专题5.6 角平分线的性质（2大考点+ 7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题5.6 角平分线的性质 教学目标 1. 掌握角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边距离相等）及其逆定理，能准确表述定理内容。 2. 会用逻辑推理证明定理，能运用定理解决线段相等、角相等及实际距离相关问题。 3. 经历定理探究过程，提升几何直观与推理能力，体会数学的实用性与严谨性。 教学重难点 1.重点 （1）理解并熟记角平分线的性质定理与逆定理，明晰定理的条件与结论。 （2）熟练运用定理进行几何证明和计算，解决线段相等、距离求解等实际问题。 2.难点 （1）区分角平分线性质定理与逆定理的逻辑关系，避免定理应用混淆。 （2）复杂图形中挖掘隐含条件，构造辅助线（如作距离）运用定理解决综合问题。 知识点01 角平分线的性质定理 性质定理 - 内容：角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。 - 符号语言：若OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。 - 关键条件：①点在角平分线上；②垂直于角的两边（距离定义）。 【即学即练1】1．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，平分，交于点，，垂足为．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，由角平分线的性质定理得出，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，中，，平分，，，则点到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，故点到的距离即的长， ，平分，， ， 故答案为：． 知识点02 角平分线的判定定理 逆定理（判定定理） - 内容：到一个角的两条边距离相等的点，在这个角的平分线上。 - 符号语言：若PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。 - 作用：判定点的位置（是否在角平分线上）。 【即学即练2】3．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质定理，三角形外角的性质． 过P点作 于F，于N，于M，根据角平分线的性质定理得到，，，根据角平分线的判定定理得到，最后根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：过P点作 于F，于N，于M， 设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， 又∵于F，于M， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，为边上的一点且，过点作，垂足分别是，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，根据证明，得出，根据角平分线的判定证明平分，即可得证． 【详解】证明：， ， 与是直角三角形， 在与中， ， ， ， ， 平分， ． 题型01 根据角平分线的性质求线段长 【典例1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，已知平分，于点，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质定理，即可得出结果． 【详解】解：∵平分，于点，于点， ∴； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，是的角平分线，，垂足为E，的面积为20，，，则的长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质．作于点F，可得，根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点F， BD是的角平分线，，， ， ， ， 解得， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题关键．延长交于点，根据等腰三角形的判定和性质易得，然后可求出，进而得到． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）如图，平分，，，垂足分别为E，F，点B在上，且 (1)求证：； (2)若，，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质与全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，再利用线段和差计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：平分，，， ， 在与中， ， ， ； （2）解；由（1）可知， ， 平分，，， ， 在与中， ， ， ， ，， ， 即， ． 题型02 根据角平分线的性质求角度 【典例2】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，，，若，，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键．根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，由此即可得． 【详解】解：∵，，，，且点在的内部， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，中，，，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和及角平分线的判定定理，熟练掌握三角形内角和及角平分线的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后可得平分，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查的知识点是角平分线的判定定理和定义，三角形的内角和定理，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 先由点在内部，且到三边的距离相等得出点是的内心，再由三角形的内角和定理可得和的度数和，再三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：点在内部且到三边的距离相等， 点是的内心， 即、分别是和的角平分线， 设，，则，， 在中，， ， ， 在中，， 即， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，过的中点D作，垂足分别为点E，F. (1)试说明：； (2)若，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键． （1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证； （2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ，D是的中点， 平分， ，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 题型03 根据角平分线的性质求周长 【典例3】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，、的平分线、相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，根据角平分线得到，，结合得到，，即可得到，，即可得到答案； 【详解】解：∵、的平分线、相交于点F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点和，的平分线交于点，若，，的面积为120，则的周长为（   ） A．25 B．33 C．40 D．