1.1.3直线的方程（第2课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线方程的两点式和截距式，通过回顾点斜式、斜截式引入，结合“两点确定一条直线”提问，引导学生用点斜式推导或斜率相等法得出两点式，搭建从旧知到新知的学习支架，明确方程适用范围等注意事项。 其亮点是融入欧几里得等数学家故事与历史背景，激发学生数学眼光中的好奇心。典例涵盖基础计算、反射光线几何应用及面积最值问题，培养数学思维的推理与运算能力。总结用表格对比方程条件、形式及适用范围，以数学语言清晰呈现，助力学生系统掌握，教师可直接用于教学提升效率。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 直线与圆 第1节 直线与直线方程 1.3 直线的方程 第2课时（共3课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握直线方程的两点式。 2、掌握直线方程的截距式。 1、根据不同的条件选择恰当的直线方程形式。 1、直线方程的两点式。 2、直线方程的截距式。 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 条件 直线方程 适用范围 点斜式 斜截式 直线上一点P(x0,y0)， 斜率为k 直线在y轴上的截距b， 斜率为k y−y0=k(x−x0) y=kx+b 斜率存在的直线 斜率存在的直线 3 新 知 引 入 韦 达 在平面几何中，我们知道两点确定一条直线。 设直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2) ,其中x1≠x2,y1≠y2 如何写出直线 l 的方程呢? 用点斜式方程来写：直线l的斜率k=, 直线l的点斜式方程为：y-y1=(x-x1)或y-y2=(x-x2) 还有其他方法么？ 4 新 知 引 入 布 丰 设Q（x,y)是直线l上任意一点。 因为直线QP1与P1P2是同一条直线， 所以它们的斜率相等。 即： _______________________, 变形可得：_____________________. Q 5 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 直线方程的两点式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2) ,其中x1≠x2,y1≠y2的直线方程 = ，称为两点式。 注意：1、 2、 3、 4、 两点式不能表示垂直于坐标轴的直线。 方程两端中，分子、分母内坐标的顺序。也可写成：= 方程左端都是纵坐标，右端都是横坐标。 当x1=x2时，直线方程为x=x1. 当y1=y2时，直线方程为y=y1. 6 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 1、直线方程的两点式为： = ，其中x1≠x2,y1≠y2，此方程能表示直线上所有的点。该方程有不同的变形形式： ① = ② = ③(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1) 2、直线方程的两点式为： = ，其中x1≠x2,y1≠y2，此方程能表示直线上所有的点。该方程有不同的变形形式： ① = ② = ③(y-y2)(x1-x2)=(x-x2)(y1-y2) P(x1,y1) P(x2,y2) P(x1,y1) P(x2,y2) P(x1,y1) P(x2,y2) P(x1,y1) P(x2,y2) P(x1,y1) P(x2,y2) P(x1,y1) P(x2,y2) 7 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、已知△ABC的三个顶点为A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三条边所在直线的方程。 解：依题意得 直线AB:x=2 直线BC: = ,化简得：y= - x+3 直线AC: = ,化简得：y=x-3 8 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、过（1,1），（2，-1）两点的直线方程为( ) A. y=2x-1 B. y=x+ C.y=-2x+3 D.y= - x+ 解：直线的两点式方程为：= 整理得y=-2x+3 C 9 典 例 引 路 牛 顿 例2、经过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线方程可以表示为（        ） A. = B. = C.(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1) D. y-y1=(x-x1) 解：因为x1与x2可能相等，y1与y2可能相等， 所以A、B、D都不对。 C 10 同 步 练 习 黎 曼 练2、过点(1,2),(5,3)的直线方程是（     ） A. = B. = C. = D. = B 11 典 例 引 路 狄利克雷 例3、已知直线l的两点式方程为=,则直线l的倾斜角为____. 解：由直线l的两点式方程可知，直线l经过(-1,0),(-4,). 设直线l的倾斜角为α， 则tanα== - 又因为0≤α＜π 所以α= 12 同 步 练 习 庞加莱 练3、已知直线l的两点式方程为=,则l的斜率为____ 解：由方程可知，直线l过点（0，-3），（-3,2） 所以直线l的斜率为= - 13 典 例 引 路 皮 亚 诺 例4、一束光线从点M(3,2)射到x轴上，经反射后反射光线与y轴交于点N(0,4)，则反射光线所在直线的方程为（     ） A．x+2y-2=0 B．2x+y-4=0 C．x+y-4=0 D．2x+3y-12=0 解：点M(3,2)关于x轴的对称点为A（3，-2） 直线AN即为反射光线，其方程为 = 化简得2x+y-4=0 B 14 同 步 练 习 洛必达 练4、已知入射光线经过点P(3,1)被x轴反射后，反射光线经过点Q(0,2)，则入射光线所在直线方程为______________. 解：点Q(0,2)关于x轴的对称点为M（0，-2） 则直线PM即为入射光线，其方程为 = 化简得x-y-2=0 15 新 知 引 入 伯努利 已知直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0,b)其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程. a称为直线l的___________________ b称为直线l的___________________ 将A(a,0),B(0,b)代入两点式得: _____________________ 即: ____________________ 横截距 纵截距 16 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 直线方程的截距式 形如 + =1（ab≠0)的直线方程称为截距式。 注意：1、 2、 3、 4、 a是直线的横截距，b是直线的纵截距。 截距式是两点式的特例。 截距式不能表示与坐标轴垂直的直线，也不能表示过原点的直线。 方程的左端两项用+号连接，方程的右端是1，不是0. 17 典 例 引 路 柯 西 例5、求过点（4,3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程。 解：设直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b. ①当a=b=0时，直线过原点，且过（4，-3）， ∴直线方程为3x+4y=0 ②当ab≠0,且a=b时，设l的方程为 + =1 ∴ + = 1,∴a=1 ∴直线的方程为x+y-1=0 ③当ab≠0,且b=-a时，设l的方程为+=1 ∴ + = 1,∴a=7, ∴直线的方程为y=x-7 综上所述，直线方程为y=-x+1或y=x-7或y= - x 18 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练5、求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程。 解：（1）当直线l在坐标轴上的截距均为0时 直线l的方程为y=x （2）当直线l在坐标轴上的截距均不为0时， 设l的方程为+=1 ∴ + =1 ∴ a = ∴直线l的方程为x+2y-9=0 综上所述，直线l的方程为为2x-5y=0或x+2y-9=0 19 典 例 引 路 华罗庚 例6、已知直线l经过点P(1,2)，与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 解：不妨设直线l分别交x、y轴于点A(a,0),B(0,b)，则a＞0,b＞0， 则直线l的方程为 + = 1 ∵直线l经过点P(1,2) ∴ + =1 ∴1= + ≥2 = ∴ab≥8 ∴S△OAB = ab≥4 当且仅当即时，等号成立 所以△OAB的面积的最小值为4. C 20 同 步 练 习 陈景润 练6、若直线l：+=1（a＞0,b＞0）经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，=________ 解：依题意得 + = 1 则a+b=(a+b)(+)=3++≥3+2=3+2 当且仅当即b=a=2+时，等号成立 此时 = 21 全 课 总 结 条件 直线方程 适用范围 两点式 两点P1(x1,y1),P2(x2,y2) x1≠x2,y1≠y2 = 不能表示垂直于坐标轴的直线 截距式 横截距a,纵截距b ab≠0 +=1 不能表示与坐标轴垂直的直线，也不能表示过原点的直线 22 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $