专题1.3 直线的方程（高效培优讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册

专题1.3 直线的方程 教学目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式和一般式；. 3.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程来表示； 4.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围． 教学重难点 1.重点 (1)几种直线方程的灵活选用； (2)直线方程的应用． 2.难点 (1)能根据实际情况选择正确的直线方程； (2)理解“截距”与“距离”的区别． 知识点01 直线方程的点斜式（重点） 1.直线的方程 一般地,如果一条直线l上 的坐标(x,y)都满足一个方程,满足该方程的 (x,y)所确定的点都在直线l上,我们就把这个方程称为直线l的方程. 2.直线方程的点斜式 (1)直线l经过点P(x0,y0),且斜率是k,则直线l的方程是 .这个方程是由直线上的一点和斜率(一个方向)所确定的,称为直线方程的点斜式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是 ；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是 . 【知识剖析】 直线方程的点斜式的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程. 【即学即练】 1.求满足下列条件的直线方程的点斜式. (1)过点P(-4,3),斜率k=-3; (2)过点P(3,-4),且与x轴平行; (3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.[3] 知识点02 直线方程的斜截式（重点） 1.直线在x,y轴上的截距 (1)直线l与x轴的交点(a,0)的 叫作直线l在x轴上的截距,简称横截距. (2)直线l与y轴的交点(0,b)的 叫作直线l在y轴上的截距,简称纵截距. 　　2.直线的斜截式方程 如果直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),代入直线方程的点斜式,得y-b=k(x-0),即 ,此方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,所以叫作直线方程的斜截式. 【知识剖析】 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 【即学即练】 1．根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2; (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 知识点03 直线方程的两点式（重点） 1.直线方程的两点式 经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程为 ,我们把这个方程称为直线方程的两点式. 2.平行于坐标轴的直线方程 (1)若x1=x2,y1≠y2,则P1P2与x轴垂直,此时直线l的方程为 ; (2)若y1=y2,x1≠x2,则P1P2与y轴垂直,此时直线l的方程为 . 【知识剖析】 (1)两点式方程与这两个点的顺序无关． (2)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 (3)把直线的两点式方程化为，则该方程表示过平面内任意不同两点，的直线． 【即学即练】 1．求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 2.已知直线的两点式为，则（ ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 知识点04 直线方程的截距式（重点） 1.直线方程的截距式 若直线l经过两点(a,0),(0,b)(其中a≠0,b≠0),则直线l的方程为 ,此方程称为直线方程的截距式. 2.直线方程截距式与两点式间的关系 直线方程的截距式是两点式的特例，所取的两点恰好是直线与坐标轴的交点. 【知识剖析】 (1)截距式中,x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距,故由方程便可直接读出直线在两坐标轴上的截距. (2)当直线的斜率不存在或斜率为0或直线经过原点时，直线方程不能用截距式表示. 【即学即练】 1．过、两点的直线方程是（ ） A． B． C． D． 2．直线在轴上的截距为（ ） A． B． C．2 D．4 知识点05 直线方程的一般式（重点） 1.直线方程的一般式 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是关于x,y的二元一次方程. 我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B 0)叫作直线方程的一般式. 2.直线方程的一般式的书写格式 (1)对于直线方程的一般式,有如下约定:一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列;x项的系数一般为正;x项、y项的系数和常数项一般不出现分数. (2)直线方程的其他形式都可以化成一般式,因此在解题时,如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式. 【知识剖析】 (1) 方程Ax+By+C=0表示直线的条件是：A,B不同时为0,即A2+B2≠0. (2) 直线方程的一般式能够表示平面上的所有直线,而点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都不能表示与x轴垂直的直线. 【即学即练】 1.直线3x－2y－4＝0在x轴、y轴上的截距分别是(　　) A.，－ B.， C.，－2 D.，－2 2.直线2x-3y+6=0与x轴的交点是A,与y轴的交点是B,O是坐标原点,则△AOB的面积是(　　) A.6 B.3 C.12 D.2 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 知识点06 直线方程的点法式（拓展点） 1.直线的法向量 与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量. 2.直线方程的点法式 已知直线 <m></m> 经过 <m></m> ,且它的一个法向量为 <m></m> ,称 </m> 为直线方程的点法式. 【即学即练】 1.（24-25高二下·上海·期中）已知向量为直线的一个法向量，则a的值为 ． 2.写出直线l:2x-y-1=0的一个法向量a=　　　　.  知识点07 过定点的直线系（拓展点） 直线过定点P0(x0,y0)时,我们可设直线的方程为 ，由此方程可知,k取不同的值时,它就表示不同的直线,且每一条直线都经过定点P0(x0,y0),当k取遍所允许的每一个值时,这个方程就表示经过定点P0的许多直线,所以把这个方程叫做过定点P0的直线系方程. 由于过点P0(x0,y0)且与x轴垂直的直线不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直线系y-y0=k(x-x0)(k∈R)中没有直线 【即学即练】 1.方程y=k(x-1)(k表示 A.过点(－1,0)的一切直线 B.过点(1,0)的一切直线 C.过点（1，0）且不垂直于x轴的一切直线 D.过点(1,0)且除x轴外的一切直线 2.已知直线l:y=kx+2k+1.求证:直线l过定点. 题型01 利用点斜式求直线方程 【典例】已知直线l经过点P(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l的方程. 求直线的点斜式方程的步骤及注意点： (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 【变式1】（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·安徽·阶段练习）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 题型02 利用斜截式求直线方程 【典例】求斜率为,且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l的方程； 求直线的斜截式方程的方法： (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 【变式1】（2017·全国·高考真题）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式2】设直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的，且与y轴的交点到x轴的距离是3，则直线l的方程是____________________． 题型03 利用两点式求直线方程 【典例】已知△ABC的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，若AB与y轴交于点E，BC与x轴交于点F，求直线EF的方程． (1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足直线方程的两点式的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程. (2)已知两点坐标时，也可利用这两点先出求其斜率，再利用点斜式得到直线方程. 【变式1】（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）经过点，的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型04 利用截距式求直线方程 【典例】（1）求过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程; (2)求过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程. 求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程常设为＋＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值． 【变式1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·山东青岛·阶段测试）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程： (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【变式3】（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最小值. 题型05 直线一般式方程的应用 【典例】设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________； (2)若直线l的斜率为1，则m＝________. 　直线方程的几种形式的转化 【变式】根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(4,2)，平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3； (4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)． 题型06 直线方程的点向式与点法式 【典例】已知ABC的三个顶点分别是A(1,1),B(-2,3),C(3,4)> （1） 求BC边上的高所在直线的方程； （2） 如图，若四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标. （1）直线方程的点向式：已知直线 <m></m> 经过 <m></m> ,且它的一个方向向量为<m>m> ,则称 <m>为直线方程的点向式，特别地，当方向向量为<m>时，直线<m></m>方程的点向式为 （2）直线方程的点法式：已知直线 <m></m> 经过 <m></m> ,且它的一个法向量为 <m></m> ,称 <m></m> 为直线方程的点法式. 【变式1】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）过点且以直线的方向向量为法向量的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·山西阳泉·期中）已知过点的直线的方向向量，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·上海徐汇·三模）直线m过点且法向量，则直线m的点法式方程为 . 题型07 根据直线方程求直线的斜率与倾斜角 【典例1】（1）已知直线的方程是，则（　　） A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为 C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为 （2）直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D． (1)将直线方程转化为斜截式，便可得到直线的斜率，从而求得倾斜角. (2)对于一般式方程，当时，其斜率为. 【变式1】（24-25高二下·浙江·开学考试）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·广东·阶段练习）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ． 题型08 直线图象的辨析 【典例】(多选)在同一直角坐标系中，下列选项能正确表示直线y＝ax与y＝x＋a的是（　　） 对于直线图象的辨析题，一般将直线方程写成斜截式，从而确定斜率及纵截距，便可结合坐标系确定直线图象. 【变式1】（24-25高二·江苏·课后作业）直线可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二·陕西西安·段测）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 题型09 利用斜率、截距的几何意义解决问题 【典例】已知ab<0,bc>0，则直线ax+by=c通过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 判断一条直线过象限问题,一般将直线方程化为斜截式,再据此作出直线,由图确定直线所过象限. 【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 题型10 利用直线方程求参数的值或取值范围 【典例】（1）若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是（　　） A．a>1 B．0<a<1 C．a＝1 D．0<a<1或a>1 （2）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （3）直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________． 一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式1】（2025浙江杭州高二上联考）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025河南郑州高二上联考）已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 . 题型11 中心直线系过定点问题 【典例】求证:无论m为何值,直线l:y=(m-1)x+2m+1总过第二象限. 中心直线系过象限问题实质是中心直线系过定点问题，即要证中心直线系过哪个象限，只需证明中心直线系所过的定点在该象限内. 【变式1】已知直线l:y=ax-+ (1)求证:无论a为何值,直线l总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围. 【变式2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 题型12 与直线有关的数学文化题 【典例】（24-25高二上·湖南长沙·期中）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 与直线有关的数学文化题常以新定义的形式出现，求解的关键是认真审题，读懂新定义，再利用新的信息解决问题. 