48 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，如图，过作于，证明，结合面积可得，再证明即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵， 的平分线交于点，， ∴， ∵的面积为120， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线分别交、于点和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：； 故选：D 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知面积是，，分别平分和，于点，，则的周长是 ． 【答案】10 【分析】此题考查三角形角平分线的性质定理．连接，过点O作于E，于F，根据角平分线的性质得到，利用的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，过点O作于E，于F， ∵，分别平分和，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴，即的周长是10， 故答案为：10． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点，垂足为点，，试求的周长． 【答案】12cm 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的应用．证明可得，再根据结合关系即可求出答案． 【详解】解：平分，，， ． 在和中，， ， ． ， ． 的周长为： ． 题型04 根据角平分线的性质求面积 【典例4】（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中求面积，涉及勾股定理求线段长、角平分线性质及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理，熟记角平分线的性质是解决问题的关键． 首先，在中，由勾股定理求出，然后过点作于点，如图所示，由角平分线性质得到，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图所示： 的平分线交于点，，， ， 的面积是， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图中，，是的平分线，交于点D，，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式等知识点，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 根据角平分线性质得到，再运用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，中，平分，，，若的面积等于6，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．过D作于E，于F，由面积可求得，根据角平分线的性质可求得，即可求得的面积． 【详解】解：过D作于E，于F， ∵， ∴， 解得， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式3】（25-26八年级上·广东江门·期中）中，，，是的角平分线，于点． (1)求的度数； (2)，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据三角形角平分线的定义得，最后根据直角三角形两锐角互余可得答案； （2）如图，过作于点，根据角平分线性质得，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； （2）如图，过作于点， ∵是的角平分线，，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴的面积． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，三角形的面积公式等知识点，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 题型05 根据角平分线的性质求最值 【典例5】（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，点为的平分线上的一点，于点，，，为射线上的一个动点，则线段长的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质，找到点到的最短距离，进而确定的最小值． 【详解】解：过点作于， ∵点在的平分线上，过点作于，，， ∴．即当与重合时，线段长的最小值为． 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔南·期中）如图，在中，，平分，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理；过点作，由垂线段最短得取得最小值，由角平分线的性质定理得，即可求解． 【详解】解：过点作， 此时取得最小值， ，， ， ，平分， ， 的最小值为， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P作于点F，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点P作于点F，如图所示： ∵平分，于点D，， ∴， ∵点E是射线上的动点， ∴根据“垂线段最短”得：， ∴当点E与点F重合时，为最小，最小值为． 故答案为：3． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是的平分线，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短；过点作于点，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质可得，，则当重合，重合时，取得最小值，最小值为的长，进而根据三角形的面积公式求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， 是的平分线， ，分别是和上的动点， 当重合，重合时，取得最小值，最小值为的长， ，． ，即的最小值是， 故答案为：． 题型06 角平分线的判定定理 【典例6】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，的边上有一点，，分别是和的高，连接，且．求证：是的角平分线． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查直角三角形全等的判定与角平分线的判定定理．解题关键是通过证明直角三角形全等得到对应边相等，再利用角平分线判定定理完成证明． 【详解】证明：∵，分别是和的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 【变式1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，于E，于F，若， (1)求证：AD平分； (2)已知，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，再由角平分线的判定即可得出结论； （2）由勾股定理求出，则，，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2），，， ， ， ， ， 的面积． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知：如图，在中，分别是与角平分线，与相交于点，垂足分别为M，N． (1)求证：在的角平分线上； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键： （1）过点F作，根据角平分线的性质，推出，即可； （2）证明，即可得证； 【详解】（1）证明：（1）过点F作， ∵分别是与角平分线，， ，； ， ， 在的角平分线上； （2）， ， 分别是与角平分线， ， ， ， ， ， ∴， ， 在与中 ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，、的平分线、交于点，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出． 【详解】（1）证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； （2）解：，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ． 题型07 角平分线的性质的实际应用 【典例7】（25-26八年级上·福建福州·期中）公园内三条小路两两相交，交点分别为点A，B，C，若要在区域内修建一座到三条小路的距离相等的凉亭，则凉亭的位置应建在（   ） A．的三条高线的交点 B．的三条角平分线的交点 C．的三条中线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质作图即可解答． 【详解】解：如图，分别作，和的角平分线，交于点P， 由角平分线的性质可知，点P到3条小路的距离相等． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（ ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：∵充电点到三条路的距离相等， ∴充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 【变式3】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】4处，作图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理的应用，尺规作角平分线， 作三角形内角的平分线，两条平分线交于点，点到这个三角形三边的距离相等；再作两个外角的平分线，交于点，点到这三条公路的距离相等；同理还有点，，则此题可解. 【详解】解：如图所示，一共有4处，即点，，，. 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 2．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期中）如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于点F，，，若的面积是30，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键．过作于，由角平分线的性质推出，求出，由三角形的面积公式得到的面积的面积，得，即可求出． 【详解】解：如图，过作于， ∵是的平分线，， ∴， ∵是中线，，的面积是， ∴，的面积的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，作，垂足为，根据角平分线的性质，得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：作，垂足为， ∵平分，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 4．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的角平分线，，若，，，则的长是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，三角形的高；根据角平分线的性质定理得到，再根据进行计算即可． 【详解】解：过点D作于点F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（   ） A．24 B．27 C．40 D．33 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． O点作于E，于F，连接，如图，根据角平分线的性质得，由于，所以根据三角形的面积公式可计算出的面积． 【详解】解：过O点作于E，于F，连接，如图， ∵平分， ∴， 同理可得， ∴ ， 的周长是20， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·天津河西·期中）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是 ． 【答案】35 【分析】本题主要考查角平分线的性质，能求出是解此题的关键． 如图，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作，交的延长线于E，则， ∵平分， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：35． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的角平分线，于点．若，，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据的面积求解即可． 本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示：    是的角平分线，， ， ，， ， 的面积， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，连接，若，，点是边上一动点，则长的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查点到直线垂线段最短、直角三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握点到直线垂线段最短、直角三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键；由题意易得，过点D作于点E，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即平分， 过点D作于点E，如图所示： ∴， 根据点到直线垂线段最短可知：长的最小值为3； 故答案为3． 9．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，与交于点，交于，交于，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质证得和，进而证得，过点作于点、于点、于点，证得平分，根据三角形的面积公式证得，根据等腰三角形的性质，证得垂直平分，根据和平分证得，据此判断即可． 【详解】解：与的平分线相交于点 、 、 故①正确； 过点作于点、于点、于点 平分 故②正确； 、平分 垂直平分 故③正确； 平分 故④正确， 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，平分交于点，于点，且，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握角平分线的点到两边距离相等是解题的关键． 由角平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，即，然后再根据等量代换以及线段的和差即可解答． 【详解】解：∵平分交于点，，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：12． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)的度数为； (2)． 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、角平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． （1）由垂直平分线性质得，再由，即可判定平分，进而求得的度数； （2）由垂直平分线性质得，再结合的周长为，的周长为即可得解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ， 又， 平分， ， 即的度数为； （2）解：垂直平分， ， 的周长， 的周长， ， ， 即的长为． 