精品解析：江苏省南京市联合体2025--2026学年上学期期末九年级数学练习卷

2025～2026学年度第一学期期末练习卷 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义解题即可．根据二次函数定义中，最高次项为的二次方且二次项系数不为零可得正确选项． 【详解】解：二次函数的一般形式为． 选项A：，最高次项为一次，不是二次函数； 选项B：，最高次项为二次，且系数为，是二次函数； 选项C：，是分式函数，不是整式函数； 选项D：，最高次项为三次，不是二次函数． 故选：B． 2. 在比例尺为的地图上，两处景点的距离为，则这两处景点的实际距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例尺，要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离． 【详解】解：设这两处景点的实际距离为x厘米， 则：， 解得， 3200000厘米千米． 故选：B． 3. 某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（ ） A. 小明爸爸遇到红灯是必然事件 B. 小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C. 小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D. 小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件和概率公式，分别根据随机事件的定义和概率公式逐一判断即可．正确运用概率公式计算是解题的关键． 【详解】解：A、小明爸爸遇到红灯是随机事件，故不符合题意； B、小明爸爸遇到黄灯是随机事件，故不符合题意； C、小明爸爸遇到黄灯的概率最小，故符合题意； D、小明爸爸遇到红灯的概率小于他遇到绿灯的概率，故不符合题意； 故选：C． 4. 如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若，，，则（　　） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 4.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∵，，， ∴，即，解得， 故选：D 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确地识图，找出对应线段是解题的关键． 5. 有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（ ） A. 50cm B. 25cm C. 50cm D. 50cm 【答案】C 【解析】 【详解】解：要用一个圆盖去盖住一个正方形的洞口，则圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，∵正方形边长为50cm， 由勾股定理可得正方形的对角线的长为：50cm． 故答案选C． 6. 如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，），则下列结论：①，②，③，④把原函数向右平移一个单位得到的函数表达式是，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大，正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数和x轴的交点问题，二次函数的平移等知识，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ， ，故①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， ，故②正确； ③∵对称轴为直线 ∴当时和时函数值相等， ∴当时，，故③正确； ④把原函数向右平移一个单位得到的函数表达式是，故④错误； ⑤当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，先随的增大而减小，后y随x的增大而增大，故⑥错误． 综上所述，正确的个数为4． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 若，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质． 根据比例的性质即可求解． 【详解】解：由 ∴． 故答案为：． 8. 方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键． 通过移项将方程化为标准形式，然后因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：化为一般式得，， ∴因式分解得，， ∴， 故答案为：． 9. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， ． 故答案为：． 10. 如果点是线段的黄金分割点，且，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的定义，正确理解黄金分割点是解题的关键． 根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，比值为可得到，，将代入计算即可． 【详解】解：根据已知条件，画图分析： 点是线段的黄金分割点，且， 即 ． 故答案为：． 11. 用半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为__________ cm. 【答案】5 【解析】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， 则， 解得：， 故圆锥的底面半径为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握弧长公式． 12. 学校开展了纪念“一二·九”运动的合唱比赛，其中评分项目为歌曲内容、精神面貌和艺术效果，并依次按照计算综合成绩．某班这三项分别得了80分、90分和88分，则该班的综合成绩是____________分． 【答案】87 【解析】 【分析】本题考查加权平均数计算．根据各项目的权重和得分，代入加权平均数公式求解． 【详解】解：该班的综合成绩是（分）． 故答案为：87． 13. 如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C，使点C在点B正南方，在点A正东方，过点C作，垂足为D，测得，，根据所测得的数据可算出A，B两点之间的距离是____________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用：证明，得到即可求解． 【详解】解：∵在点正南方，在点正东方， ， ， ， ， ， ，即，解得， 故答案为：40． 14. 如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则___________ °． 【答案】115 【解析】 【分析】本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形对角互补，圆周角定理等知识点．作出弧所对的圆周角，根据内接四边形对角互补求出即可． 【详解】解：作出弧所对的圆周角， ∵，, ∴， ∵沿着弦折叠， ∴， 故答案为：115． 15. 已知抛物线与轴的交点坐标分别为，．若，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数根与系数的关系、不等式的解集求字母取值范围．掌握二次函数的图象与性质及根与系数的关系是解题关键．由根与系数的关系可得 ，再根据 代入求范围即可． 【详解】∵抛物线 与 轴的交点坐标分别为 ，， ∴方程 的两个根分别为 ， ， 根据根与系数的关系，有 ，即 ， ∵ ， ∴， 解得，， 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接，，，由，推出，可得，推出点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，勾股定理求出，再利用两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∴， ∵四边形是矩形 ∴， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解：， ； （2）解：， ． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握并选择合适的一元二次方程的解法是解题关键． （1）运用配方法解一元二次方程即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即． 开平方，得， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项，得，即． 因式分解，得， ∴，． 18. 将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________； （2）先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽出一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是2的倍数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可． 【小问1详解】 解：从中随机抽出一张牌，牌面数字所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性相等，其中出现偶数的情况有2种， ∴P（牌面是偶数）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图： 可知，共有种等可能的结果，其中恰好是的倍数的为：22，24，32，34，42，44，52，54，共有种， 19. 某校甲、乙两名运动员的6次射击训练成绩的折线统计图如下，根据折线图信息列出统计表格． 平均数 中位数 众数 方差 甲的射击环数 a 8 b 1.67 乙的射击环数 8 c 9 （1）________，________，________； （2）结合两人射击环数的平均数和中位数进行分析，谁的射击成绩更好？ （3）计算乙射击环数的方差，并判断哪位运动员的射击成绩更稳定． 【答案】（1）8，8，8.5； （2）乙射击成绩好 （3），乙运动员射击成绩更稳定 【解析】 【分析】（1）先根据折线统计图得出两运动员的涉及环数，再依据平均数、中位数、众数的定义求解即可； （2）根据平均数和中位数的意义求解即可； （3）先根据方差的定义计算，再依据方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图知，甲射击环数为6、7、8、8、9、10， 乙射击环数为6、7、8、9、9、9， ∴甲射击环数的平均数a8，众数b＝8， 乙射击环数的中位数c8.5， 故答案为：8，8，8.5； 【小问2详解】 乙射击成绩好， 由题意知，甲、乙射击成绩的平均数相等，而乙射击环数的中位数均大于甲， 所以乙射击成绩好； 【小问3详解】 乙射击环数的方差s乙2[（6－8）2+（7－8）2+（8－8）2+3×（9－8）2]， ∵167， ∴乙运动员射击成绩更稳定． 【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，方差，掌握以上知识是解题的关键． 20. 如图，是直径，D是弦延长线上一点，且，延长线交于点E，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】连接，首先证明，推出即可解决问题． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 21. 关于x的一元二次方程x2＋2（k﹣1）x＋k2＋1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值． 【答案】（1）k≤0；（2）﹣2﹣ 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到：，然后解不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到，，再由得到k2＋1＋4（k﹣1）＋4＝11，解方程可得到满足条件的k值． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得：； （2）根据题意得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练运用根与系数的关系列出方程或者不等式． 22. 如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D． （1）求证：； （2）连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由垂直的定义求得，利用公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证明； （2）由，得到，结合夹角相等，即可证明． 【小问1详解】 证明：∵，是，上的高， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． 23. 已知，，是的三条边．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系及因式分解的应用．利用三角形三边关系得出三边不等式关系是解题关键． 将不等式移项变形后，通过因式分解，再利用三角形三边关系判断符号即可． 【详解】证明：∵ ，，是的三条边， ∴ ，． ∴ ，． ∵ ， ∴ ，即 ． ∴ ． 24. 某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每提高1元，销售量将减少10件．销售价格是多少时，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】销售单价为65元时，月销售利润最大，最大利润为12250元 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式，并利用二次函数的性质得出最值． 根据等量关系“利润售价进价销量”列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值． 【详解】解：设销售单价元，月销售利润元． 根据题意，得． ． ． ∵， ∴当时，有最大值12250． 答：销售单价为65元时，月销售利润最大，最大利润为12250元． 25. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E． （1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　　°；∠DAC＝　　° （2）求证：∠BAC＝2∠DAC； （3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值． 【答案】（1）；； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可求∠ADC，根据圆周角定理和三角形内角和定理即可求∠DAC； （2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理及三角形内角和定理即可求解； （3）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到， CH＝BH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，根据全等三角形的性质得到CG＝CH，根据相似三角形的性质得到，设BH＝k，AH＝2k，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 ∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°， ∵BD⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADB＝∠ACB＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣∠ADB﹣∠AED＝20°， 故答案为：110；20 【小问2详解】 证明：∵BD⊥AC， ∴∠AEB＝∠BEC＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠CBD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD， ∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD， ∵∠DAC＝∠CBD， ∴∠BAC＝2∠DAC； 【小问3详解】 过A作AH⊥BC于H，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G， ∵AB＝AC， ∴， CH＝BH， ∵∠BAC＝2∠DAC， ∴∠CAG＝∠CAH， ∴∠G＝∠AHC＝90°，AC＝AC， ∴△AGC≌△AHC（AAS）， ∴CG＝CH， ∵∠CDG＝∠ABC， ∴△CDG∽△ABH， ∴， ∴， 设BH＝k，AH＝2k， ∴ ∴k＝， ∴BC＝2k＝． 【点睛】本题考查圆内接四边形、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定及其性质，勾股定理，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26. 如图，已知点在二次函数的图像上，且． （1）若二次函数的图像经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②若，求顶点到的距离； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式； ②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数解析式中求出，再由求出直线为，最后根据二次函数顶点坐标即可求解； （2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，；若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，分别求解即可． 【小问1详解】 解：①将点代入中， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：； ②当时，此时为平行x轴的直线， 将代入二次函数中得到：， 将代入二次函数中得到：， ∵， ∴=， 整理得到：， 又∵，代入上式得到：，解出， ∴，即直线为：， 又二次函数顶点坐标为(2，-1)， ∴顶点(2,-1)到的距离为； 小问2详解】 解：若M，N在对称轴的异侧，， ∴x1+3>2， ∴x1>-1， ∵ ∴， ∴-1<， ∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1， ∴y-（-1）=1， ∴a=， ∴， ∴； 若M、N在对称轴的异侧，，x1<2， ∵， ∴， ∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1， ∴y-（-1）=1， ∴a=， ∴， ∴， 综上所述，a的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) ． 27. 在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． （1）如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． （2）如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． （3）若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【答案】（1）证明见解析 （2）图见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）证，根据“关联点”的定义即可得结论； （2）以为直径作，过点作的垂线，交于，由圆周角定理可得，由（1）可得，以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可得答案； （3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． 【小问2详解】 解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴． 【小问3详解】 ①当时， 如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形， 此时， ∵，且，， 在中，， 在中，， ； ②当时，同理可得：； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末练习卷 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在比例尺为的地图上，两处景点的距离为，则这两处景点的实际距离为（ ） A. B. C. D. 3. 某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（ ） A. 小明爸爸遇到红灯是必然事件 B. 小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C. 小明爸爸遇到黄灯概率最小 D. 小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 4. 如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若，，，则（　　） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 4.5 5. 有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（ ） A. 50cm B. 25cm C. 50cm D. 50cm 6. 如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，），则下列结论：①，②，③，④把原函数向右平移一个单位得到的函数表达式是，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大，正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 若，则值为____________． 8. 方程的解是_____． 9. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 10. 如果点是线段的黄金分割点，且，，则___________． 11. 用半径为15cm，圆心角为120°扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为__________ cm. 12. 学校开展了纪念“一二·九”运动的合唱比赛，其中评分项目为歌曲内容、精神面貌和艺术效果，并依次按照计算综合成绩．某班这三项分别得了80分、90分和88分，则该班的综合成绩是____________分． 13. 如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C，使点C在点B正南方，在点A正东方，过点C作，垂足为D，测得，，根据所测得的数据可算出A，B两点之间的距离是____________． 14. 如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则___________ °． 15. 已知抛物线与轴的交点坐标分别为，．若，则的取值范围是____________． 16. 如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________； （2）先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽出一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是2的倍数的概率． 19. 某校甲、乙两名运动员的6次射击训练成绩的折线统计图如下，根据折线图信息列出统计表格． 平均数 中位数 众数 方差 甲的射击环数 a 8 b 1.67 乙的射击环数 8 c 9 （1）________，________，________； （2）结合两人射击环数的平均数和中位数进行分析，谁的射击成绩更好？ （3）计算乙射击环数的方差，并判断哪位运动员的射击成绩更稳定． 20. 如图，是直径，D是弦延长线上一点，且，的延长线交于点E，求证：． 21. 关于x的一元二次方程x2＋2（k﹣1）x＋k2＋1＝0有实数根． （1）求k取值范围； （2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值． 22. 如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D． （1）求证：； （2）连接，求证：． 23. 已知，，是的三条边．求证：． 24. 某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每提高1元，销售量将减少10件．销售价格是多少时，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E． （1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　　°；∠DAC＝　　° （2）求证：∠BAC＝2∠DAC； （3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值． 26. 如图，已知点在二次函数的图像上，且． （1）若二次函数图像经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②若，求顶点到的距离； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 27. 在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． （1）如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． （2）如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． （3）若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $