1.1.4两条直线的平行与垂直课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 直线与圆 第1节 直线与直线方程 1.4 两条直线的平行与垂直 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、会根据斜率判断两条直线平行与垂直. 2、会根据一般式中系数的关系判断两条直线平行与垂直. 3、会根据两条直线的平行与垂直关系求解相关问题. 1、会根据斜率判断两条直线平行与垂直. 2、会根据一般式中系数的关系判断两条直线平行与垂直. 1、会根据两条直线的平行与垂直关系求解相关问题. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 2、在平面几何中，两条直线平行的判定定理是什么？ ① ② ③ 1、在平面几何中，两条直线平行的定义是什么？ 平面内两条直线没有公共点，则这两条直线平行. 同位角相等，两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 前面我们学习了直线方程，那么，怎么由方程判断两条直线是否平行呢？ 3 新 知 引 入 韦 达 x y o x y o x y o 1、上面三个图中，α1、α2分别是直线l1、l2的_____________。 2、上面三个图中均有α1=α2，则 l1_____l2. 3、当α1=α2= 时，直线l1、l2的斜率不存在； 当α1=α2≠ 时，斜率 k1= _______,斜率k2=_______,k1_____k2. 倾斜角 ∥ tanα1 tanα2 = 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 ①对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2 (其中b1≠b2)。则l1∥l2k1=k2 ②若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是 倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合。 注意：1、 2、 当斜率存在时，两直线重合k1=k2且b1=b2. 当斜率存在时，两直线相交k1≠k2 5 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1 判断下列各组直线是否平行，并说明理由：   (1) l₁:y=3x+2,l2: y=3x+1;   (2) l₁:x+2y-1=0,l₂:x+2y=0;   (3) l₁:x+2=0,l₂:2x=1, 解：因为 且 所以 //  解：由l₁,l₂的方程可知 且 所以 // 解：由 的方程可知，l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两条直线 在x轴上的截距不相同，所以 // 6 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、经过C(3,1),D(-2,0)两点的直线l1与经过点M(1,-4)且斜率为 的直线l2的位置关系为( ) A.平行 B.相交 C.重合 D.无法确定 解：∵ = = ∴ = 又∵ kMD = ≠ ∴ l1与l2不重合 ∴ l1与l2平行 A 7 典 例 引 路 柯 西 例2、 求经过点A(2,3),且平行于直线l:2x+y-1=0的直线的方程. 解：依题意可知直线l:2x+y-1=0可化为y=-2x+1.  因为所求直线平行于直线l， 所以所求直线可设为y=-2x+m 把点A(2,3)代入可得 3=-2×2+m 解得m=7  所以所求直线的方程为y=-2x+7,即2x+y-7=0. 求与直线y=kx+b平行的直线的方程时,根据两直线平行的条件可设为y=kx+m(m≠b),然后通过待定系数法,求参数m的值. 8 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、已知直线l过点(1,1)且平行于直线4x+y-8=0,则直线l的方程是(　　) A.x-4y+3=0 B.x-4y-5=0 C.4x+y+5=0 D.4x+y-5=0 解:4x+y-8=0可化为y=-4x+8 因为直线l与其平行 所以直线l的方程可设为y=-4x+m 把（1,1）代入可得：1=-4×1+m 得m=5 所以直线l的方程为y=-4x+5 即4x+y-5=0 D 9 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 对于两条不重合的直线 l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0 (1)当B1≠0且B2≠0时: l1: y = - x - l2: y = - x - l1∥l2 _____________________ _________________ _____________ (2)当B1=B2=0时， l1: x = - , l2: x = - l1∥l2 __________________ ___________________ - ≠ - A1C2≠A2C1 = ≠ 10 典 例 引 路 牛 顿 例3、已知两直线l1:x+my+6=0;l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m为何值时,直线l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合. 解 ∵直线l1:x+my+6=0, 直线l2:(m-2)x+3y+2m=0, ∴ A1=1,B1=m,C1=6, A2=m-2,B2=3,C2=2m. (1)若l1与l2相交,则A1B2-A2B1≠0,即1×3-m(m-2)≠0, 即m2-2m-3≠0,即(m-3)(m+1)≠0,即m≠3,且m≠-1. (2)若l1∥l2,则有即即 所以m=-1 (3)若l1与l2重合，则有即即 所以m=3 11 同 步 练 习 黎 曼 练3、若直线l1:x+y-2a=0与直线l2:(a2-2)x-y+2=0平行，则a=___ 解：依题意得： 解得a=-1 12 典 例 引 路 华罗庚 求与直线Ax+By+C=0平行的直线方程时,可设方程为Ax+By+m=0(m≠C),代入已知条件求出m即可. 例4、已知点A(2,2)和直线l：3x+4y-20=0，求过点A且与直线l平行的直线方程。 解：依题意，设方程为3x+4y+m=0 把点A(2,2)代入可得 3×2+4×2+m=0 解得m=-14 所以所求直线方程为3x+4y-14=0 13 同 步 练 习 陈景润 练4、 求经过点A(2,3),且平行于直线l:2x+y-1=0的直线的方程. 解：依据条件，可设所求直线的方程为. 因为所求直线经过点，所以， 解得. 所以所求直线的方程为.   14 新 知 引 入 布 丰 3、在平面几何中，两条直线垂直的定义是什么？ 平面内两条直线相交，而且它们的夹角是直角，那么这两条直线垂直. 前面我们学习了直线方程，那么，怎么由方程判断两条直线是否垂直呢？ 15 新 知 引 入 伯努利 对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, 可知 =(1,k1), =(1,k2)分别是这两条直线的一个方向向量，如图.因为两条直线l1,l2垂直的充要条件是____________ ， 所以_______________ 即 _________________ 当直线l1,l2的斜率都不存在时，l1⊥x轴，l2⊥x轴 所以l1______l2 当直线l1斜率不存在，l2的斜率为0时，l1_____l2. =0 1+k1k2=0 ∥ ⊥ 16 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 ①对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2 ②当 中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存 在的直线与x轴垂直，因此，若 则另一条直线 与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0. 17 典 例 引 路 狄利克雷 例5、判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：   (1) l₁:y=3x+2,   (2) l₁:x+2y-1=0,l₂:2x-y=0;   (3) l₁:x+2=0,l₂:2y=1. 解：设两条直线 的斜率分别为 则 因为 所以l₁⊥l₂. 解：设两条直线 的斜率分别为 则 因为 所以 解：由两个方程,可知l₁∥y轴,l₂∥x轴,所以 18 同 步 练 习 庞加莱 练5、根据下列给定的条件，判断直线l1与l2是否垂直。 （1）l1经过点A(-1,-2),B(1,2),l2经过点M(-2,-1),N(2,1) (2)l1的斜率为-10，l2经过点A(10,2),B(20,3) (3)l1:3x-6y+14=0,l2:2x+y-2=0 (4)l1:y=-3,l2:x=1 解：k1==2,k2= = ,因为k1k2=1,所以l1与l2不垂直。 解：k1=-10,k2= = ,因为k1k2=-1,所以l1⊥l2。 解：k1= ,k2=-2,因为k1k2=-1,所以l1⊥l2。 解：由方程知 l1⊥y轴，l2⊥x轴，所以l1⊥l2 19 典 例 引 路 皮 亚 诺 例6、求经过点A(2,3),且垂直于直线l:2x+y-1=0的直线的方程. 求与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线方程时,根据两直线垂直的条件可设为y= x+m(k≠0),然后通过待定系数法,求参数m的值. 解 ：依据条件，直线l的方程可化为：y=-2x+1 则所求直线的方程可设为y= x+m　　 把点代入得 3= ×2+m,解得m=4　　 所以所求直线的方程为y= x+4,即 20 同 步 练 习 莱布尼兹 练6、求经过点(-1,3),且与直线l:3x-2y-12=0垂直的直线的方程。 解：依据条件，直线l的方程可化为：y = x-6 则所求直线的方程可设为y= - x+m　　 把点代入得 3= - ×(-1)+m,解得m= 　　 所以所求直线的方程为y=- x + ,即 21 学 习 新 知 拉格朗日 对于两条不重合的直线 l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0 (1)当B1≠0且B2≠0时: l1: y = - x - l2: y = - x - l1⊥l2 __________________________ _________________ (2)当B1=0,A2=0时， l1: x = - , l2: y = - l1⊥l2 ,此时依然有：_________________________ （- ）（- ）=-1 A1A2+B1B2=0 A1A2+B1B2=0 22 典 例 引 路 傅里叶 例7、直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,求a的值. 解：∵ l1⊥l2 ∴a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0, 即a2+2a-3=0, 解得 a=1或a=-3. 23 同 步 练 习 洛必达 练7、已知直线l1:ax-y+2a=0与l2:(2a-1)x+ay+a=0互相垂直，求a的值。 解：依题意得 a(2a-1)+(-1)a=0 即2a2-2a=0 解得a=0或a=1 24 典 例 引 路 贝叶斯 求与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)垂直的直线时,可巧设方程为Bx-Ay+m=0(A,B不同时为零),然后用待定系数法,求出m. 例8、经过点A(2,2)，且垂直于直线l:3x+4y-20=0的直线的方程为 . 解：依题意，设所求直线方程为4x-3y+m=0 把A(2,2)代入可得 4×2-3×2+m=0 解得 m= - 2 所以所求直线方程为诶4x-3y-2=0 25 同 步 练 习 佩雷尔曼 练8、已知点A(2,2)和直线l：3x+4y-20=0，求过点A且与直线l垂直的直线方程。 解：依题意，设所求直线方程为4x-3y+m=0 把点A(2,2)代入可得4×2-3×2+m=0 解得m=-2 所以所求直线方程为4x-3y-2=0 26 全 课 总 结 1．两条直线平行的判断 （1）对于两条直线和， 且 （2）若直线与直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合. （3）对于任意两条直线和，l1∥l2 2．两条直线垂直的判断 （1）对于两条不重合的直线和， （2）特殊地，当中有一条直线的斜率不存在，且另一条直线的斜率为0时. （3）对于任意两条直线和，l1⊥l2A1A2+B1B2=0 27 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 28 $