12．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交于点G． (1)求证：； (2)若，，，求的长， 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再证，得，推导出是的垂直平分线，则，即可解答； （2）由列式计算，求出，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）∵， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴． 答：的长为12． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，平分，于点D． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出相关角的度数，证明为等腰三角形，利用三线合一即可得出结论； （2）过点作交于点，利用含角的直角三角形的性质，得出，利用勾股定理求出，然后利用角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， ∴为等腰三角形， ， ； （2）解：如图，过点作交于点， ， ， ， 中，， ， 由勾股定理得，， 平分，且，， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 14．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，四边形中，平分；，于． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于，根据角平分线的性质可得，再证明，进而得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于， 平分， ，， ， ，即， 在和中，， ， ； （2）解：， ， 由（1）知， ， ， ， ． 15．（22-23八年级上·重庆江津·期末） （1）【感知】：如图1，点P是角平分线上一点，过点P作于点C，于点D，证明（不需要证明）． （2）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点E在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，的外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请直接写出的度数． 【答案】（2）①见解析；②，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （2）①过D作于F，则；证即可； ②根据推出，再证，得，即可； （3）过P作交延长线于H，于G，于K，由题意得，，推出，得出平分，即可求解； 【详解】（2）①证明：过D作于F，如图： ∵是的平分线，， ∴， ∵，且． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：之间的数量关系为，理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：过P作交延长线于H，于G，于K，如图： ∵平分 ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5.6 角平分线的性质 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1角平分线的性质定理 知识清单 知识点2角平分线的判定定理 题型1根据角平分线的性质求线段长 角平分线的性质 题型2根据角平分线的性质求角度 题型3根据角平分线的性质求周长 题型精讲 题型4根据角平分线的性质求面积 题型5根据角平分线的性质求最值 题型6角平分线的判定定理 题型7角平分线性质的实际应用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边距离相等）及其逆定理，能准确表述定 理内容。 教学目标 2.会用逻辑推理证明定理，能运用定理解决线段相等、角相等及实际距离相关问题。 3.经历定理探究过程，提升几何直观与推理能力，体会数学的实用性与严谨性。 1.重点 (1)理解并熟记角平分线的性质定理与逆定理，明晰定理的条件与结论。 教学重难 (2)熟练运用定理进行几何证明和计算，解决线段相等、距离求解等实际问题。 点 2.难点 (1)区分角平分线性质定理与逆定理的逻辑关系，避免定理应用混淆。 (2)复杂图形中挖掘隐含条件，构造辅助线（如作距离）运用定理解决综合问题。 知识清单 1/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点01角平分线的性质定理 性质定理 ~内容：角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等 -符号语言：若OC平分∠AOB,点P在OC上，PDLOA于D,PE⊥OB于E,则PD=PE。 -关键条件：①点在角平分线上；②垂直于角的两边（距离定义）。 【即学即练1】1.(25-26八年级上·辽宁葫芦岛期中)如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC, 交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若DE=3,BC=7,则BD的长为() D A.3 B.4 C.7 D.10 2.(25-26八年级上广东江门期中)如图，ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,BC=10,BD=6, 则点D到AB的距离是 B 知识点02角平分线的判定定理 逆定理（判定定理） ·内容：到一个角的两条边距离相等的点，在这个角的平分线上。 -符号语言：若PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,且PD=PE,则点P在∠AOB的平分线上。 -作用：判定点的位置（是否在角平分线上）。 【即学即练2】3.(25-26八年级上·江苏南通·阶段练习)如图，ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角 ∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=36°，则∠BAC= D 4.(25-26八年级上·云南昆明·期中)如图，在ABC中，D为BC边上的一点且BD=DC，过点D作 DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF,求证：∠BAD=∠CAD. 2/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B D 题型精讲 题型01根据角平分线的性质求线段长 【典例1】(25-26八年级上山西朔州期中)如图，已知OP平分∠A0B,PC1OA于点C,PD⊥OB于点 D,若PC=6cm,则PD的长为() A D d D B A.6cm B.5cm C.4cm D.3cm 【变式1】(25-26八年级上·吉林长春·月考)如图，BD是ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E, ABC的面积为20，AB=12,DE=2,则BC的长为() D B A.10 B.9 C.8 D.6 【变式2】(25-26八年级上·浙江温州·期中)如图，已知D为ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD, ∠A=∠ABD,若AC=9,，BC=6,则BD的长为一· B D 3/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级上·北京·期中)如图，AD平分∠CAE,DE⊥AE,DF⊥AC,垂足分别为E,F, 点B在AE上，且BD=CD. B (I)求证：BE=CF; (2)若AC=12,AB=7.5,求BE的长. 