∠2= 角的平分线的性质：角平分线上的点到角 三、说明面积之间的数量关系 BC,DF⊥AB,所以∠DBC=∠ABC,DF 180°-∠ADE 两边的距离相等。 例3如图3，在△ABC DE.因为2∠ACD=∠ABC+∠BAC,∠ACE= ∠A'DE+180° 角的平分线的判定：角的内部到角两边距 中，∠CAB和∠CBA的平分 ∠ABC+∠BAC,所以∠ACE=2∠ACD,即CD ∠AED-∠A'ED= 离相等的点在角的平分线上. 360°-2（∠ADE 线交于点P,连接PC.若 平分∠ACE.又因为DE⊥BC,DG⊥AC,所以 一、求点到直线的距离 ∠AED)=360° △PAB,△PBC,△PAC的面 DE=DG.所以DF=DG.所以AD平分∠CAF. 例1如图1，在△ABC 2(180°- ∠A) 积分别为S1,S2,S3,则 中，∠C=90°.若AC=9,DC 因为∠CAD=43°，所以∠CAF=2∠CAD= 2∠A. A.S1<S2+S3 (2)猜想：∠1 =3AC,BD平分∠ABC,则点 86°.所以∠BAC=180°-∠CAF=94°.所以 B.S=S2 +S ∠2=2∠A.证明 ∠BDC=∠DCE-∠DBC= D到AB的距离是 C.S>S2 +S 2∠ACE- 如下： 由折叠性质，得 A.4 B.3 C.2 D.1 D.无法确定S与S2+S3的大小N ∠ABC= -(∠ACE-∠ABC)= ∠BAC= ∠ADE=∠A'DE 解：过点D作DH⊥AB于点H,如图1.因为 解：过点P分别作PD⊥AB于点D,PE ∠AED=∠A'ED. AC=9,DC=3AC,所以DC=3.因为BD平分 AC于点E,PF⊥BC于点F,如图3.因为∠CAB 47°.故填47° 所以∠1-∠2= 和∠CBA的平分线交于点P,所以PD=PE = 180°-∠ADE LABC,∠C=90°，DH⊥AB,所以CD=DH= ∠A'DE-(∠A'ED 3,即点D到AB的距离是3.故选B. PF.因为S2= LBC·PF,S,=)AC·PE,所以 本周主进 -∠DEB)=180° 二、求三角形的面积 15.2线段的垂直平分线 2∠ADE-∠A'ED+ 例2如图2，已知在四 S2+S3= 名(4C+BC)PD因为S=B 学习目标：掌握线段垂直平分线的性质 ∠DEB=180° 边形ABCD中，DE⊥BC,BD PD,AB<AC+BC,所以S1<S2+S3,故选A 2∠ADE-∠AED+ 认知重点：会用线段的垂直平分线的性质 平分∠ABC,AB=6,DE ∠A+∠ADE= 4, 则△ABD的面积是 四、求角度 解题 2∠A. 例4如图4，AC,BD是 15.3角的平分线 附加题(1) 四边形ABCD的对角线，BD 解：过点D作DF⊥AB交BA的延长线于点 学习目标：1.会作角的平分线，了解其性 因为A(2,-5)向 F,如图2.又因为BD平分∠ABC,DE1BC,所 平分∠ABC,2∠ACD = 左平移5个单位长 以DF=DE=4.因为AB=6,所以SAm ∠ABC+∠BAC,已知∠CAD 质，并能利用其性质证明 度后的坐标为(-3 =43°，则∠BDC的度数为 2会灵活应用角平分线的性质与判定解决 -5),(-3,-5)关 AB·DF=12.故填12 问题」 于y轴的对称点的 坐标为(3，-5) 专题辅导· (3,-5)与A不重 三、线段的垂直平分线与角的平分线“联姻' 合，所以点A(2 5)不是不动点； 两线出击招招解题 例3如图3，在 △ABC中，AB边的垂直平 因为A2(2.5,0) ◎江西李晓娜 分线PQ与△ABC的外角 向左平移5个单位长 线段的垂直平分线和角的平分线是考试中 二、角的平分线 平分线交于点P,过点P 度后的坐标为 的“常客”，利用这“两线”的性质可以帮助同学 例2 如图2，点P是 作PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E.若BC=6, -2.5,0),（-2.5 们解决很多问题，下面选取几例加以剖析，供同△ABC的三个内角平分线 AC=4,则CE的长度是 0)关于y轴的对称 学们参考 的交点.若△ABC的周长为 A.1 B.2 C.3 D.4 点的坐标为(2.5 0),(2.5,0)与A2重 一、线段的垂直平分线 24cm,面积为36cm2,则点 解：连接PA,PB,如图3. 合，所以A2(2.5,0) 因为CP是∠BCE的平分线，PD⊥BC,PE 例1 如图1，在△ABC 是不动点 P到边BC的距离是 ⊥AC,所以PD=PE. 中，DE是AC的垂直平分线，且 (2)点A(a,3) 解：过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于 在Rt△CDP和Rt△CEP中，因为CP=CP 向左平移5个单位 分别交BC,AC于点D和E,∠B 点E,PF1AC于点F,如图2 PD=PE,所以Rt△CDP≌Rt△CEP(HL).所 长度后的坐标为(a =60°，∠C=25°，则∠BAD的 因为点P是△ABC的三个内角平分线的胶点， 以CD=CE. 5,3),(a-5,3) 度数为 因为PQ是线段AB的垂直平分线，所以PA 关于y轴的对称点 所以PD=PE=PF 解：因为DE是AC的垂直平分线， PB. 的坐标为(5-a, 3)因为点A(a,3) 所以DA=DC, 所以Sae=Sam+SAe+Sax=2AB: 在Rt△AEP和Rt△BDP中， 为不动点，所以a= 所以∠DAC=∠C=25. 因为PA=PB,PE=PD, 5-a.解得a=2.5. 因为∠B=60°，∠C=25° PD+BCPE+TAC.PF-2PE(AB+BC 所以Rt△AEP≌Rt△BDP(HL).所以AE (全文完) =BD.所以BC=BD+CD=AC+CE+CD= 所以∠BAC=95. 所以∠BAD=∠BAC-∠DAC=70° +AC)=2PE×24=36.解得PE=3. 6.所以CE=CD=2(BC-AC)=1 故填70 故填3. 故选A. 素养专练 数理极 7.如图7,0E,0F分别是AC,BD的垂直平分 4.如图4，以点0为圆心，在x轴、y轴上分别 跟踪训练 线，垂足分别为点E,F,且AB=CD,∠AB0= 截取OA,OB,使得OA=OB,分别以点A,B为圆 79°，∠CDB=38°，求∠D0F的度数. GENZONGXUNLIAN 心，以大于)AB长为半径画弧，两弧交于点P,如 15.2线段的垂直平分线 果点P的坐标为(3a,a+4),则a的值是( A.2 B.3C.4 D.5 垦础训练 5.如图5，点0在△ABC内，且到三边的距离 相等，若∠A=54°，则∠B0C= 1.如图1，在△ABC中，DE垂直平分AB.若 BD=4,CD=2,则AC的长是 ( A.6 B.8 c.9 D.10 图5 图6 6.如图6，点P是∠A0B的平分线0C上 8.如图8，在△ABC中，AB边的垂直平分线l, 点，PN⊥OB于点N,点M是线段ON上一点，已知 图1 图2 交BC于点D,AC边的垂直平分线，2交BC于点E, OM=3,ON=4,点D为OA上一点.若满足PD= 2.如图2，地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可 1与2相交于点0，连接OA,0B,OC,若△ADE的 PM,则OD的长为 从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及 周长为8cm,△OBC的周长为18cm. 7.如图7，在△ABC中， 到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在 ( (1)求线段BC的长； AD是△ABC的角平分线，延 A.△ABC三条角平分线的交点 (2)求证：点0在线段BC的垂直平分线上； 长AD至点E,使AD=DE, B.△ABC三条中线的交点 (3)求线段OA的长 连接BE.若AB=3AC, C.△ABC三条高的交点 △BDE的面积为9，则△ABC 图7 D.△ABC三条边的垂直平分线的交点 的面积是 3.如图3，直线m,n交于点0，点A,B在直线 8.如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是 m上，点P,H在直线n上，AP=BP,AH=BH.若 △ABC的一条角平分线，点O,E,F分别在BD, AB=10,则OB的长为 BC,AC上，且四边形OECF是正方形.求证：点O 在∠BAC的平分线上. 图3 图4 4.如图4，在△ABC中，以点A为圆心，AC为 半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为 圆心，大于2BD的长为半径作圆弧，两弧分别交 15.3角的平分线 于点M和点N,连接MN交AB于点E.若AB=10, AC=5,则△ADE的周长为 垦础训练 5.如图5，在△ABC内找一点P,使点P到A, 1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线 ∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若DE 段AC的长（尺规作图，不写作法，保留作图痕 =3,BC=8,则BD的长为 () 迹) A.4 B.5 C.6 D.7 9.如图9，AB∥CD,BP和CP分别平分 ∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与CD垂直.求证： PA PD. 图1 图2 2.如图2，在CD上求一点P,使它到0A,OB 的距离相等，则点P是 () 6.如图6，△ABC中，∠BAC=80°，MP和NQ A.线段CD的中点 分别垂直平分AB和AC.若△APQ的周长为12 B.OA与OB的中垂线的交点 BC的长为8，求PQ的长 C.OA与CD的中垂线的交点 D.CD与∠AOB的平分线的交点 3.如图3,0C平分∠A0B,P是0C上一点， PH上OB于点H,Q是射线OA上的一个动点.若 PH=3,则PQ长的最小值为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 14.(8分)如图14，直线1是线段AB的垂直平 同步检测 分线，点P在直线I的右侧，连接PA,PB.求证：PA PB. TONGBUJIANCE 【检测范围：15.215.3】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B 题号12345678 C.小亮说得对，可添条件为“A0=B0” 答案 D.小亮说得对，可添条件为“PO平分∠APB 1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠BAC的平分线，CD=6,则点D到AB的距离为 A.3 B.4 C.6 D.8 0 图7 图8 8.如图8，已知AB∥CD,射线AE平分∠BAC, 过点E作EH⊥AC于点H,作EF⊥AB于点F,并 延长FE交CD于点G,连接CE.若∠AEC=90°， 图1 EH=1,则FG的长为 图2 () 2.如图2是一个风筝的骨架示意图（可称为筝 A.1 B.2 C.3D.4 15.(10分)如图15，在△ABC中，AD1BC于 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 点D,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E, 形ABCD).已知AC垂直平分BD,AB=60cm,CD =40cm,则筝形ABCD的周长为 9.如图9，OC平分∠A0B,点P在OC上，PD且BD=DE,连接AE. ⊥OA于点D,PD=3cm,点E是射线OB上的动 (1)求证：AB=EC; A.100 cm B.140 cm 点，则PE的最小值为 cm. (2)若△ABC的周长为20cm,AC=9cm,求 C.160 cm D.200 cm DC的长. 3.如图3，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 一B ∠CAB,AB=5,△ABD的面积是5，则CD的长是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 图9 图10 1 10.如图10，在△ABC中，D为BC边上一点， EF为线段BD的垂直平分线，若△ADE的周长为 19,BD=7,则△ABD的周长为 图3 11.如图11，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的 图4 4.如图4，在△ABC中，D是AB的垂直平分线 平分线相交于点O,EF经过点O,分别交AB,AC于 与BC边的交点，E是BC边上一点，连接AD,AE, 点E,F,BE=OE,OF=5cm,点O到BC的距离为 AE将△ABC的面积平分.若AD=3,BC=8,则 4cm,则△OFC的面积为 _cm2. DE的长为 A.2 B. C.1 D 5.如图5，在△ABC中，D,E为边AC上两点， 16.(12分)如图16，AB∥CD,以点A为圆心 连接BD,BE,DF⊥BE于点F,若∠A=90°，AD= 小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB,AC于E,F 图11 图12 DF,∠DBF=25°，则∠BEC的度数为() 12.如图12，在R△ABC中，∠A=90°，AB= 两点，再分别以点E,F为圆心，大于？EF的长为半 A.115°B.120°C.125° D.140° 6,AC=8,BC=10,EF垂直平分AB,点P是EF上 径作圆弧，两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD于 动点，过点P作PH⊥BC,垂足为点H,连接BP, 点M. 则BP+PH的最小值为 (1)若∠ACD=114°，求∠MAB的度数； 三、耐心解一解（共52分） (2)若CN1AM,垂足为点V,求证：△ACW兰 13.(8分)如图13，已知∠AOB和直线MN,请 图5 图6 △MCN. 你在直线MN上确定一点P,使点P到射线OA和 6.如图6，在△ABC中，AB=16,BC=12,CA OB的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）， =10,∠ABC的平分线BP与AC相交于点D.在线 段AD上取一点K,以点C为圆心，CK为半径作弧， 与射线BP相交于点M和点N,再分别以点M和点 N为圆心，大于号MN的长为半径作弧，两弧相交于 点Q,作射线CQ,与AB相交于点E,连接DE.则 △DAE的周长为 A.12B.14C.16D.18 7.如图7，直线1与线段AB交于点0，点P在直 线l上，且PA=PB.小明说：“直线l是AB的垂直 平分线”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结 论才正确.”下列判断错误的是 ( ) A.小明说得不对 (下转第4版)八年级数学沪科(AH) 第14~18期 发理极 答案详解 2025~2026学年 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 第14期综合测评卷 20.(1)因为∠ABD=∠CBE,所以∠ABD+∠DBC= ∠CBE+∠DBC,即∠ABC=∠DBE=90°.在△ABC和△DBE 题号1 2345678910 r∠ABC=∠DBE, 答案CBD AAC DD C D 中，因为AB=DB, 所以△ABC≌△DBE(ASA). 二、11.4；12.70°；13.28；14.=2β；15.①②③. I∠BAC=∠BDE, 三、16.因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= (2)过点A作AM⊥BD于点M,图略.所以∠AMB=90° AB DE. =∠EBD.因为F是AE的中点，所以AF=EF,由对顶角相等， EF.在△ABC和△DEF中，因为 AC=DF,所以△ABC≌ 得∠AFM=∠EFB.在△AFM和△EFB中，因为 BC EF, ∠AMF=∠EBF, △DEF(SSS).所以∠B=∠DEF=65°.又因为∠A=88°，所 ∠AFM=∠EFB,所以△AFM≌△EFB(AAS).所以AM= 以∠ACF=∠A+∠B=153°. AF EF 17.根据题意，得∠OAB=∠C=90°.在△AOB和△COD EB=BC,MF=BF.所以BM=2BF.因为∠DBC+∠ABF= AB CD. 90°，∠ABF+∠BAM=90°，所以∠DBC=∠BAM.在△ABM 中，因为 ∠OAB=∠C,所以△AOB≌△COD(SAS).所以 AB BD. A0=C0. 和△BDC中，因为 ∠AOB=∠COD.所以点D,O,B三点共线，即钻头正好从点B ∠BAM=∠DBC,所以△ABM≌ 处打出. AM BC, 18.如图1，过点D作DH⊥BC于点 D △BDC(SAS).以BM=CD.所以CD=2BF H.所以∠EHD=90°.因为DE⊥AC,所 21.(I)因为EF⊥AC,AD⊥AE,所以∠AFE=∠EAD= 以∠AFD=90°.因为∠BAC=90°，所 ∠ACB=90°所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAF= 以AB∥DE.所以∠B=∠DEH.在 90°.所以∠ADC=∠EAF.在△AFE和△DCA中，因为 △ABC和△HED中，因为 B r∠AFE=∠DCA, r∠BAC=∠EHD, 图 ∠EAF=∠ADC,所以△AFE≌△DCA(AAS).所以AC= ∠B=∠DEH,所以△ABC≌ EA AD. BC ED, △HED(AAS).所以HD=AC=4.因为SACE=6,所以 EF=3,AF=DC=1.所以CF=AC-AF=2. (2)如图2，过点E作EM⊥AP,交AP的延长线于点M因 2CBH0=6所以CB=3 为EM⊥AP,AD⊥AE,所以∠AME=∠EAD=∠ACB=90°. 19.(1)因为点O是线段AB的中点，所以OA=OB.因为 所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAM=90°.所以 AC=AO,BD=BO,所以AC=BD.因为CE⊥AB,DF⊥AB, ∠EAM=∠ADC.在△AME和△DCA中，因为 所以∠CEA=∠DFB=90°.在Rt△AEC和Rt△BFD中， ∠AME=∠DCA, [AC=BD,所以Rt△AEC≌R△BFD(HL).所以∠A=∠B. ∠EAM=∠ADC,所以△AME≌△DCA(AAS).所以EM= LCE DF. AE DA. (2)由(1)得∠CE0=∠DF0=90°.因为Rt△AEC≌ Rt△BFD,所以AE=BF.因为OA=OB,所以OA-AE=OB- AC.因为BC=AC,所以BC=ME.在△BCP和△EMP中，因为 BF,即OE=OF.在△CEO和△DFO中，因为 r∠BPC=∠EPM, CE DF. ∠BCP=∠EMP,所以△BCP≌△EMP(AAS).所以BP= ∠CE0=∠DFO,所以△CEO≌△DFO(SAS) BC EM, OE =OF, EP.所以BE=2BP 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 6.图略. 7.(1)图略. (2)(-a,b). (3)△ABC的面积为6. 能力提高8.B. 图2 图3 9.(1)(3,2) (3)如图3，过点E作EN⊥AP,交AP的延长线于点N.因 (2)点A,B沿x轴翻折后的对应点的坐标分别为C(-1, 为DB=2,BC=4,所以CD=DB+BC=6.因为EN⊥AP, -1),D(-4,-1) AD⊥AE,所以∠ANE=∠EAD=∠ACB=90°.所以∠DAC 点C,D沿直线m翻折后的对应点的坐标分别为(3，-1)， +∠ADC=90°，∠DAC+∠EAN=90°.所以∠ADC=∠EAN. (6,-1) ∠ANE=∠DCA, 所以点A,B的<x轴，m>伴随图形点A',B的坐标分别 在△AWE和△DCA中，因为 ∠EAN=∠ADC,所以△ANE≌ 为(3，-1)，(6，-1). EA AD. 第15期3版 △DCA(AAS).所以EN=AC,AN=CD=6.所以CW=AN- AC=2.因为AC=CB,所以BC=NE.在△BCP和△ENP中， 题号12345678 r∠BPC=∠EPW, 答案ACBBBCAC 因为{∠BCP=∠ENP,所以△BCP≌△ENP(AAS).所以BP 二、9.①：10.(5.5,4)；11.45°；12.10°或70° BC EN. 三、13.(1)图略；(4,0)，(-1，-4)，（-3，-1). =EP,CP=PN=L.所以AP=AC+CP=5.所以S△E= 2S△BP=AP·BC=20. (2)△4BC的面积为：号×(3+4)×7-子×2x3- 第15期2版 ×5×4=11.5. 15.1轴对称图形 14.因为△ABE关于直线AE的对称图形是△AFE,所以 15.1.1轴对称 ∠AEB=∠AEF,∠B=∠AFE.因为∠B=∠D,所以∠AFE 基础训练1.C；2.B;3.1;4.10;5.18°； =∠D.所以EF∥CD.所以∠BEF=∠C=72°.所以∠AEB 6.①②③；7.4. =子∠BBF=360 8.图略。 15.(1)E;F;G;H;EH;EF;GH;∠GFE;∠EHG. 9.(I)因为△ABC中点A,B,C关于直线MW的对称点分 (2)图略.AE∥BF,理由：对应点的连线互相平行或共线， 别为点A',B,C',AC=8cm, 这里不共线，所以平行 所以BC=B'C',A'C'=AC=8cm. (3)对称轴MW垂直平分AE.理由：对称轴垂直平分对称 因为A'C=12cm, 点的连线。 所以△A'B'C的周长为：A'B'+B'C'+A'C=A'C+AC= 16.(1)图略 12+8=20(cm) (2)因为点D关于直线AB的对称点是E,所以∠DAB= (2)图略 ∠EAB,∠D=∠AEB. 根据轴对称的性质，得∠A'=∠A=90° 因为∠DAB=∠ABC,所以∠BAE=∠ABC.所以AE∥ 所以△ACC的面积为：AC·ArC=48cm. BC. 10.(1)因为△ACE和△ADE关于直线AE对称，所以 所以∠AEB+∠EBC=180°.所以∠D+∠EBC=180° △ACF和△ADF关于直线AE对称.所以∠ACD=∠ADC.因为 17.(1)∠1+∠2=2∠A.理由如下： 由折叠性质，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED.所以 ∠C4B=36°，所以∠ADC=(180°-∠CAB)=72 ∠1+∠2=180°-∠ADE-∠A'DE+180°-∠AED-∠A'ED (2)因为∠CAB=36°，∠B=48°，所以∠ACB=180°- =360°-2（∠ADE+∠AED)=360°-2(180°-∠A)=2∠A. ∠B-∠CAB=96°.因为△ACE和△ADE关于直线AE对称， (2)猜想：∠1-∠2=2∠A.证明如下： 所以∠ADE=∠ACE=96°.所以∠DEB=∠ADE-∠B= 由折叠性质，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED.所以 48°. ∠1-∠2=180°-∠ADE-∠A'DE-(∠A'ED-∠DEB)= 15.1.2画轴对称图形 180°-2∠ADE-∠A'ED+∠DEB=180°-2∠ADE-∠AED 基础训练1.B;2.B;3.B;4.上，5；5.4. +∠A+∠ADE=2∠A. 2 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 附加题(1)因为A(2,-5)向左平移5个单位长度后的 因为AD⊥CD,所以∠ADC=90°. 坐标为(-3，-5)，(-3，-5)关于y轴的对称点的坐标为(3， 因为AB∥CD, -5),(3,-5)与A1不重合，所以点A(2,-5)不是不动点； 所以∠BAD=180°-∠ADC=90°.所以AD⊥AB. 因为A2(2.5,0)向左平移5个单位长度后的坐标为 因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, (-2.5,0),(-2.5,0)关于y轴的对称点的坐标为(2.5,0)， 所以PA=PQ=PD. (2.5,0)与A2重合，所以A2(2.5,0)是不动点. 第16期3版 (2)点A(a,3)向左平移5个单位长度后的坐标为(a-5, 3),(a-5,3)关于y轴的对称点的坐标为(5-a,3).因为点 题号 2 345678 A(a,3)为不动点，所以a=5-a.解得a=2.5. 第16期2版 15.2线段的垂直平分线 二9.3；10.26；11.10：1224 5 基础训练1.A;2.D;3.5;4.15. 三、13.图略 5.图略. 14.设PA交直线l于点C,连接BC,图略. 6.因为MP和NQ分别垂直平分AB和AC,所以AP=PB, 因为直线I是线段AB的垂直平分线， AQ=CQ.因为△APQ的周长为12，所以AQ+PQ+AP=12. 所以CA=CB. 所以CQ+PQ+PB=BC+2PQ=12.因为BC=8,所以PQ 所以PA=CA+CP=CB+CP>PB. =2. 15.(1)因为EF垂直平分AC,所以AE=EC.因为AD⊥ 7.连接OA,OC,图略. BC,BD=DE,所以△ABD≌△AED.所以AB=AE.所以AB= 因为OE,OF分别是AC,BD的垂直平分线， EC. 所以OA=OC,0B=OD,∠DF0=90°. (2)因为△ABC的周长为20cm,AC=9cm,所以AB+BC .AB CD =11cm.因为AB=EC,BD=DE,所以DC=DE+EC= 在△AB0和△CD0中，因为{OA=OC, 5.5cm. -OB OD. 16.(1)因为AB∥CD,所以∠ACD+∠CAB=180°.因为 所以△AB0≌△CDO(SSS). ∠ACD=114°，所以∠CAB=66°.由作法知，AM是∠CAB的 所以∠AB0=∠CD0=79° 因为∠CDB=38°， 平分线所以∠MAB=之∠C1B=33 所以∠ODF=∠CD0-∠CDB=41°. (2)由作法知AM平分∠CAB,所以∠CAM=∠MAB.因 所以∠D0F=90°-∠0DF=49°. 为AB∥CD,所以∠MAB=∠CMA.所以∠CAM=∠CMA.因 8.(1)因为1是AB边的垂直平分线，所以DA=DB.因为 为CN⊥AM,所以∠ANC=∠MNC.在△ACN和△MCW中，因 l2是AC边的垂直平分线，所以EA=EC.因为△ADE的周长为 r∠CAW=∠CMWN, 8cm,所以BC=DB+DE+EC=DA+DE+EA=8cm. 为{∠AWC=∠MWC,所以△ACN≌△MCN. (2)因为41是AB边的垂直平分线，所以OA=OB.因为2 LCN CN, 是AC边的垂直平分线，所以OA=OC.所以OB=OC.所以点 17.(1)如图4，连接 O在线段BC的垂直平分线上. PA,PB,PC.因为PE垂直平 (3)因为△OBC的周长为18cm,BC=8cm,所以OB= 分AB,PM垂直平分AC,所以 0C=5cm.所以0A=5cm. PA=PB,PA=PC.所以PB 15.3角的平分线 =PC.所以点P在线段BC的 基础训练1B;2.D;3.C；4.A; 垂直平分线上 图4 5.117°；6.3或5；7.12. (2)如图4，由(1)知PA=PB=PC,所以∠PAB= 8.过点O作OM⊥AB于点M,图略. ∠PBA,∠PBF=∠PCN.因为PE垂直平分AB,所以FA=FB. 因为BD是△ABC的一条角平分线，OM⊥AB,OE⊥BC, 所以∠FAB=∠FBA.所以∠PAF=∠PBF.同理可得∠PAW 所以OE=OM. =∠PCN.所以∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN. 由题意知OE=OF,OF⊥AC, (3)因为PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,所以FA= 所以OM=OF FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=90°.设∠B=x°，∠C=y 所以点O在∠BAC的平分线上 所以∠B=x°=∠BAF,∠C=y°=∠CAN.在△ABC中，因 9.过点P作PQ⊥BC于点Q,图略. 为∠B+∠C+∠CAB=180°，∠FAN=a,所以x°+y°+x°+ -3 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 y+a=180,即l1809-=x°+y AC=BC.所以AC=CE.所以BC是△ABE的中线. 2 15.4.3等腰三角形的判定 在四边形AEPM中，因为∠AEP+∠AMP+∠EAM+ 基础训练1.C；2.B;3.16 ∠FPW=360°，所以∠FPV=360°-90°-90°-(x°+y°+ 4.(1)因为△ABC是等腰三角形，∠BAC=52°，所以 a）=180°-(1809=a+a)=1809-g 2 2 ∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)=64因为BG1AC, 附加题(1)因为∠PAB=15°，∠ABC=45°，所以 1 所以∠BGC=90°.所以∠FBC=90°-∠ACB=26°. ∠APC=∠PAB+∠ABC=60°.因为点C关于直线PA的对称 (2)因为AB=AC,AD为中线， 点为D,所以∠APC=∠APD=60°.所以∠BPD=180°- 所以∠BAD=∠CAD,AD⊥BC.所以∠ADC=90. ∠APC-∠APD=60°. 所以∠DAC+∠DCA=90°. (2)如图5，过点A作BD,DP的垂线，G 因为∠GBC+∠GCB=90°，所以∠GBC=∠DAC= 垂足分别为G,F.因为∠APC=∠APD,所 ∠DAB. 以AH=AF.因为∠BDP=30°，∠BPD= 因为DE=DA,所以∠DAE=∠DEA.所以∠AFB= 60°，所以∠DBP=90°.因为∠ABC= ∠CBG+∠DEA=∠DAB+∠DAE=∠BAF.所以BF=AB. 45°，所以∠GBA=∠DBP-∠ABC=45° 图5 15.4.4等边三角形的判定 =∠CBA.所以AG=AH.所以AG=AF.所以点A在∠GDP的 基础训练1.B;2.B;3.30° 平分线上.因为∠BDP=30°，所以∠GDP=150°.所以∠ADP 4.(1)如图6，等边三角形CEF即为所求。 =号∠GDP=75因为点C关于直线PA的对称点为D,所以 ∠C=∠ADP=75°.因为AH为△APC的高，所以∠AHC= 90°.所以∠CAH=90°-∠C=15°.所以∠BAP=∠CAH. 第17期2版 15.4等腰三角形 图6 图7 15.4.1等腰三角形的性质 (2)CD=CE+CF.理由如下： 基础训练1.C；2.C;3.3cm;4.40° 如图7，在CD上截取CH=CE,连接EH.因为△ABC是等 5.因为BE=AE,∠ABE=25°，所以∠BAD=∠ABE= 边三角形，所以∠ACB=60°.所以△ECH为等边三角形.所以 25°.因为AB=AC,点D为BC边的中点，所以∠BAC= EC=EH=CH,∠CEH=60°.因为△DEF是等边三角形，所以 2∠BAD=50°. EF=ED,∠FED=6O°.所以∠CEH-∠FEH=∠FED- 能力提高6.(1)因为∠ADB=∠BCD+∠DBC,∠BCE ∠FEH,即∠CEF=∠HED =∠BCD+∠ECA,∠ADB=∠BCE,所以∠ECA=∠DBC. EF ED. AC CB 在△CEF和△HED中，因为 ∠CEF=∠HED,所以 在△ECA和△DBC中，因为 ∠ECA=∠DBC, EC EH, CE BD. △CEF≌△HED(SAS). 所以△ECA≌△DBC(SAS).所以AE=CD. 所以CF=HD.因为CD=CH+HD,所以CD=CE+CF (2)因为△ECA≌△DBC,所以∠EAC=∠DCB.又因为 第17期3版 ∠FAB=∠EAC+∠CAB=1O7°，所以∠DCB+∠CAB= 107°.所以∠ABC=180°-（∠DCB+∠CAB)=73°.因为AC 题号12345678 =BC,所以∠BAC=∠ABC=73°.所以∠ACB=180°- 答案CADDBCB D ∠BAC-∠ABC=34°. 二、9.等腰三角形的“三线合一”；1075°；11.5； 15.4.2等边三角形的性质 基础训练1.C;2.B;3.15 12.18. 4.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°.因为 三、13.(1)因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， 所以∠BAD=∠CAD.因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD.所 CD是△ABC的中线，所以∠BCD=∠ACD=∠ACB=30 以∠DAE=∠ADE.所以EA=ED. 因为BE∥CD,所以∠E=∠ACD=30° (2)因为AB=AC,所以∠C=∠B.因为DE∥AB,所以 (2)因为BE∥CD,所以∠CBE=∠BCD=30°，所以 ∠EDC=∠B.所以∠EDC=∠C.所以DE=CE.由(1)得EA ∠CBE=∠E.所以BC=CE.因为△ABC是等边三角形，所以 =ED.所以AE=CE 4 八年级数学沪科(AH)第14~18期 14.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BCE=∠A=2∠C.所以∠B=2∠C. 60°，BC=CA. (2)如图8，过点D作DH⊥AC于点H.所 BC=CA. 以∠AHD=∠CHD=90°.因为AD是△ABC 在△BCE和△CAD中，因为 ∠BCE=∠CAD,所以 的角平分线，所以BD=HD. CE AD. 在Rt△ABD和Rt△AHD中，因为 △BCE≌△CAD(SAS).所以BE=CD. AD=AD,所以R△ABD≌t△AHD(HL) (2)因为△BCE≌△CAD,所以∠CBE=∠ACD.所以 BD HD. ∠BPD=∠PCB+∠CBE=∠PCB+∠ACD=∠ACB=6O°. 所以AB=AH 15.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BE= 因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠C=45°.所以 DE,所以∠CBE=∠D.所以∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠D, ∠HDC=90°-∠C=45°.所以HD=HC.所以BD=HC.因 即∠ABE=∠CED. 为AC=AH+CH,所以AC=AB+BD 因为AE=BE,所以∠A=∠ABE. 附加题因为∠ACB=90°，∠A=30°，所以∠ABC= 由对顶角相等，得∠AEF=∠CED. 60,BC=之AB.因为BD平分∠ABC,所以∠DBA=LABC 所以∠A=∠AEF.所以△AEF是等腰三角形. (2)由(1)得∠BFE=∠A+∠AEF=2∠A.所以∠BFE =30°=∠A.所以AD=BD,∠BDC=∠A+∠DBA=60°. ≠∠ABE.所以当△BEF是等腰三角形时，存在以下两种情况： (I)因为DE⊥AB,所以AE=BE=4B所以BC=BE ①当∠BFE=∠BEF=2∠A时，在△BEF中，5∠A= 所以△EBC是等边三角形. 180°，解得∠A=36°； (2)AD=DG+MD.理由如下： ②当∠BEF=∠ABE=∠A时，在△BEF中，4∠A= 如图9，延长ED至点P,使得DP 180°，解得∠A=45°. =MD,连接MP.因为DE⊥AB,所以 综上所述，∠A的度数为36°或45° ∠AED=90°.因为∠A=30°，所以 16.(1)因为∠ACB=90°，∠CAD=60°，所以∠B=90 ∠ADE=90°-∠A=60°.所以 G -∠CAD=30°.所以AB=2AC.因为AC=BD,所以AD=AC. 图9 ∠PDM=60°.又因为DM=DP,所以 所以△ADC是等边三角形.因为P是CD的中点，所以AP⊥ △PDM是等边三角形.所以∠P=∠PMD=60°，MP=MD. CD. 因为∠BMG=60°，所以∠PMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG, (2)连接BE,图略.因为P是CD的中点，所以CP=DP.因 即∠PMG=∠DMB.在△PGM和△DBM中，因为 为DE∥AC,所以∠CAP=∠DEP. ∠P=∠MDB. ∠CAP=∠DEP, MP MD. 所以△PGM≌△DBM(ASA).所以PG= 在△CPA和△DPE中，因为 ∠CPA=∠DPE,所以 ∠PMG=∠DMB, CP DP, DB.因为PG=DP+DG=MD+DG,所以AD=DG+MD. △CPA≌△DPE(AAS) 第18期2版 所以AP=EP=AE,AC=ED因为BD=AC,所以BD 专题一 轴对称图形 =DE. 1.B:2.-1. 因为DE∥AC,所以∠BDE=∠CAD=60°.所以△BDE 3.答案不惟一，图略。 是等边三角形.所以BD=BE,∠EBD=60°.所以AC=BE. 专题二 线段的垂直平分线与角的平分线 AC BE 1.B;2.4. 在△CBA和△EAB中，因为 ∠CAB=∠EBA,所以 3.如图10，过点A作AH⊥EF于点H, AB BA. 由题意得AB⊥EB,因为EA平分 △CBA≌△EAB(SAS).所以BC=AE=2AP. ∠BEF,AH⊥EF,所以AH=AB. 17.(I)因为AD⊥BC,BD=DE,所以AB=AE.所以∠B 因为AB=AD,所以AH=AD. E 图10 =∠AEB.因为CD=BD+AB=DE+AE=DE+CE,所以AE 所以Rt△ADF≌Rt△AHF(HL) =CE.所以∠C=∠EAC.所以∠AEB=∠C+∠EAC= 所以∠AFD=∠AFH.所以FA平分∠DFE. 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 4.因为∠BAC=90°，所以∠ABC+∠C=90°.因为AM⊥兰△BDC.所以∠BAC=∠BDC. BC,所以∠AMB=90°.所以∠ABC+∠BAM=90°.所以∠C (2)连接AP,如图13.因为△BAC =∠BAM.因为AD平分∠MAC,所以∠MAD=∠CAD.所以 ≌△BDC, ∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.因为∠ADB=∠C+∠CAD, 所以AB=DB=12,∠DBN= 所以∠BAD=∠ADB.所以AB=BD.因为BE平分∠ABC,所 ∠ABN=60 以BF⊥AD,AF=FD,即线段BF垂直平分线段AD. 所以∠EBD=180°-∠DBN- 专题三等腰三角形 ∠ABN=60°. 图13 1.D;2.D;3.6. 所以△BDE为等边三角形.所以DE=12. 4.(1)等边 因为点A关于射线BN的对称点为D,所以△BAP≌ (2)△BEF是等腰三角形.理由如下： △BDP 因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠BAD=∠DAE- 所以PA=PD.所以PE+PD=PE+PA ∠BAD,即∠DAC=∠EAB. 因为PE+PA≥AE,所以当点P运动到点B时，PE+PA的 又因为AC=AB,AD=AE,所以△DAC≌△EAB(SAS). 值最小，为24. 所以∠C=∠EBA. 此时△PDE周长最小，为36. 因为EF∥BC,所以∠EFB=∠ABC. 20.(1)△DEF是等边三角形.理由如下： 因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.所以∠EFB=∠EBA 因为AB=AD,∠DAB=60°，所以△ABD是等边三角形. 所以EB=EF.所以△BEF是等腰三角形 所以∠ABD=∠ADB=60°. 第18期3,4版综合测评卷 因为CE∥AB,所以∠CED=∠DAB=60°，∠DFE= ∠ABD=60. 题号1 2345678 9 10 所以△DEF是等边三角形. (2)因为AB=AD,CB=CD,所以AC是BD的垂直平分 二、11.21°；12.50°；13.3265；14.3；15.2. 线.所以AC平分∠DAB. 三、16.(1)图略. (3)因为AC平分∠DAB,∠DAB=60°， (2)点C的坐标为(4,3). 所以∠BAC=∠DAC=30°. 17.(1)如图11所示. 因为CE∥AB,所以∠ACE=∠BAC=30°=∠CAD. (2)如图11，由(1)可得，BD=CD,因 所以AE=CE=8.所以DE=AD-AE=4. 为△ABD的周长为14， 因为△DEF是等边三角形，所以EF=DE=4. 所以AB+AD+BD=AB+AD+CD= 所以CF=CE-EF=4. AB +AC 14. 图11 21.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C 因为AC=8, 因为BD=BC,所以∠BDC=∠C.所以∠ABC=∠BDC 所以AB=6. 因为∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+∠ABD, 因为∠A=90,所以△ABC的面积为：7×6×8=24 所以∠A=∠DBC.所以BD是△ABC的“等角分割线” (2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C 18.如图12，在AB上截取AD=AC,连接 所以∠A=180°-2∠C. CD. 因为BD⊥AC,所以∠BDC=∠BDA=90° 因为∠A=60°，所以△ACD是等边三角 所以∠ABD=90°-∠A=2∠C-90°，∠DBC=90°- 形 ∠C. 所以CD=AD,∠ADC=∠ACD=60°. 图12 因为BD是△ABC的“等角分割线”，所以 因为4C=4B。 ①若∠A=∠ABD,则180°-2∠C=2∠C-90°，解得 所以AD=之AB所以BD=AD=CD所以∠B=∠BCD ∠C=67.5°； ②若∠A=∠DBC,则180°-2∠C=90°-∠C,解得∠C =30° =90°（舍去）. 所以∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°.所以△ABC是直角 综上所述，∠C的度数为67.5°. 三角形。 19.(1)因为点A关于射线BN的对称点为D,所以△BAC (3)45°或180 7 6