【变式】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·开学考试）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 题型13 直线方程在实际生活中的应用 【典例】如图,某小区内有一块荒地ABCDE,现欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发,问如何设计才能使开发部分的面积最大?最大面积是多少?(已知BC=210m,CD=240m,DE=300m,EA=180m) 坐标法解决直线方程的实际应用问题的基本步骤 (1)认真审题,将实际问题转化为平面几何问题; (2)建立平面直角坐标系,将平面图形中的点用坐标表示、直线用方程表示. (3)借助方程及直线间的位置关系解决问题. 【变式1】（24-25高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】在路边安装路灯,路宽23m,灯杆长2.5m,且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h约为多少时,灯罩轴线正好与道路路面的中线相交?(精确到0.01m) 1、 单选题 1．（24-25高二上·湖南怀化·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东清远·阶段练习）直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知直线的一般式方程为，则（    ） A．直线的截距式方程为 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜截式方程为 D．直线的斜截式方程为 4．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知直线，则l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·云南·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河北保定·开学考试）已知为非零实数，且满足，则一次函数的图象一定经过第（      ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 8．（24-25高二上·山西·阶段练习）直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（   ） A．     B．2 C．3 D．4 2、 多选题 9．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 10. （23-24高二上·甘肃白银·期中）下列说法错误的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．经过点且斜率为的直线方程为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．直线x=1的斜率为0 11．（24-25高二上·湖北·阶段练习）下列说法不正确的有（ ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．直线在轴上的截距是3 三、填空题 12.（24-25高二上·广东东莞·期末）已知直线过点，且其方向向量，则直线的一般式方程为 13.（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 14．（24-25高二下·天津·期中）若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为 . 3、 解答题 15．（2026高三·全国·专题练习）求符合下列条件的直线方程． (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 16.（24-25高三上·云南文山·期末）已知直线． (1)求恒过的定点的坐标； (2)若经过点，求直线的方程． 17．已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当取最大值时求直线l的方程. 18.（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 19.（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 直线的方程 教学目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式和一般式；. 3.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程来表示； 4.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围． 教学重难点 1.重点 (1)几种直线方程的灵活选用； (2)直线方程的应用． 2.难点 (1)能根据实际情况选择正确的直线方程； (2)理解“截距”与“距离”的区别． 知识点01 直线方程的点斜式（重点） 1.直线的方程 一般地,如果一条直线l上任一点的坐标(x,y)都满足一个方程,满足该方程的每一个数对(x,y)所确定的点都在直线l上,我们就把这个方程称为直线l的方程. 2.直线方程的点斜式 (1)直线l经过点P(x0,y0),且斜率是k,则直线l的方程是y-y0=k(x-x0).这个方程是由直线上的一点和斜率(一个方向)所确定的,称为直线方程的点斜式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 【知识剖析】 直线方程的点斜式的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程. 【即学即练】 1.求满足下列条件的直线方程的点斜式. (1)过点P(-4,3),斜率k=-3; (2)过点P(3,-4),且与x轴平行; (3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.[3] 【解析】(1)∵直线过点P(-4,3),斜率k=-3, ∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y-3=-3(x+4). (2)与x轴平行的直线,其斜率k=0, 由直线方程的点斜式可得直线方程为y-(-4)=0×(x-3). (3)过点P(-2,3),Q(5,-4)的直线的斜率kPQ===-1. 又∵直线过点P(-2,3),∴直线方程的点斜式为y-3=-(x+2). 知识点02 直线方程的斜截式（重点） 1.直线在x,y轴上的截距 (1)直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫作直线l在x轴上的截距,简称横截距. (2)直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距,简称纵截距. 　　2.直线的斜截式方程 如果直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),代入直线方程的点斜式,得y-b=k(x-0),即y=kx+b,此方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,所以叫作直线方程的斜截式. 【知识剖析】 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 【即学即练】 1．根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2; (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【解析】(1)由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为y=2x+5. (2)∵倾斜角为150°,∴斜率k=tan 150°=-. 由斜截式可得直线方程为y=-x-2. (3)∵直线的倾斜角为60°,∴其斜率k=tan 60°=, ∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3, ∴直线在y轴上的截距b=3或b=-3. ∴所求直线方程为y=x+3或y=x-3. 知识点03 直线方程的两点式（重点） 1.直线方程的两点式 经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程为,我们把这个方程称为直线方程的两点式. 2.平行于坐标轴的直线方程 (1)若x1=x2,y1≠y2,则P1P2与x轴垂直,此时直线l的方程为x=x1; (2)若y1=y2,x1≠x2,则P1P2与y轴垂直,此时直线l的方程为y=y1. 【知识剖析】 (1)两点式方程与这两个点的顺序无关． (2)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 (3)把直线的两点式方程化为，则该方程表示过平面内任意不同两点，的直线． 【即学即练】 1．求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【答案】(1)；(2). 【分析】由直线两点式方程的定义即可得解. 【解析】（1）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为； （2）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为 2.已知直线的两点式为，则（ ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【解析】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 知识点04 直线方程的截距式（重点） 1.直线方程的截距式 若直线l经过两点(a,0),(0,b)(其中a≠0,b≠0),则直线l的方程为,此方程称为直线方程的截距式. 2.直线方程截距式与两点式间的关系 直线方程的截距式是两点式的特例，所取的两点恰好是直线与坐标轴的交点. 【知识剖析】 (1)截距式中,x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距,故由方程便可直接读出直线在两坐标轴上的截距. (2)当直线的斜率不存在或斜率为0或直线经过原点时，直线方程不能用截距式表示. 【即学即练】 1．过、两点的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由截距式得到直线方程. 【解析】由截距式可得直线方程为，A正确，BCD错误. 故选：A 2．直线在轴上的截距为（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据直线的截距式方程即可求解. 【解析】由可得，所以在轴上的截距为， 故选：B 知识点05 直线方程的一般式（重点） 1.直线方程的一般式 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是关于x,y的二元一次方程. 我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线方程的一般式. 2.直线方程的一般式的书写格式 (1)对于直线方程的一般式,有如下约定:一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列;x项的系数一般为正;x项、y项的系数和常数项一般不出现分数. (2)直线方程的其他形式都可以化成一般式,因此在解题时,如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式. 【知识剖析】 (1) 方程Ax+By+C=0表示直线的条件是：A,B不同时为0,即A2+B2≠0. (2) 直线方程的一般式能够表示平面上的所有直线,而点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都不能表示与x轴垂直的直线. 【即学即练】 1.直线3x－2y－4＝0在x轴、y轴上的截距分别是(　　) A.，－ B.， C.，－2 D.，－2 【答案】D 【解析】将3x－2y－4＝0化成截距式为＋＝1，故该直线在x轴、y轴上的截距分别是，－2. 2.直线2x-3y+6=0与x轴的交点是A,与y轴的交点是B,O是坐标原点,则△AOB的面积是(　　) A.6 B.3 C.12 D.2 【答案】B 【解析】根据题意,把y=0代入方程2x-3y+6=0可得x=-3,∴A(-3,0);把x=0代入方程2x-3y+6=0可得y=2,∴B(0,2),∴△AOB的面积为×3×2=3. 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【解析】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 知识点06 直线方程的点法式（拓展点） 1.直线的法向量 与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量. 2.直线方程的点法式 已知直线 <m></m> 经过 <m></m> ,且它的一个法向量为 <m></m> ,称 A为直线方程的点法式. 【即学即练】 1.（24-25高二下·上海·期中）已知向量为直线的一个法向量，则a的值为 ． 【答案】976 【分析】根据直线法向量定义计算求参. 【解析】因为向量为直线的一个法向量， 则，所以. 2.写出直线l:2x-y-1=0的一个法向量a=　　　　.  【答案】(2,-1)(答案不唯一) 【解析】因为直线l:Ax+By+C=0,法向量为(A,B)或(-A,-B),所以2x-y-1=0的法向量为(2,-1). 知识点07 过定点的直线系（拓展点） 直线过定点P0(x0,y0)时,我们可设直线的方程为y-y0=k(x-x0).由此方程可知,k取不同的值时,它就表示不同的直线,且每一条直线都经过定点P0(x0,y0),当k取遍所允许的每一个值时,这个方程就表示经过定点P0的许多直线,所以把这个方程叫做过定点P0的直线系方程. 由于过点P0(x0,y0)且与x轴垂直的直线不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直线系y-y0=k(x-x0)(k∈R)中没有直线x=x0. 【即学即练】 1.方程y=k(x-1)(k表示 A.过点(－1,0)的一切直线 B.过点(1,0)的一切直线 C.过点（1，0）且不垂直于x轴的一切直线 D.过点(1,0)且除x轴外的一切直线 【答案】C 【解析】直线方程的点斜式y=k(x-1)表示经过点(1,0)且斜率为k的直线,显然不垂直于x轴. 2.已知直线l:y=kx+2k+1.求证:直线l过定点. 【分析】显然,直线l的斜率存在,则可把直线方程化为点斜式y-y0=k(x-x0)的形式,无论直线的斜率k取何值,直线都过定点(x0,y0);此外，此题也可取两条特殊直线，求出其交点，再证明该点在直线l上. 【证明】方法一:由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2). 由直线的点斜式方程可知,直线过定点(-2,1). 方法二：令k=0,得y=1; 令k=1,得y=x-3,联立得解得x=-2，y=1, 因为点(-2,1)的坐标是方程y=kx+2k+1的解, 所以直线l过定点(-2,1) 令k=1,得y=x-3,联立得解得x=-2，y=1, 因为点(-2,1)的坐标是方程y=kx+2k+1的解, 所以直线l过定点(-2,1). 题型01 利用点斜式求直线方程 【典例】已知直线l经过点P(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l的方程. 【分析】由题意可知直线l过点P,且直线l的斜率一定存在,故可将直线方程设为点斜式. 【解析】显然,直线l与两坐标轴不垂直,否则不围成三角形,设其斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y-3=k(x+2),令x=0,得y=2k+3,令y=0,得x=--2, 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为|2k+3|·=4,[3] 即(2k+3)=±8. 若(2k+3)=8,则整理得4k2+4k+9=0,无解; 若(2k+3)=-8,则整理得4k2+20k+9=0,解得k=-或k=-. 所以直线l的方程为y-3=-(x+2)或y-3=-(x+2). 求直线的点斜式方程的步骤及注意点： (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 【变式1】（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【解析】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 【变式2】（24-25高二下·安徽·阶段练习）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程. 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即， 故选：A． 【变式3】（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【解析】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 题型02 利用斜截式求直线方程 【典例】求斜率为,且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l的方程； 【分析】考虑到直线的斜率已知，故可将直线方程设为斜截式. 【解析】设直线L的方程为 令x=0得y=b；令y=0得. ∴，∴b=±4, ∴直线L的方程为. 求直线的斜截式方程的方法： (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 【变式1】（2017·全国·高考真题）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设直线为，代入得，表示出所围成封闭图形面积为，进而结合基本不等式求解即可. 【解析】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成封闭图形面积的最小值为4. 故选：C. 【变式2】设直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的，且与y轴的交点到x轴的距离是3，则直线l的方程是____________________． 【答案】y＝x±3 【解析】y＝x＋1的倾斜角为60°，则l的倾斜角为30°，故斜率为tan 30°＝. 由题意知，l在y轴上的截距为±3， ∴直线l的方程为y＝x±3. 题型03 利用两点式求直线方程 【典例】已知△ABC的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，若AB与y轴交于点E，BC与x轴交于点F，求直线EF的方程． 【解析】直线AB过A(－5,0)，B(3，－3)两点， 由两点式得＝， 整理得3x＋8y＋15＝0. 令x＝0，得y＝－， ∴E. 直线BC过B(3，－3)，C(0,2)两点， 由两点式得＝， 整理得5x＋3y－6＝0. 令y＝0，得x＝， ∴F. 由截距式方程得＋＝1， 整理得25x－16y－30＝0. ∴直线EF的方程为25x－16y－30＝0. (1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足直线方程的两点式的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程. (2)已知两点坐标时，也可利用这两点先出求其斜率，再利用点斜式得到直线方程. 【变式1】（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）经过点，的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的两点式方程求解即可； 【解析】由题意得，整理得． 故选：A． 【变式2】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得中点的坐标，然后根据两点式求得边上的中线所在直线的方程. 【解析】的中点坐标为， 所以边上的中线所在直线的方程为， 整理得. 故选：B 题型04 利用截距式求直线方程 【典例】（1）求过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程; (2)求过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程. 【分析】(1)思路一：考虑到直线的斜率一定存在,故可将直线方程设为点斜式;思路二:可分截距为0和不为0讨论,当截距不为0时,可将直线方程设为截距式；（2）设出直线方程的截距式，利用截距求面积. 【解析】（1） 解法一(点斜式):设直线方程为y-3=k(x-2)(k≠0), 令x=0,得y=3-2k,令y=0,得x=-+2. 依题意得3-2k=-+2,解得k=-1或k=. 故所求的直线方程为x+y=5或3x-2y=0. 解法二(截距式):（i）当两轴上的截距都是0时,直线方程为3x-2y=0,符合题意.[7] (ii)当截距不为0时,可设直线方程为+=1, 将点P(2,3)代入得+=1,解得a=5, ∴直线方程为+=1,即x+y=5. 综上,所求直线方程为x+y=5或3x-2y=0. (2)设所求的直线方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6， 因此有解得a＝2，b＝6， 故所求直线的方程为3x＋y－6＝0. 求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程常设为＋＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值． 【变式1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【解析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·山东青岛·阶段测试）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程： (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【分析】（1）设出直线的截距式方程，根据三角形周长和得到方程组，求出，求出答案； （2）设出直线的截距式方程，根据三角形面积和得到方程组，求出，求出答案 【解析】（1）设直线方程为， 由题意可知，．① 又因为直线过点， 所以，② 由①②可得， 解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． （2）设直线方程为， 由题意可知解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． 【变式3】（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最小值. 【分析】（1）设直线截距式为，可得，，进而结合列方程组求解即可； （2）设直线截距式为，代入点得到，利用基本不等式即可求出面积最小值. 【解析】（1）设直线的方程为，则，， 所以， 由，得，解得， 所以直线的方程为，即. （2）设直线的方程为， 将点代入得，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，. 所以的面积最小值为12. 题型05 直线一般式方程的应用 【典例】设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________； (2)若直线l的斜率为1，则m＝________. 【答案】(1)－；(2)－2 【解析】(1)令y＝0，则x＝， ∴＝－3，得m＝－或m＝3. 当m＝3时，m2－2m－3＝0，不合题意，舍去． ∴m＝－. (2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠－1且m≠， 由直线l化为斜截式方程，得 y＝x＋， 则＝1， 得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2. 　直线方程的几种形式的转化 【变式】根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(4,2)，平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3； (4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)． 【解析】(1)由点斜式方程，得y－(－2)＝－(x－8)， 即x＋2y－4＝0. (2)由斜截式方程，得y＝2，即y－2＝0. (3)由截距式方程，得＋＝1，即2x－y－3＝0. (4)由两点式方程，得＝， 即x＋y－1＝0. 题型06 直线方程的点向式与点法式 【典例】已知ABC的三个顶点分别是A(1,1),B(-2,3),C(3,4)> （1） 求BC边上的高所在直线的方程； （2） 如图，若四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标. 【解析】（1）<m></m> ， <m></m> , <m></m> 边上的高所在直线的一个法向量为<m></m> ， 又直线过点 <m></m> , ∴由直线方程的点法式得所求直线的方程为<m></m> , 即 <m></m> . （2）设点D的坐标为<m></m> ， ∵四边形 <m></m> 是平行四边形， <m></m> ， ∴ <m></m> 解得 <m></m> <m></m> . （1）直线方程的点向式：已知直线 <m></m> 经过 <m></m> ,且它的一个方向向量为<m>m> ,则称 <m>为直线方程的点向式，特别地，当方向向量为<m>时，直线<m></m>方程的点向式为 （2）直线方程的点法式：已知直线 <m></m> 经过 <m></m> ,且它的一个法向量为 <m></m> ,称 <m></m> 为直线方程的点法式. 【变式1】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）过点且以直线的方向向量为法向量的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设所求直线为，由点在直线上求参数，即可得方程. 【解析】由题设，所求直线与垂直，可设所求直线为， 又在上，则，得， 所以，所求直线为. 故选：A 【变式2】（23-24高二上·山西阳泉·期中）已知过点的直线的方向向量，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的方向向量得直线的斜率，斜截式得直线方程. 【解析】直线的方向向量，则的斜率为， 又直线过点，的方程为，即. 故选：B 【变式3】（2025·上海徐汇·三模）直线m过点且法向量，则直线m的点法式方程为 . 【答案】 【分析】根据直线所过的点及法向量写出点法式方程即可. 【解析】由题设，直线m的点法式方程为. 题型07 根据直线方程求直线的斜率与倾斜角 【典例1】（1）已知直线的方程是，则（　　） A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为 C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为 （2）直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 【答案】（1）D；（2）A 【解析】（1）直线的方程可化为， 所以直线过定点，斜率为． （2） 直线的斜率，则该直线的倾斜角.故选：A (1)将直线方程转化为斜截式，便可得到直线的斜率，从而求得倾斜角. (2)对于一般式方程，当时，其斜率为. 【变式1】（24-25高二下·浙江·开学考试）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系得出结果. 【解析】由题意知，， 所以直线的斜率为，即（为直线倾斜角）， 由，解得. 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·广东·阶段练习）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化为斜截式得解. 【解析】依题意，直线，故其斜率为. 故选：A. 【变式3】已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线倾斜角的大小. 【解析】由直线经过点，可得，解之得， 设直线倾斜角为，则， 又，则 则直线倾斜角的大小为 题型08 直线图象的辨析 【典例】(多选)在同一直角坐标系中，下列选项能正确表示直线y＝ax与y＝x＋a的是（　　） 【答案】BC 【分析】由两直线的解析式可得两直线的斜率和纵截距，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【解析】①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，B成立； ②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，A，B，C，D都不成立； ③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距a<0，C成立． 故选：BC 对于直线图象的辨析题，一般将直线方程写成斜截式，从而确定斜率及纵截距，便可结合坐标系确定直线图象. 【变式1】（24-25高二·江苏·课后作业）直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果． 【解析】因为，所以A C错； 当时，，故B对； 故选：B 【变式2】（24-25高二·陕西西安·段测）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【解析】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 题型09 利用斜率、截距的几何意义解决问题 【典例】已知ab<0,bc>0，则直线ax+by=c通过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】A 【解析】将直线方程化为斜截式得其中 可画出图形，如图所示，直线的斜率为正数，在y轴上的截距为正数，显然直线经过第一、二、三象限. 故选A. 判断一条直线过象限问题,一般将直线方程化为斜截式,再据此作出直线,由图确定直线所过象限. 【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】作出直线的图象，可得出结论. 【解析】作出直线的图象如下图所示： 由图可知，直线不过第三象限. 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【解析】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 题型10 利用直线方程求参数的值或取值范围 【典例】（1）若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是（　　） A．a>1 B．0<a<1 C．a＝1 D．0<a<1或a>1 （2）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （3）直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________． 【答案】（1）A；（2）A;（3）(－∞，－1]∪[1，＋∞)； 【分析】(1)注意对参数的分类讨论，在同一坐标系中作两条曲线，确定一条，判断另一条． （2）由直线恒过定点，分别计算，结合图象即可得的范围. (3)在求面积时，要将截距转化为距离． 【解析】（1）y＝x＋a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a>0)的直线，y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线．所以当0<a≤1时，只有一个公共点，如图①；当a>1时，有两个公共点，如图②； （2）直线经过定点，如图所示， 则， 因为直线与线段相交， 所以由图可知. （3）令x＝0，得y＝k.令y＝0，得x＝－2k. 所以|k|·|－2k|≥1，即k2≥1. 所以k≤－1或k≥1. 一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式1】（2025浙江杭州高二上联考）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线方程，求得其在在轴上的截距，建立不等式，解出即可. 