题型02根据角平分线的性质求角度 【典例2】(25-26八年级上·广西南宁.期中)如图，DA⊥AC,DE⊥BC,若AD=6cm,DE=6cm, ∠ACB=56°，则∠DCE为() D B A.28 B.34° C.36° D.569 【变式1】(25-26八年级上广东东莞期中)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，DE1AB于点E, 若DC=DE,则∠EAD的度数为() E A.22.5° B.30° C.25o D.45 【变式2】(25-26八年级上广东广州期中)如图，在ABC中，∠ADC=130°，点D在ABC内部，且到 三边的距离相等，则∠B=一 4/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级上江苏南通·期中)如图，在ABC中，AB=AC,过BC的中点D作 DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F D (I)试说明：DE=DF; (2)若∠BDE=40°，求∠BAC的度数 题型03根据角平分线的性质求周长 【典例3】(25-26八年级上·重庆渝北期中)如图，∠ABC、∠ACB的平分线BF、CF相交于点F,过点F 作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,若AB=10,AC=7,那么ADE的周长是() A.16 B.17 C.18 D.19 【变式1】(24-25七年级下·陕西西安·期末)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AC的垂直平分线分别交 BC、AC于点D和E,∠ACB的平分线交AB于点F,若AF=8,BF=I0,BCF的面积为120，则 △ABD的周长为() B A.25 B.33 C.40 D.48 【变式2】(25-26八年级上·江苏南京·期中)如图，已知ABC面积是10，OB,0C分别平分∠ABC和 ∠ACB,OD⊥BC于点D,OD=2,则ABC的周长是 5/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 【变式3】(25-26八年级上·全国课后作业)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB交 BC于点D,DE⊥AB,垂足为点E,AB=l2cm,试求aDEB的周长. 题型04根据角平分线的性质求面积 【典例4】(25-26八年级上·四川达州期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC 于点D,若105,4C=4,B=90,则△18D的面积是() B A. 300 B. 150 C.200 D. 270 7 7 【变式1】(25-26八年级上·广东珠海期中)如图Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC 于点D,DE⊥AB,若CD=n,AB=m,则△ABD的面积是(） ch B 1 A.mn B.2mn C.m+n D. 6/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上湖北黄石·期中)如图，ABC中，AD平分∠BAC,AB=4,AC=2,若 △ABD的面积等于6，则△ACD的面积为一 【变式3】(25-26八年级上·广东江门期中)ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD是ABC的角平分线， DE⊥AB于点E. E B O (I)求∠EDA的度数； (2)AB=12,AC=10,DE=5,求ABC的面积. 题型05根据角平分线的性质求最值 【典例5】(25-26八年级上·北京西城期中)如图，点C为∠A0B的平分线0D上的一点，CE⊥0B于点E ,OE=3,CE=4,F为射线OA上的一个动点，则线段CF长的最小值为() B A.3 B.4 C.5 D.不能确定 【变式1】(25-26八年级上·贵州黔南·期中)如图，在ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,AC=5, AD=3,P为线段AB上一动点，连接DP,则DP的最小值为() B A.1 B.2 C.3 D.4 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上辽宁大连期中)如图，已知∠A0B=60°，0C平分∠A0B,点P在0C上， PD⊥OA于点D,PD=3cm,点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为cm. B 【变式3】(25-26八年级上·全国期中)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=AC=6, S△4Bc=15.若P,Q分别是AD和AC上的动点，则PC+P2的最小值是 题型06角平分线的判定定理 【典例6】(25-26八年级上·陕西安康·期中)如图，ABC的边BC上有一点D,DE,DF分别是△ABD和 △ACD的高，连接AD,且AE=AF,求证：AD是ABC的角平分线 E 【变式1】(25-26八年级上广东广州期中)如图，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD, BE=CF (1)求证：AD平分∠BAC; (2)己知AC=15,DE=4,BE=3,求△AEC的面积. 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △AEC的面积=二AE.CE=二×12×9=54 【变式2】(25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中)已知：如图，在ABC中，∠B=60°，AD,CE分别是 ∠BAC与∠ACB角平分线，AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M,N. B D (I)求证：F在∠ABC的角平分线上； (2)求证：FE=FD. 【变式3】(25-26八年级上河北石家庄·期中)如图，ABC中，∠ABC、∠EAC的平分线BP、AP交于点 P,过点P作BE、BF的垂线，垂足分别为M,N, B (I)求证：点P在LACF的平分线上； (②)用等式表示AC、AM、CN的数量关系，并说明理由. 题型07角平分线的性质的实际应用 【典例7】(25-26八年级上·福建福州期中)公园内三条小路两两相交，交点分别为点A,B,C,若要在 ABC区域内修建一座到三条小路的距离相等的凉亭，则凉亭的位置应建在() A B A.ABC的三条高线的交点 B.ABC的三条角平分线的交点 C.ABC的三条中线的交点 D.ABC的三边垂直平分线的交点 【变式1】(25-26八年级上·全国·期中)王岗社区是由AB,AC,BC三条路围成的小型社区，社区准备修 建一个电动车充电点·现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在 9/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ABC ( B A.三个角的平分线的交点处 B.三条中线的交点处 C.三条高线的交点处 D,三条边的垂直平分线的交点处 【变式2】(24-25八年级下·辽宁沈阳·期中)如图，直线4,2,4表示三条公路.现要建造一个中转站P, 使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有个. h 【变式3】(23-24八年级下·全国课后作业)如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货 物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上浙江·期末)两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M,则点M一定在 () 10/14