1.3.4 完全平方公式的应用课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦完全平方公式的应用，通过回顾上节课公式及“首平方，尾平方，首尾2倍放中间”简记口诀导入，衔接简便计算、混合运算及变形应用，搭建新旧知识学习支架。 其亮点是借助图形面积不同表示推导公式变形，培养几何直观（数学眼光），综合运用公式提升推理能力（数学思维），结合点阵、长方形面积问题体现模型意识（数学语言）。如阴影面积推导a²+b²=(a+b)²-2ab，助力学生深化理解，教师可通过多样化例题提升教学效率。

1.3 乘法公式 第4课时 完全平方公式的应用 1. 熟练掌握完全平方公式，能综合运用平方差公式和完全平方公式进行计算. 2. 理解并掌握完全平方公式的几种变化形式. 3. 能应用完全平方公式进行简便计算和推理，并解决问题. 学习目标 上节课我们学习了完全平方公式，你能写出来吗? (a+b)2=a2+2ab+b2 (a–b)2=a2–2ab+b2 简记为：“首平方，尾平方，首尾2倍放中间” 新课引入 (2)1972= (200 –3)2 =40000 –1200+9 =38809. =2002 –2×200×3+32 解：(1)1022= (100+2)2 =10000+400+4 =10404； =1002+2×100×2+22 怎样计算1022，1972更简单呢？ 你是怎么做的？ 新知学习 例1 计算： (1)(x+3)2–x2； (2) (a+b+3)(a+b–3)； 解：(x+3)2–x2 = x2+6x+9–x2 = 6x+9； 解： (a+b+3)(a+b–3) = [(a+b) +3][(a+b)–3] = (a+b)2–32 = a2+2ab+b2–9； 新知学习 (3) (x+5)2–(x–2) (x–3) ； (4) [(a+b)(a–b)]2 . 解： (x+5)2–(x–2) (x–3) = x2+10x+25–(x2–5x+6) = x2+10x+25–x2+5x–6 = 15x+19； 解：[(a+b)(a–b)]2 =(a2–b2)2 =a4–2a2b2+b4. 新知学习 探究 分别用不同的方法表示下图中阴影部分的面积，你能得到什么结论呢？ a b a b a b 新知学习 方法一：S阴影部分=S两个小正方形 =a2+b2 方法二：S阴影部分=S大正方形–S两个小长方形 =(a+b)2–2ab 得到等式： a2 + b2 = (a+b)2 –2ab a b 新知学习 方法一：S阴影部分= S大正方形 = a2 方法二：S阴影部分= S左上角正方形 + S两个大长方形 – S右下角正方形 = (a-b)2 +2ab–b2 得到等式： a2 +b2= (a–b)2+ 2ab a b 新知学习 方法一：S阴影部分= S小正方形 = (a–b)2 方法二：S阴影部分= S大正方形– 4S小长方形 = (a+b)2 –4ab 得到等式： (a–b)2 = (a+b)2–4ab a b 新知学习 完全平方公式 变形 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a–b)2＝a2–2ab＋b2 归纳总结 ①a2＋b2＝(a＋b)2–2ab ②a2＋b2＝(a–b)2＋2ab ③2ab＝(a＋b)2–(a2＋b2) ④2ab＝(a2＋b2)–(a–b)2 ⑤(a–b)2＝(a＋b)2–4ab ⑥(a＋b)2＝(a–b)2＋4ab 新知学习 观察·思考 观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗? 请用所学的公式解释自己的结论. 1×1 2×2 3×3 ··· 新知学习 根据乘法公式得到(m + n) ×(m + n)点阵中的点数为 (m+n)×(m+n)=m2+2mn+n2， 而m ×m点阵中的点数为m2，n×n点阵中的点数为n2， 它们之和为m2+ n2， 显然，除非2mn =0，即m = 0或n =0，否则点数之和是不相等的. 新知学习 1.若m+n=3，则代数式2m²+4mn+2n²-6的值为( ) A.12 B.3 C.4 D.0 A 2.若x2＋ax＋4＝(x－2)2，则a＝           ． －4 3. (2024乐山)已知 a － b =3，ab=10，a2+b2=______. 29 随堂练习 4. 如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和S₁+S₂=40，则图中阴影部分面积为 . 6 点拨：根据AB=8得到AC+BC=8， 根据S₁+S₂=40得到AC2+BC2=40， 结合(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2求解即可得到2ab，进而求出阴影部分面积. 随堂练习 5. 利用乘法公式计算： (1)79.82 (2)982－101×99； 解：982－101×99 ＝ (100－2)2 －(100+1) (100－1) ＝ 1002 －400 + 4 －1002 + 1 ＝－395； 解：79.82 ＝ (80－0.2)2 ＝ 802 －32 + 0.04 ＝6368.04； 随堂练习 (1)(x－2y)2－x(x－4y)； 解：(x－2y)2－x(x－4y) ＝x2－4xy+4y2－x2+4xy ＝4y2; 6. 计算： (2)(a－3b)2+9(a－b)(a+b)； 解：(a－3b)2+9(a－b)(a+b) =a2－6ab+9b2+9(a2－b2) =a2－6ab+9b2+9a2－9b2 =10a2－6ab; 随堂练习 (4)(x－y+1)(x+y－1). 解：(x－y+1)(x+y－1) =[x－(y－1)][x+(y－1)] =x2－(y－1)2 =x2－(y2－2y+1) =x2－y2+2y－1. (3)(ab+1)2－(ab－1)2； 解：(ab＋1)2－(ab－1)2 ＝(ab＋1＋ab－1)(ab＋1－ab＋1) ＝2ab×2 ＝4ab; 随堂练习 7.我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.例如：由图1可得到(a+b)²=a²+2ab+b². (1)写出由图2所表示的数学等式：_____________________________; (2)解决问题：已知a+b+c=12，bc+ac+ab=47，求a²+b²+c²的值. (a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 解：∵(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴a2+b2+c2＝(a+b+c)2－2(ab+ac+bc)， ∵a+b+c＝12，bc+ac+ab＝47， ∴a2+b2+c2＝144－2×47＝50． 随堂练习 完全平方 公式的应用 简便运算 实际应用：运用完全平方公式进行推理 混合运算 课堂小结 类型1　利用乘法公式进行简便计算 1. 利用乘法公式进行简便计算： (1)1022－982； 解：(1)原式＝(102＋98)(102－98) 　　　　　　＝200×4 　　　　　　＝800； 能力培养 (2)9 ×(－10 )； 解：(2)原式＝(10－ )(－10－ ) 　　　＝－(10－ )(10＋ ) 　　　＝－[102－()2] 　　　＝－100＋ 　　　＝－99 ； 能力培养 (3)1282－127×129； 解：(3)原式＝1282－(128－1)(128＋1) 　　　＝1282－1282＋1 　　　＝1； (4)48×52－492； 解：(4)原式＝(50－2)×(50＋2)－(50－1)2 　　　＝502－22－(502－2×50×1＋1) 　　　＝502－4－502＋100－1 　　　＝95； 能力培养 (5)99×(100＋1)(1002＋1)＋1. 解：(5)原式＝(100－1)(100＋1)(1002＋1)＋1 　　　＝(1002－1)(1002＋1)＋1 　　　＝1004－1＋1 　　　＝1004. 能力培养 类型2　利用乘法公式的变形求值51考 方法总结 1. a2＋b2的变形： (1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab； (2)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； (3)a2＋b2＝ [(a＋b)2＋(a－b)2]. 能力培养 2. ab的变形： (1)ab＝ [(a＋b)2－(a2＋b2)]； (2)ab＝ [a2＋b2－(a－b)2]； (3)ab＝ [(a＋b)2－(a－b)2]. 3. (a±b)2的变形： (1)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； (2)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab. 能力培养 2. 已知m＋n＝6，mn＝5，则m2－3mn＋n2的值为 ⁠. 3. 已知a＋b＝10，a2＋b2＝54，则(a－b)2的值为 ⁠. 4. 已知(3x＋2y)2＝8，(3x－2y)2＝16，则xy的值为 ⁠. 11 8 － 能力培养 5. 已知x＋ ＝4. (1)求x2＋ 的值； 解：(1)因为x＋ ＝4， 所以(x＋ )2＝16， 所以x2＋2＋ ＝16， 所以x2＋ ＝14； 能力培养 (2)求(x－ )2的值. 解：(2)因为(x－ )2＝x2－2＋ ， 由(1)可知，x2＋ ＝14， 所以原式＝14－2＝12. 能力培养 中考新考法·阅读理解题 6. 　　　　　　　　　　　 　请阅读下列解题思路： 若(x－1)2＋(3－x)2＝6，求(x－1)(3－x)的值. 解：令x－1＝c，3－x＝d， 则c2＋d2＝6，c＋d＝(x－1)＋(3－x)＝2. 因为(c＋d)2＝c2＋2cd＋d2， 所以4＝6＋2cd.所以cd＝－1. 所以(x－1)(3－x)＝－1. 回答问题：若m满足(2m－5)2＋(4－2m)2＝6，求(2m－5)(4－2m)的值. 能力培养 解：令2m－5＝a，4－2m＝b，则a2＋b2＝6，a＋b＝2m－5＋(4－ 2m)＝－1， 因为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab， 所以1＝6＋2ab， 所以ab＝－ ， 所以(2m－5)(4－2m)＝－ . 能力培养 类型3　利用乘法公式及其变形解决面积问题 7. 如图，已知一个长方形的周长为16，分别以该长方形的长和宽为边向 外作正方形，若这两个正方形的面积之和为50，则原长方形的面积 是 ⁠. 第7题图 7 能力培养 8. 用两个边长均为x的大正方形甲，一个边长为y的小正方形乙以及两个 大小相同的直角三角形无缝拼接成如图所示的图形，请用字母表示图中 阴影部分的面积. 第8题图 解：因为S乙＝y2，2S直角三角形＝2× (x＋y)(x－y)， S阴影部分＝S乙＋2S直角三角形， 所以S阴影部分＝y2＋2× (x＋y)(x－y)＝x2， 所以图中阴影部分的面积为x2. 能力培养 9. 　　　　　　　　　　　　　如图①是一个长为4b，宽为a的长方形 (a＞b)，沿图中虚线用剪刀将其平均分成四个小长方形，然后用四个小 长方形拼成一个“回形”正方形(如图②). (1)观察图②，请你写出(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关系： ⁠ ⁠； (a＋b)2 －(a－b)2＝4ab （中考新考法·综合与实践） 　　　　第9题图 能力培养 如图①是一个长为4b，宽为a的长方形(a＞b)，沿图中虚线用剪刀将其 平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形 (如图②). 能力培养 (2)根据(1)中的结论，若a＋b＝4，ab＝3，则a－b的值为 ⁠； 【解法提示】因为a＋b＝4，ab＝3，所以根据(1)中结论，得(a－b)2＝ (a＋b)2－4ab＝42－4×3＝4，所以a－b＝±2，又因为a＞b，所以a－ b＝2. 2 如图①是一个长为4b，宽为a的长方形(a＞b)，沿图中虚线用剪刀将其 平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形 (如图②). 能力培养 (3)如图③，已知四边形ABCD和四边形MFHP都是正方形，且AB的长 为x，AE＝3，CG＝5，长方形EFGD的面积是20，四边形NDGH是正 方形，求图中阴影部分的面积. [此考法山西、广西等地中考已考查] 能力培养 解：(3)由题可得，AB＝x，AE＝3，CG＝5， 所以DE＝x－3，DG＝x－5， 所以S长方形EFGD＝(x－3)(x－5)＝20， 设m＝x－3，n＝x－5，则mn＝20，m－n＝2， 所以S阴影部分＝(m＋n)(m＋n)＝(m＋n)2， 根据(1)中结论，得S阴影部分＝(m＋n)2 ＝(m－n)2＋4mn ＝22＋4×20 ＝84， 所以图中阴影部分的面积为84. 能力培养 $