【解析】设直线的斜率为， 则直线方程为， 令，得， 故直线在轴上的截距为， 令， 得或者， 故选： 【变式2】（2025河南郑州高二上联考）已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由直线恒过定点，分别计算，，结合图象即可得的范围. 【解析】直线，过定点， 则， 直线和以为端点的线段相交， 由图可知，或， 所以实数的取值范围为. 题型11 中心直线系过定点问题 【典例】求证:无论m为何值,直线l:y=(m-1)x+2m+1总过第二象限. 【分析】易知动直线l过一定点，证明该定点在第二象限，则直线l必过第二象限. 【证明】证法一:直线l的方程可化为y-3=(m-1)(x+2), ∴直线l过定点(-2,3), 由于点(-2,3)在第二象限,故直线l总过第二象限. 证法二:直线l的方程可化为m(x+2)-(x+y-1)=0. 令解得 ∴无论m取何值,直线l总经过点(-2,3). ∵点(-2,3)在第二象限,∴直线l总过第二象限. 中心直线系过象限问题实质是中心直线系过定点问题，即要证中心直线系过哪个象限，只需证明中心直线系所过的定点在该象限内. 【变式1】已知直线l:y=ax-+ (1)求证:无论a为何值,直线l总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围. 【解析】(1)证法一:将直线l的方程整理为y-=a,∴l的斜率为a,且过定点A, 而点A在第一象限,故无论a为何值,l恒过第一象限. 证法二:直线l的方程可化为(5x-1)a-(5y-3)=0. ∵上式对任意的a总成立, ∴必有∴ 即l过定点A. 而点A在第一象限,故无论a为何值,直线l总经过第一象限. (2)∵直线l恒过第一象限,∴要使l不经过第二象限,需它在y轴上的截距不大于零. 当x=0时,y=-,令-≤0,得a≥3. 【变式2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【解析】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 题型12 与直线有关的数学文化题 【典例】（24-25高二上·湖南长沙·期中）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求的重心和外心，结合直线的两点式方程可得欧拉线方程. 【解析】因为的顶点，，， 可知的重心为点，即点， 由题意，可知， 所以的外心为斜边的中点，即点， 所以的欧拉线方程为，即. 故选：C. 与直线有关的数学文化题常以新定义的形式出现，求解的关键是认真审题，读懂新定义，再利用新的信息解决问题. 【变式】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·开学考试）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线的方程即可. 【解析】因为的顶点，， 所以线段的中点坐标为，线段所在直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率， 则线段的垂直平分线的方程为，即， 因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上， 所以的欧拉线方程为. 故选：A. 题型13 直线方程在实际生活中的应用 【典例】如图,某小区内有一块荒地ABCDE,现欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发,问如何设计才能使开发部分的面积最大?最大面积是多少?(已知BC=210m,CD=240m,DE=300m,EA=180m) 【分析】先建立平面直角坐标系,设出点P的坐标,然后利用长方形各顶点的坐标关系表示出长方形的面积,利用函数最值的方法进行求解. 【解析】BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意知A(0,60),B(90,0),所以线段AB的方程为+=1(0≤x≤90). 在线段AB上取点P(m,n)(0≤m≤90), 作PQ⊥DE于点Q,PR⊥CD于点R, 设长方形PQDR的面积为S, 则S=|PR|·|PQ|=(300-m)·(240-n). 又+=1(0≤m≤90),所以n=60-m. 所以S=(300-m)=-m2+20m+54000=-(m-15)2+54150(0≤m≤90). 于是,当m=15,n=50时,长方形的面积取得最大值54150. 因此当点P距AE15m,距BC50m时,开发部分的面积最大,最大值为54150m2. 坐标法解决直线方程的实际应用问题的基本步骤 (1)认真审题,将实际问题转化为平面几何问题; (2)建立平面直角坐标系,将平面图形中的点用坐标表示、直线用方程表示. (3)借助方程及直线间的位置关系解决问题. 【变式1】（24-25高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点关于直线的对称点，由光学知识可得反射光线经过点，，由直线的两点式即可求解. 【解析】根据题意可得反射光线经过点，易得入射光线所在直线经过点， 因为入射光线经过点，所以入射光线所在直线的方程为， 即. 故选：. 【变式2】在路边安装路灯,路宽23m,灯杆长2.5m,且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h约为多少时,灯罩轴线正好与道路路面的中线相交?(精确到0.01m) 【解析】记灯柱顶端为B,灯罩处为A,灯杆为AB,灯罩轴线与道路路面的中线交于点C.以灯柱底端O点为坐标原点,灯柱OB所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,则点B的坐标为(0,h),点C的坐标为(11.5,0),BA=2.5. 因为∠OBA=120°,所以直线BA的倾斜角为30°,则点A的坐标为(2.5cos 30°,h+2.5sin 30°),即(1.25,h+1.25). 因为CA⊥BA,所以kCA=-=-=-. 由点斜式得直线CA的方程是y-(h+1.25)=-(x-1.25). 因为灯罩轴线CA过点C(11.5,0), 所以-(h+1.25)=-(11.5-1.25),解得h≈14.92. 故灯柱高约为14.92 m. 1、 单选题 1．（24-25高二上·湖南怀化·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直线得出斜率，再结合倾斜角及斜率的关系求出倾斜角即可. 【解析】由可得该直线的斜率，故该直线的倾斜角为， 故选:B. 2．（24-25高二上·广东清远·阶段练习）直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化直线方程为斜截式，再求出斜率. 【解析】直线，即，所以该直线的斜率为：． 故选：D 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知直线的一般式方程为，则（    ） A．直线的截距式方程为 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜截式方程为 D．直线的斜截式方程为 【答案】A 【分析】将直线方程化为截距式、斜截式即可判别. 【解析】由得， 直线的截距式方程为：，即. 直线的斜截式方程为：. 故选：A. 4．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由一次函数的性质判断 【解析】直线即，经过第一、二、四象限， 则，得， 故选：B 5．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知直线，则l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率与倾斜角的正切函数关系，根据斜率取值来确定角的范围即可. 【解析】当时，可知直线为，故倾斜角， 当时，由直线方程可知斜率， 所以，即倾斜角， 综上可知：， 故选：C. 6．（24-25高二上·云南·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的重心和外心后可得欧拉线的方程. 【解析】的重心坐标为即， 中垂线的方程为：，中垂线的方程为：， 故外心坐标为，故欧拉线的方程为：， 整理得到：， 故选：C. 7．（24-25高一上·河北保定·开学考试）已知为非零实数，且满足，则一次函数的图象一定经过第（      ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】由题意化简得到，分和，两种情况讨论，分别求得一次函数的解析式，结合直线方程的特征，即可求解. 【解析】由，可得， 分两种情况讨论： 当时，可得，此时一次函数为， 可得直线过第一、二、三象限； 当时，即，可得，此时一次函数为， 可得直线过第二、四象限， 综上所述，该直线必经过第二象限． 故选：B. 8．（24-25高二上·山西·阶段练习）直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（   ） A．     B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】确定直线斜率存在，分别令、得直线的横纵截距，求三角形面积根据面积值解方程得m，即可得结论. 【解析】由题可知，直线的斜率存在且不为0， 故，即且， 令，得；令，得；即， 所以，所以， 则或，解得或， 故解得的实数m的解有4个. 故选：D. 2、 多选题 9．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 【答案】AC 【分析】将代入直线方程可判断A；求出直线在轴上的截距可判断B；将直线方程化为斜截式可判断C；将直线方程化为截距式求出三角形的面积可判断D. 【解析】对于A，因为，所以不过原点，故A正确； 对于B，令，得，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，把化为，所以的斜率为，故C正确； 对于D，把化为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D错误. 故选：AC. 10. （23-24高二上·甘肃白银·期中）下列说法错误的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．经过点且斜率为的直线方程为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．直线x=1的斜率为0 【答案】ABD 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义判断AD，利用点斜式直线方程求解判断B，利用直线与坐标轴的围成面积求解判断C. 【解析】当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在， 所以直线的斜率不存在，所以AD错误； 对于B，过点且斜率为的直线的方程为即，错误； 对于C，对于直线，令，则，令则， 则在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以与坐标轴围成的三角形的面积为，正确. 故选：ABD 11．（24-25高二上·湖北·阶段练习）下列说法不正确的有（ ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．直线在轴上的截距是3 【答案】ABD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；根据直线的斜率公式即可判断B；分直线是否过原点讨论即可判断C；根据直线的截距式即可判断D. 【解析】对于A，当倾斜角为时，斜率为，当倾斜角为时，斜率为，故A错误； 对于B，直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误； 对于C，直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； 对于D，直线，即，故直线直线在轴上的截距是，故D错误. 故选：ABD. 三、填空题 12.（24-25高二上·广东东莞·期末）已知直线过点，且其方向向量，则直线的一般式方程为 【答案】 【分析】根据题意和直线的点方向式方程即可得出结果. 【解析】因为直线过点，且方向向量为， 由直线的点方向式方程，可得直线的方程为： ， 整理，得. 13.（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【答案】 【分析】将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点. 【解析】将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 14．（24-25高二下·天津·期中）若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为 . 【答案】 【分析】先确定直线恒过的定点，然后根据两点斜率公式及直线斜率的变化规律、直线与抛物线的位置关系，数形结合求解即可. 【解析】直线恒过点且斜率存在的动直线， 又，作出图象，如图： 易知， 由，消得到，由， 得到或（舍）（因为时，，不合题意）， 所以当时，与（或）相切， 由图可知，当时，直线与曲线有1个交点，不合题意； 当时，直线与曲线没有交点，不合题意； 当时，直线与曲线有1交点，不合题意； 当时，直线与曲线有2交点，不合题意； 当时，直线与曲线有3交点，不合题意； 设直线与曲线相切于点， 联立，消y得， 由 解得或（舍去，此时方程的根为，不合题意） 当，即时， 直线与曲线有4交点，符合题意； 当时，直线与曲线有3交点，不合题意； 当时，直线与曲线有2交点，不合题意； 综上，k的取值范围为. 3、 解答题 15．（2026高三·全国·专题练习）求符合下列条件的直线方程． (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可求解； （2）由直线的斜截式方程可设直线方程为，求与坐标轴的交点，根据面积为6即可求解； （3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，代入点即可求解； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，由题意得解出即可. 【解析】（1）所求直线过点 ，且斜率为， 直线方程为， 即． （2）设直线方程为， 令，得， 令，得， ，解得， 直线方程为， 即． （3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为， 又直线过点， ，解得， 直线方程为，即； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 16.（24-25高三上·云南文山·期末）已知直线． (1)求恒过的定点的坐标； (2)若经过点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理直线方程，得到关于实数的方程组，求解方程组即可； （2）根据直线过点，将点代入直线方程，求出，得到直线方程.. 【解析】（1）由可得， 由解得，所以直线恒过点. （2）若经过点，所以，解得 所以直线的方程为. 17．已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当取最大值时求直线l的方程. 【答案】 【分析】由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y－1＝k(x－2)，分别求出A，B点坐标，进而得到PA,PB的表达式，故，通过换元法将原式转化为二次式，进而求得,取得最值时k的值 【解析】由题意可知直线l的斜率k＜0，由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋1.令x＝0，代入方程得y＝－2k＋1，令y＝0，代入方程得x＝， ∴直线l与x轴，y轴的交点坐标分别是点A(，0  )，点B(0，－2k＋1)． ∴PA＝＝，PB＝， . 令t＝，有 (4－t)k2－4k＋1－t＝0， 故Δ＝16－4(4－t)(1－t)≥0. 解得 0≤t≤5，故t＝5时，取最大值． 此时，解得k＝－2，直线l的方程为y＝－2x－2k＋1， 即2x＋y－5＝0. 18.（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【解析】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 19.（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【解析】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $