专题04不等式与不等式组寒假预习讲义（1）(知识梳理+常考题型精析+强化题型突破)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题04不等式与不等式组寒假预习讲义(1) 预习目标 1.夯实基础：精准掌握不等式的概念、不等号含义及三条基本性质，能清晰辨 析不等式与等式性质的核心差异，筑牢“乘除负数变号”的关键认知。 2.能力突破：熟练运用不等式性质进行精准变形，能快速判定一元一次不等式， 掌握其完整解法流程，并能通过数轴直观呈现解集，实现“代数运算”与“几 何直观”的联动。 3.思维进阶：初步建立“不等关系”的数学建模意识，能将实际问题中的数量 限制转化为不等式表达式，培养从实际场景中抽象数学问题的逻辑思维，为后 续解决复杂实际应用问题铺垫基础。 2 预习内容概览 必备知识 1.不等式及其性质 2.一元一次不等式 点梳理 3.高频易错点汇总 1不等式的概念与定义 2.不等式的解集概念与表示 3.不等式的基本性质及推导 4.一元一次不等式的定义 常考题型 5.一元一次不等式的解法步骤 6.不等式解集是数轴表示方法 精讲精炼 7.一元一次不等式的整数解求解技巧 8.一元一次不等式的建模思路 9.用一元一次不等式解决实际问题 10.用一元一次不等式解决几何问题 强化巩固 (15题) 题型通关 知识点梳理 【知识点01.不等式及其性质】 核心知识梳理 知识点 具体内容 关键提醒 试卷第1页，共3页 知识点 具体内容 关键提醒 不等式的概 用不等号(>、〈、≥、≤、 =)表示不等关系的单独的数或式子不含不等 念 式子叫做不等式 号，不是不等式 (大于)、〈（小于）≥（大于等于，即“不小 常用不等号 ≥ 和≤包含“等于” 于”)≤（小于等于，即“不大于”） =(不 及含义 的情况，解题时不能忽略 等于) 不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不 不等式的基 与等式性质一致，无特殊 等号的方向不变符号表示：若a>b,则a士c>b士 本性质1 注意点 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的 不等式的基 必须强调“正数”，否则 方向不变符号表示：若a>b,c>0,则ac>bc, 本性质2 性质不成立 是>名 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的 不等式的基 这是不等式特有的性质， 方向改变符号表示：若a>b,c<O,则ac<bc, 本性质3 也是最易错点 是<凫 不等式性质 相同点：性质1完全一致 乘除负数变号是两者的核 vs等式性 不同点：等式两边乘除任意非零数，等式仍成立： 心区别 质 不等式乘除负数时，不等号方向必须改变 【知识点02.一元一次不等式】 1.一元一次不等式的定义 含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一 元一次不等式 关键提醒：三个条件缺一不可：1个未知数、次数为1、两边是整式 2.一元一次不等式的判断标准 举例：2x-1>3(是)；x242>0(否，次数为2)；是+3<5（否，左边不是整式） 关键提醒：注意区分一元一次方程和一元一次不等式，前者是等式，后者是不等 式 试卷第1页，共3页 3.解一元一次不等式的步骤 1.去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意乘负数要变号 2.去括号：遵循去括号法则，括号前是负号要变号 3.移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号 4.合并同类项：化成ax>b(或ax<b、ax≥b、ax≤b)的形式 5.系数化为1：两边同除以a,若a>0,不等号方向不变；若a<0,不等号方向 改变 关键提醒：系数化为1时，一定要判断系数的正负，决定是否变号 4.不等式的解集与数轴表示 1.解集：使不等式成立的未知数的取值范围 2.数轴表示： -x>a:空心圆圈在a处，向右画； -x≥a:实心圆点在a处，向右画； -x<a:空心圆圈在a处，向左画； -x≤a:实心圆点在a处，向左画 关键提醒：空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点 【知识点03.高频易错点汇总】 1.不等号混淆：混淆≥与>、≤与<，忽略“不小于”“至少”等表述中的“等 于”情况。 2.性质应用错误：不等式乘除负数时，忘记改变不等号方向。 3.步骤疏漏：去分母漏乘不含分母的项；去括号时负号未变号。 4.数轴表示错误：混淆空心圈（不包含）与实心点（包含）；射线方向画反。 5.一元一次不等式误判：忽略“整式”“单未知数”“次数为1”任一条件。 6.实际建模偏差：不等关键词与不等号匹配错误；数量关系梳理不清。 常考题型精讲精练 【题型1.不等式的概念与定义】 【典例】下列式子中，是不等式的是() A.x+6 B.x=1 C.2x-125 D.9a 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】将x克糖放入水中，得到y克糖水，已知y>x>0.再往杯中加入n(n>O)克 糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x,y和 的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： 【跟踪专练2】在①-3>0；②3x+4y>0;③x=3;④x2+y+y2;⑤x≠5；⑥ x+2>y+3中，属于不等式的有() A.1个 B.3个 C.4个 D.5个 【题型2.不等式的解集概念与表示】 【典例】定义：给定两个不等式P和Q,若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个 解，则称不等式P为不等式Q的子集.例如：不等式P:x>4是不等式Q:x>2的子集. 请写出不等式x<-2的一个子集： 【跟踪专练1】设x=-1,则下列式子中成立的是() A.x2=1 B.x-1=0 C.x=1 D.2x+2>3 【跟踪专练2】己知k<√7-1，且k为正整数，则k的值可以是 (写出一个即 可) 【题型3.不等式的基本性质及推导】 【典例】若a<b,则下列式子中一定成立的是() A.a+3>b+3B.a-3<b-3 C.-3a<-3b D. 【跟踪专练1】若a>b,则下列不等式成立的是， (填序号) bc:②-2a>-2h:③a-2<b-2:④-a<-h;⑤a>b；⑥5a>三b;⑦b-t 【跟踪专练2】实数Q,b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( 方01→ A.b<-1 B.>la C.a-b<0 D.-2a<-2b 【题型4.一元一次不等式的定义】 【典例】若(k-2)x-3<0是关于x的一元一次不等式，则k= 【跟踪专练1】若(a-2)x--2<0是关于x的一元一次不等式，则a的值为() A.2 B.-1 C.0 D.0或2 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】己知-2k+3x3+2>1是关于x的一元一次不等式，那么k=_,不等式的 解集是 【题型5.一元一次不等式的解法步骤】 【典例】不等式3x<6的解集是() 1 A.x<2 1 B.x>2 C.x<2 D.x>2 【跟踪专练1】若一次函数y=(2k-8)x+1的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围 是 【跟踪专练2】若关于的不等式mx+3>0的解集为x<行，则关于y的方程心-3=0的解 为() A.y=-3 B.y=3 c.= 1 D.y= 3 【题型6.不等式解集的数轴表示方法】 【典例】如图，数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为： -2-10 12 【跟踪专练1】不等式x-4≥2x-5的解在数轴上表示正确的是() A.-10 B.0 1 【跟踪专练2】已知4=-2x-). 古4多2十0十之345 (1)若x是平方根等于本身的实数，则A的值为 (2)若A的取值范围如图所示，求x的取值范围是 【题型7.一元一次不等式的整数解求解技巧】 【典例】不等式-3x+9>0的非负整数解的个数是() A.1 B.2 C.3 D.无数个 【跟踪专练1】在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a①b=2a-3b.如： 1⊕5=2×1-3×5=-13，则不等式x©2<0的非负整数解是 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】关于x的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有 四个，则m的取值范围是() m-1 0 A.-4<m≤-3 B.-6≤m<-5 C.-5<m≤-4 D.-3<m<-2 【题型8.一元一次不等式的建模思路】 【典例】用不等式表示：α的3倍与4的差不小于7，可表示为 【跟踪专练1】白毫银针是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等功效，某商家以 300元/罐的价格购进一批罐装白毫银针，并在进价的基础上提价30%进行售卖，设售出的 数量为x,要使总销售额多于12万元，可列不等式为() A.300×1+30%x≥120000 B.300+30%x>120000 C.300×1+30%x>120000 D.300+30%x≥120000 【跟踪专练2】将正实数x四舍五入”，精确到个位的值记为(x),如：1.34=1， (3.86=4,4.5)=5.若0.5x=6,则正实数x的取值范围是 【题型9.用一元一次不等式解决实际问题】 【典例】一件皮衣的进价是800元，标价是1440元，结果没有人来买，店主决定打折出售， 但希望利润不低于35%，请问这件皮衣最多可以打()折 A.五五 B.六折 C.六五 D.七五 【跟踪专练1】按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x到“结果是否大于21”为一次程 序操作，如果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作， 输入，「 >(-2)→+2 停止 否 如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是 【跟踪专练2】小华计划星期天与同学去登山，上午9点出发，尽可能去最远的山，己知各 山A、B、C、D距出发点M的距离如图所示，他们想在到达山顶后休息游玩2小时，下午4 点前必须回到出发点，去时平均速度为3.2千米时，返回时平均速度为4.5千米时，则他们 最远能登上() 试卷第1页，共3页 ·C(10千米) A(7千米) D9千米) ·B(8千米) A.A山 B.B山 C.C山 D.D山 【题型10.用一元一次不等式解决几何问题】 【典例】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： ① ② ③ (1)将300m1的水倒进一个容量为500m1的杯子中； (2)将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； (3)再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出. 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积α的取值范围是 【跟踪专练1】数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A,B两点，分别表示4、x 2 和1-x,且点A在点B左侧，则x的值可以是() B 4-x 1-x 2 A.-3 B.-2 C.-1 D.0 【跟踪专练2】若三边均不相等的三角形三边a,b,c满足a-b>b-c(a为最长边，c为 最短边)，则称它为“不均衡三角形”.例如，一个三角形三边分别为7,5,4，因为 7-5>5-4,所以这个三角形为不均衡三角形”， (1)以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 (填序号)· ①13cm,18cm,9cm: (②9cm,8cm,6cm. (2)己知“不均衡三角形三边分别为2x-2,10,2x-6直接写出x的整数值为 常考题型精讲精练 1.据郑州市气象台报道，明天最低气温是6C,最高气温是17C,那么明天气温(C)的 试卷第1页，共3页 范围是() A.t<6 B.6<1<17 C.6≤1≤17 D.1>6 2.下列实数中，满足不等式x>3的是() A.（-3)3 B.√2 C.n D.27 3.若k-(k+2)x>0是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是() A.x<2 B.x>-2 C.x>2 1 D.x< 2 4.山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有700余年历史.其核心产地为吕梁市临县前青塘 村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“全国 名特优新农产品”名录.某商店购进黄米粽和江米粽共100盒，已知黄米粽每盒利润为10元， 江米粽每盒利润为20元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于1600元，则最多 能购进黄米粽 盒、 5.为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：O0前要到达班级，小 明出家门时7：40，己知他家离学校距离为1600m,他跑步的速度为130m/min,走路的速 度为60m/min,小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为xmin, 根据题意可列不等式 6.若一次函数y=+b的图象经过点(-2,1，且y的值随x值的增大而增大，则b的值可 以是() A.-2 B.-1 C.1 D.2 7.关于x的不等式x-m≤-1的解集如图所示，则m的值是 C2-1012 8.在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：a※b=-2a+b,如： 1※5=-2×1+5=3，则不等式x※2<0的最小整数解为 9.已知多项式P=x2+y2,Q=2x-2y+a,T=y+b(a,b为常数)，下列说法： 其中正确的个数是() ①当a≤-1时，无论x,y取何值，都有P-Q≥0； ②若a+2b=2,且2P+Q+2T=0,则x+y=0; ③若a=2b,则存在整数x,y,使得P+Q-2T=1: 试卷第1页，共3页 A.0 B.1 C.2 D.3 10.在平面直角坐标系x0y中，点Aa,3(a≠0)，AB⊥x轴于点B,点P(0,t是y轴负半 轴上一动点，连接AP交x轴于点Q.若三角形OPQ的面积大于三角形ABQ的面积，则t的 取值范围是 解答题 11.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)3x-7>2x+4; (2)-6x+1<11; (3)4(2x-1)<53x+2) 号号 +1 5 12.已知x是整数，当代数式X-2与-1的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多 4 2 少？ 13.已知a>b>c. (1)比较大小：①a+bb+c;②a+b2c.(填“>”、“=”或“<”)； (2)若p=中。'，q=Q+b 29求P写2的大人关茶 14.某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车，已知1辆A型车和2辆B型车共销售 70万元，3辆A型车和1辆B型车共销售80万元. (I)每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共7辆，购车费不少于154万元，求最 多可购进A型车多少辆？ 15.如图，ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3.动点P从点A出发，沿折线 A→B→C以每秒1个单位长度运动，到达点C时停止，设点P运动的时间为t秒. (1)点P整个运动过程中，共需秒： (2)若△APC的面积为2时，求t的值： 试卷第1页，共3页 (③)若△APC的面积大于时，求t的取值范围. 试卷第1页，共3页 专题04不等式与不等式组寒假预习讲义（1） 1.夯实基础：精准掌握不等式的概念、不等号含义及三条基本性质，能清晰辨析不等式与等式性质的核心差异，筑牢“乘除负数变号”的关键认知。 2.能力突破：熟练运用不等式性质进行精准变形，能快速判定一元一次不等式，掌握其完整解法流程，并能通过数轴直观呈现解集，实现“代数运算”与“几何直观”的联动。 3.思维进阶：初步建立“不等关系”的数学建模意识，能将实际问题中的数量限制转化为不等式表达式，培养从实际场景中抽象数学问题的逻辑思维，为后续解决复杂实际应用问题铺垫基础。 必备知识 点梳理 1.不等式及其性质 2.一元一次不等式 3.高频易错点汇总 常考题型 精讲精炼 1.不等式的概念与定义 2.不等式的解集概念与表示 3.不等式的基本性质及推导 4.一元一次不等式的定义 5.一元一次不等式的解法步骤 6.不等式解集是数轴表示方法 7.一元一次不等式的整数解求解技巧 8.一元一次不等式的建模思路 9.用一元一次不等式解决实际问题 10.用一元一次不等式解决几何问题 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.不等式及其性质】 核心知识梳理 知识点 具体内容 关键提醒 不等式的概念 用不等号（>、<、≥、≤、=）表示不等关系的式子叫做不等式 单独的数或式子不含不等号，不是不等式 常用不等号及含义 >（大于）、<（小于）≥（大于等于，即 “不小于”）≤（小于等于，即 “不大于”）=（不等于） ≥ 和 ≤ 包含 “等于” 的情况，解题时不能忽略 不等式的基本性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变符号表示：若 a>b，则 a±c>b±c 与等式性质一致，无特殊注意点 不等式的基本性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变符号表示：若 a>b，c>0，则 ac>bc，​ 必须强调 “正数”，否则性质不成立 不等式的基本性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变符号表示：若 a>b，c<0，则 ac<bc，​ 这是不等式特有的性质，也是最易错点 不等式性质 vs 等式性质 相同点：性质 1 完全一致 不同点：等式两边乘除任意非零数，等式仍成立；不等式乘除负数时，不等号方向必须改变 乘除负数变号是两者的核心区别 【知识点02.一元一次不等式】 1.一元一次不等式的定义 含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式 关键提醒:三个条件缺一不可：1 个未知数、次数为 1、两边是整式 2.一元一次不等式的判断标准 举例：2x−1>3（是）；x2+2>0（否，次数为 2）；+3<5（否，左边不是整式） 关键提醒:注意区分一元一次方程和一元一次不等式，前者是等式，后者是不等式 3.解一元一次不等式的步骤 1.去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意乘负数要变号 2.去括号：遵循去括号法则，括号前是负号要变号 3.移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号 4.合并同类项：化成 ax>b（或 ax<b、ax≥b、ax≤b）的形式 5.系数化为 1：两边同除以 a，若 a>0，不等号方向不变；若 a<0，不等号方向改变 关键提醒:系数化为 1 时，一定要判断系数的正负，决定是否变号 4.不等式的解集与数轴表示 1.解集：使不等式成立的未知数的取值范围 2.数轴表示： - x>a：空心圆圈在 a 处，向右画； - x≥a：实心圆点在 a 处，向右画； - x<a：空心圆圈在 a 处，向左画； - x≤a：实心圆点在 a 处，向左画 关键提醒:空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点 【知识点03.高频易错点汇总】 1.不等号混淆：混淆≥与＞、≤与＜，忽略“不小于”“至少”等表述中的“等于”情况。 2.性质应用错误：不等式乘除负数时，忘记改变不等号方向。 3.步骤疏漏：去分母漏乘不含分母的项；去括号时负号未变号。 4.数轴表示错误：混淆空心圈（不包含）与实心点（包含）；射线方向画反。 5.一元一次不等式误判：忽略“整式”“单未知数”“次数为1”任一条件。 6.实际建模偏差：不等关键词与不等号匹配错误；数量关系梳理不清。 【题型1.不等式的概念与定义】 【典例】下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是代数式，该选项不合题意； 、是等式，该选项不合题意； 、是不等式，该选项符合题意； 、是代数式，该选项不合题意； 故选：． 【跟踪专练1】将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ． 【答案】 【分析】本题考查了用不等式表示，解题的关键在于用代数式表示出糖水中含糖的浓度． 根据题意分别表示出原糖水的浓度与加入克糖后糖水浓度，再结合题意列出不等式即可． 【详解】解：由题知，原糖水的浓度为，加入克糖后糖水浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，掌握含有不等号（如＞、＜、≠、≥、≤）的式子是不等式成为解题的关键． 根据不等式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，含“＞”号，属于不等式； ②，含“＞”号，属于不等式； ③，含“=”号，属于等式，不是不等式； ④是代数式，不属于不等式； ⑤，含“≠”号，属于不等式； ⑥，含“＞”号，属于不等式． 综上，属于不等式的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选C． 【题型2.不等式的解集概念与表示】 【典例】定义：给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的子集．例如：不等式是不等式的子集． 请写出不等式的一个子集： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的解集，根据定义写一个任意一个解都是不等式的一个解的不等式即可． 【详解】解：∵的任意一个解都是不等式的一个解， ∴不等式的一个子集为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】设，则下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解、绝对值的意义、算术平方根和不等式的解，掌握以上知识的计算是关键．根据题意，把代入计算，再辨析即可． 【详解】解：A、把代入得到左边，右边，不成立； B、把代入得到，右边，故不成立； C、把代入得到左边，右边，故成立； D、把代入得到，故不成立． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，且为正整数，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了无理数的估算、不等式的解等知识点，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先估算得取值范围，再确定k的取值范围，然后根据不等式解的定义即可解答． 【详解】解：∵是整数； ∴是完全平方数； ∴， ∵为正整数， ∴或2或3． 故答案为：1（答案不唯一）． 【题型3.不等式的基本性质及推导】 【典例】若，则下列式子中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解决本题的关键是根据不等式的基本性质得到各选项的正确结果，再根据得到的结果判断正误． 【详解】解：A．，根据不等式的基本性质一，可得：，故A选项错误； B．，根据不等式的基本性质一，可得：，故B选项正确； C．，根据不等式的基本性质三，可得：，故C选项错误； D．，根据不等式的基本性质二，可得：，故D选项错误． 故选：B． 【跟踪专练1】若，则下列不等式成立的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】④⑥ 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：①∵，若，则，故该项不成立； ②∵，∴，故该项不成立； ③∵，∴，故该项不成立； ④∵，∴，故该项成立； ⑤∵，若取，满足，但此时，有，故该项不成立； ⑥∵，∴，故该项成立； ⑦∵ ，∴ ，故该项不成立； 故答案为：④⑥． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【跟踪专练2】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数，不等式的性质，由数轴知，，，，然后逐项排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，， ∴，原选项正确，符合题意； 故选：． 【题型4.一元一次不等式的定义】 【典例】若是关于x的一元一次不等式，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，正确掌握定义是解决此题的关键．由一元一次不等式未知数x的次数为1且系数不为0，求出的值即可． 【详解】一元一次不等式未知数x的次数为1， ， 解得：或， 一元一次不等式未知数x的系数不为0， ， 解得：， 综上，a的值为0． 故选：C． 【跟踪专练2】已知是关于x的一元一次不等式，那么 ，不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的概念以及一元一次不等式的求解．根据题意可知，求得值，然后代入不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 将代入得：， 解得， 故答案为：，． 【题型5.一元一次不等式的解法步骤】 【典例】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟记一元一次不等式解法是解决问题的关键． 通过将不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，直接求解，注意不等号方向的变化仅当乘以或除以负数时发生；本题除数为正，方向不变． 【详解】解：∵， ∴ （两边同时除以3）， 即， 故选：C． 【跟踪专练1】若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据一次函数的增减性得到关于的不等式． 根据一次函数的增减性得到关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于的不等式的解集为，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次方程的综合应用，熟练掌握不等式的解集与方程的解的关系是解题的关键．先根据不等式的解集确定的符号，再利用边界点求出的值，最后代入方程求解． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴ 当时，，即， ∴ ， ∴ ． 又∵ 方程， 代入，得， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 【题型6.不等式解集的数轴表示方法】 【典例】如图，数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可． 【详解】解：由数轴得：不等式组的解集为， 故答案为：． 【跟踪专练1】不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点、正确求得不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ， ． 在数轴上表示如下： ． 故选C． 【跟踪专练2】已知． （1）若是平方根等于本身的实数，则的值为 ． （2）若的取值范围如图所示，求的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，代数式求值，数轴表示不等式取值范围，解一元一次不等式，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）由平方根等于本身可以求出，然后代入求值即可； （2）由数轴可知，然后解不等式即可． 【详解】解：（1）是平方根等于本身的实数， ， 当时，； （2）由题图可知， ，解得， 故答案为：；． 【题型7.一元一次不等式的整数解求解技巧】 【典例】不等式的非负整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，能根据不等式的基本性质求出不等式的解集是解此题的关键．解不等式求出的范围，从而可求出的非负整数解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴的非负整数解：2，1，0，共3个； 故选：C． 【跟踪专练1】在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：．如：．则不等式的非负整数解是 ． 【答案】0、1、2 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算．根据题意，列出不等式，然后求出不等式的非负整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， 不等式，即为：， 解得， ∴不等式的非负整数解是0、1、2． 故答案为：0、1、2． 【跟踪专练2】关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴表示解集、不等式的整数解、解不等式组等知识点，根据不等式的解集情况得到关于m的不等式组成为解题的关键． 根据不等该不等式的负整数解有且只有四个，可知这四个负整数解为；再根据数轴可得，进而得到关于m的不等式组求解即可． 【详解】解：∵该不等式的负整数解有且只有四个， ∴这四个负整数解为， 由数轴可知不等式解集为：， ∴，即． 故选：A． 【题型8.一元一次不等式的建模思路】 【典例】用不等式表示：a的3倍与4的差不小于7，可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据题目所述运算顺序列出代数式，再找到不等关系列出不等式即可． 【详解】解：a的3倍即， a的3倍与4的差为， 不小于 7 就是大于等于 7， ∴a的3倍与4的差不小于7表示为． 故答案为：． 【跟踪专练1】白毫银针是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等功效，某商家以300元/罐的价格购进一批罐装白毫银针，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为，要使总销售额多于12万元，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的应用，解题的关键是理解题意；根据总销售额等于单价乘以数量，单价为进价提价后的价格，即元/罐，总销售额需多于12万元（120000元），由此列不等式即可． 【详解】解：由题意可列不等式为； 故选C． 【跟踪专练2】将正实数“四舍五入”，精确到个位的值记为，如：，，．若，则正实数x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查近似数和有效数字，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用新定义和四舍五入法解答． 根据题意可以得到，然后求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 故答案为：． 【题型9.用一元一次不等式解决实际问题】 【典例】一件皮衣的进价是800元，标价是1440元，结果没有人来买，店主决定打折出售，但希望利润不低于，请问这件皮衣最多可以打（    ）折 A．五五 B．六折 C．六五 D．七五 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意找出不等关系，列出不等式是解题关键．设这件皮衣打折，根据题意“利润不低于”列出不等式解出的范围即可． 【详解】解：设这件皮衣打折． 由题意可列 解得： 这件皮衣最多可以打七五折． 【跟踪专练1】按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作． 如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据程序操作进行了一次就停止，可列出关于x的一元一次不等式，求出最大整数解即可解答． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴最大整数解为， 即输入x的最大整数是． 故答案为：． 【跟踪专练2】小华计划星期天与同学去登山，上午点出发，尽可能去最远的山，已知各山距出发点的距离如图所示，他们想在到达山顶后休息游玩小时，下午点前必须回到出发点，去时平均速度为千米/时，返回时平均速度为千米/时，则他们最远能登上（    ） A．山 B．山 C．山 D．山 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设他们要登的山峰距出发点千米，根据题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设他们要登的山峰距出发点千米， 由题意得，， 解得， ∴他们最远能登上山， 故选：． 【题型10.用一元一次不等式解决几何问题】 【典例】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 【跟踪专练1】数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 【跟踪专练2】若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 【答案】 ① 9 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 1．据郑州市气象台报道，明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的应用，准确理解题意是解题的关键．根据最低气温是，最高气温是得到取值范围即可． 【详解】解：明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是． 故选C． 2．下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根、不等式的定义，属于基础题．先根据有理数的乘方、立方根的定义计算选项A、D，然后让每个选项与3比较即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 4．山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有余年历史．其核心产地为吕梁市临县前青塘村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“全国名特优新农产品”名录．某商店购进黄米粽和江米粽共盒，已知黄米粽每盒利润为元，江米粽每盒利润为元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于元，则最多能购进黄米粽 盒． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购进盒黄米粽，则购进盒江米粽，利用总利润每盒黄米粽的销售利润购进黄米粽的数量每盒江米粽的销售利润购进江米粽的数量，结合总利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设购进盒黄米粽，则购进盒江米粽， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大值为， ∴最多能购进黄米粽盒． 故答案为：． 5．为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为，到校时间应小于分钟列出不等式即可． 【详解】解：设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为 ， 故答案为：． 6．若一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式，由一次函数的图象经过点，则，即，然后通过的值随值的增大而增大可得，然后解不等式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵的值随值的增大而增大， ∴， ∴，解得， ∴选项符合题意， 故选：． 7．关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是 ．    【答案】2 【分析】解不等式可得，由数轴可得，从而可得，求解即可． 【详解】解：， 解得， 由数轴可得，， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集、解一元一次方程，熟练掌握在数轴上表示不等式的解集是解题的关键． 8．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意．列出不等式，然后求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：∵, ∴， 不等式即为：， 解得：， ∴不等式的最小整数解是2． 故答案为： 2． 9．已知多项式，，（a，b为常数），下列说法： 其中正确的个数是（   ） ①当时，无论x，y取何值，都有； ②若，且，则； ③若，则存在整数x，y，使得； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方的非负性等知识点，结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可，熟练掌握配方法的步骤是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴ ∵， ∵当时，， ∴， ∴，即，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ， 设， ∴， ∵ ， ∴， ∴要使， ∴， ∵是整数，，而不是整数， ∴不存在整数使得，故③错误， 综上所述，正确的有1个， 故选：B． 10．在平面直角坐标系中，点，轴于点，点是轴负半轴上一动点，连接交轴于点．若三角形的面积大于三角形的面积，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，不等式的性质和应用．先用待定系数法求出直线的解析式，再求出点的坐标，然后分和两种情况，按照三角形的面积大于三角形的面积列出不等式，求解后可得的取值范围．解题的关键是求出直线的解析式． 【详解】解：设直线的解析式为，过点，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ∴， 当时，如图， ∵点，轴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵三角形的面积大于三角形的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 当时，如图： ∵，， ∴， ∵三角形的面积大于三角形的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 解答题 11．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1)，图形见解析 (2)，图形见解析 (3)，图形见解析 (4)，图形见解析 【分析】考查知识点：一元一次不等式的解法、不等式的性质、数轴表示解集．解题关键：正确应用不等式性质，规范完成去分母、移项等步骤．易错点：除以负数时不等号未变号，去分母时漏乘常数项，数轴表示空心/实心圆点混淆． （1）对不含分母/括号的不等式：通过移项合并同类项，再系数化为1（注意负数变向）． （2）含括号的不等式：先去括号，再重复上述步骤． （3）含分母的不等式：先去分母（乘最小公倍数），再去括号、移项、系数化为1． （4）最后根据解集在数轴上标注（空心圆点对应“>”“<”，实心圆点对应“≥”“≤”）． 【详解】（1） 解集在数轴上表示如下： （2） 解集在数轴上表示如下： （3） 解集在数轴上表示如下： （4） 解集在数轴上表示如下： 12．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 13．已知． (1)比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）； (2)若，，，求与的大小关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）运用不等式的性质进行计算求解； （2）运用不等式的性质和作差法进行比较、求解． 此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， 即， 故答案为：，； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴． 14．某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车，已知1辆A型车和2辆B型车共销售70万元，3辆A型车和1辆B型车共销售80万元． (1)每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共7辆，购车费不少于154万元，求最多可购进A型车多少辆？ 【答案】(1)每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元 (2)最多可购进A型车3辆 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用． （1）设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进型车辆，则购进型车辆，根据购车费不少于154万元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元． 根据题意，可列方程组：， 解得． 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）解：设购进型车辆，则购进型车辆． 因为购车费不少于154万元， 所以可列不等式：， 解得：． 因为为车辆数，应为正整数，所以的最大值为3． 即最多可购进A型车3辆． 15．如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $