1.1.3直线的方程（第1课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 直线与圆 第1节 直线与直线方程 1.3 直线的方程 第1课时（共3课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握直线方程的点斜式。 2、掌握直线方程的斜截式。 1、直线方程的点斜式。 2、直线方程的斜截式。 1、根据不同的条件选择恰当的直线方程形式。 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、如何确定一条直线？ ①由平面几何知识可知：_______________________； ②由平面向量知识可知：_____________________________________. ③_________________________________________________________. 两点确定一条直线 一个点与一个方向确定一条直线 一个定点和直线的斜率能唯一确定一条直线。 2、直线的倾斜角α与直线的斜率k的关系是_______________________ k = tanα = 3 新 知 引 入 韦 达 3、若直线l经过点P(0,3)，斜率为 2，点Q(x,y)是直线l上不同于点P的任意一点，你能用点P,Q的坐标来表示直线l的斜率吗？ =2 这个式子可以整理为：____________________ y=2x+3 可以验证：以方程y=2x+3的解为坐标的点都在直线l上， 直线l上所有点的坐标都满足方程y=2x+3。 所以就把方程y=2x+3叫做直线l的方程. 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 一般地,如果一条直线l每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程. 直线的方程 5 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 仿照刚才的作法。 已知直线l经过点P(x0,y0)，斜率为k，Q(x,y)是直线上除了P之外的任意一点。 则 k=__________ 整理得：___________________________ 直线l上每一点的坐标都满足方程 y-y0=k(x-x0)。 满足方程y-y0=k(x-x0)的所有点Q(x,y)都在直线l上。 所以 y-y0=k(x-x0) 就是直线l 的方程。 y-y0=k(x-x0) k= 中 x≠x0, y-y0=k(x-x0)中无此限制。 注意： 6 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 直线方程的点斜式 设直线经过点P(x0,y0)，斜率为k，则方程y-y0=k(x-x0)的方程称为直线l的点斜式方程。 注意：1、 2、 3、 4、 方程左边为y减去已知点P的纵坐标，且y的系数为1 方程右边为斜率k乘以括号，括号内是x减去已知点P的横坐标，且x的系数为1. 点斜式方程只适用于求斜率存在时的直线方程. 当直线的斜率不存在(倾斜角为90º）时，直线的方程是 x=x0 . 当k=0(倾斜角为0º）时，直线的方程是y=y0. 7 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、求出经过点P(1,2)且满足下列条件的直线的方程，并画出图像： (1)倾斜角为； (2)与x轴垂直； (3)与x轴平行。 解：y-2=tan(x-1)=(x-1) 整理得：x-y++2=0 解：x=-1 解：y=2 8 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、求满足下列条件的直线方程的点斜式： (1)过点P(-4,3),斜率k=-3 (2)过点P（3，-4），且与x轴平行 (3)过点(2,1),倾斜角为45º 解：y-3=-3[x-(-4)]=-3(x+4)=-3x-12 即：3x+y+9=0 解：y= - 4 解：y-1=tan45º(x-2)=x-2 即：x-y-1=0 9 典 例 引 路 柯 西 例2、求经过点A(-5,0)，B(3,-3)两点的直线的方程。 解：由经过两点的直线斜率公式可得： k = = - 所以该直线方程的点斜式为： y-0 = - (x+5) 即：3x+8y+15=0 10 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、求经过点P(-2,3)，Q(5,-4)两点的直线的方程。 解：由经过两点的直线斜率公式可得： k = = -1 所以该直线方程的点斜式为： y-3= -1×(x+2)= -x-2 即：x+y-1=0 11 新 知 引 入 布 丰 求经过点(0,b)，斜率为k的直线方程. 解：由直线的点斜式方程得 y-b=k(x-0)=kx 即 y=kx+b 12 学 习 新 知 拉格朗日 直线方程的斜截式 形如y=kx+b的方程称为直线方程的斜截式。 注意：1、 2、 3、 斜截式是点斜式的特例，也只适用于斜率存在的情形。 “斜截式”中的“斜”指的是斜率，“截”指的是直线的纵截距。 直线与y轴交点的纵坐标称为纵截距； 与x轴交点的横坐标称为横截距。 ①截距不是距离。距离必须是正数，而截距可以是任意实数。 ②与x轴平行的直线无纵截距；与y轴平行的直线无横截距。 ③过原点的直线横截距和纵截距都是0. 方程左端y的系数为1，右端x的系数为k，常数项为b. 13 典 例 引 路 牛 顿 例3、根据条件写出下列直线方程的斜截式： （1）斜率为2，在y轴上的截距是5； （2）倾斜角为150º,在y轴上的截距是 -2； （3）倾斜角为60º,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：y=2x+5 解：y=tan150ºx+(-2)= - x - 2 解：y=tan60ºx+(-3)=x-3或y=tan60ºx+3=x+3 14 同 步 练 习 黎 曼 练3、写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为，在y轴上的截距是-2 (2)倾斜角是135°，在y轴上的截距是3 (3)斜率为7，在y轴上的截距是0 （4）斜率为7，与y轴的交点到坐标原点的距离为2，  解：y=x-2 解：y=tan135ºx+3=-x+3 解：y=7x 解：y=7x+2或y=7x-2 15 典 例 引 路 狄利克雷 例4、已知直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,求直线l的斜截式方程. 解：∵直线3x-2y=6可化为 y= x-3,其斜率为 ∴直线l的斜率的斜率为 设直线l的方程为y=x+b 令y=0,则直线l在x轴上的截距为 -b 令x=0,则直线l在y轴上的截距为b ∴ - - b =1 ∴b = - ∴直线l的斜截式方程为 y = x- 16 同 步 练 习 庞加莱 练4、求与两坐标轴围成的三角形周长为9，且斜率为-的直线方程。 解：设直线的方程为y= - x+b 则它与两坐标轴的交点分别为(b,0)和(0,b) 由题意知： |b|+|b|+=9 解得|b|=3 所以直线得方程为y=-x+3或y=--3 17 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、无论 取何值，直线 恒过定点_ _______. 解一：方程可变形为：y=a(3x-2)+4 则当3x-2=0即x= 时，y=4 所以直线过定点（，4） 解二：令a=0,则直线方程为y=4 令a=1，则直线方程为y=3x+2 由 得 所以直线过定点（，4） 18 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、已知直线l：y=kx+2k+1 （1）求证：直线l恒过一个定点。 （2）当-3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围。 解：由y=kx+2k+1得y=k(x+2)+1 当x+2=0即x=-2时，y=1 所以直线l恒过定点（-2，1） 解：依题意得 即 解得：- ≤k≤1 所以k的取值范围是[-,1] 19 典 例 引 路 华罗庚 例6、已知过点P(2,1)的直线l分别与x,y轴的正半轴交于点A(a,0), B(0,b),O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值是（     ） A．4 B．2 C．8 D．5 解：依题意，设直线l的方程为：y-1=k(x-2),k＜0 令x=0,得y=1-2k, 令y=0,得x=2 - ∵k＜0 ∴1-2k＞0, 2 - ＞0 ∴S△OAB=×(1-2k)×(2 - )=[(-4k)++4]≥(2+4)=4 当且仅当-4k= 即 k = - 时，等号成立 所以△OAB的面积的最小值是4 A 20 同 步 练 习 佩雷尔曼 练6、已知过点P(1,1)的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点，则|OA|2+|OB|2的最小值为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 解：依题意，设直线l的方程为：y-1=k(x-1),k＜0 令y=0,得x=1- ，即A(1- ,0)，令x=0,得y=1-k, 即B(O,1-k) ∵k＜0 ∴1-k＞0, 1- ＞0 ∴|OA|2+|OB|2=(1-)2+(1-k)2=2+(- -2k)++k2 ≥2+2+2=8 当且仅当- =-2k且=k2即k=-1时，等号成立 所以|OA|2+|OB|2的最小值为4。 D 21 全 课 总 结 条件 直线方程 适用范围 点斜式 直线上一点P(x0,y0)， 斜率为k y−y0=k(x−x0) 斜率存在的直线 斜截式 直线在y轴上的截距b， 斜率为k y=kx+b 斜率存在的直线 22 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $