专题03直角三角形.垂直平分线与角平分线寒假预习讲义(知识梳理+题型精析+题型突破)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题03直角三角形.垂直平分线与角平分线 【寒假预习讲义】 夯实基础定理：精准掌握直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的定义、核心性质与判定定理，搭建“定理理解—几何语言转化—实操应用”的完整能力链； 精通作图实操：熟练掌握线段垂直平分线、角平分线两类尺规作图的规范步骤，理解各步骤的原理逻辑，确保作图准确规范； 提升应用能力：能灵活运用上述定理解决边长计算、线段相等证明等基础题型，同时规避直角边与斜边混淆、判定定理条件遗漏等高频误区，为新学期几何推理学习筑牢根基。 必备知识 点梳理 1.直角三角形 2.线段的垂直平分线 3.角平分线 4.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.直角三角形的锐角互余性质 2.直角三角形的判定(两角互余) 3.命题与逆命题的书写及辨析 4.线段垂直平分线的性质定理 5.线段垂直平分线的判定定理 6.尺规作图:过点作已知直线的垂线 7.角平分线的性质定理及几何意义 8.角平分线的判定定理及应用 9.角平分线性质的实际应用 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.直角三角形】 1.直角三角形的定义 有且只有一个内角是直角（度数为 90°）的三角形，叫做直角三角形。组成直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边，斜边是直角三角形中最长的边。 2.直角三角形的性质 （1） 角的性质：直角三角形的两个锐角互余。推导依据：三角形内角和为 180°，减去直角的 90°，剩余两个锐角的和为 90°。 （2） 斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。注意：该性质为直角三角形特有，普通三角形不具备这一结论。 （3） 30° 锐角的特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4） 30° 锐角的逆性质：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°。 （5） 边的性质（勾股定理）：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长度分别为a、b，斜边长度为c，则公式表达为 a2+b2=c2。 3.直角三角形的判定 （1） 定义判定法：有一个角是 90° 的三角形是直角三角形。 （2） 角关系判定法：有两个角互余的三角形是直角三角形。推导依据：两个角的和为 90°，则第三个角必然为 90°。 （3） 边关系判定法（勾股定理的逆定理）：如果一个三角形的三条边满足 “两条较短边的平方和等于最长边的平方”，那么这个三角形是直角三角形。若三角形三边长度分别为a、b、c（c为最长边），且a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形。 4.直角三角形全等的判定 （1） 通用判定定理：一般三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）完全适用于直角三角形。 （2） 特殊判定定理（HL 定理）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。注意：HL 定理仅适用于直角三角形，不能用于判定普通三角形的全等。 【知识点02.线段的垂直平分线】 1.线段垂直平分线的定义:既垂直于一条线段，又平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称为线段的中垂线。 注意：线段的垂直平分线是直线，不是线段或射线，它可以向两端无限延伸。 2.线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 3.线段垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 4.三角形三边垂直平分线的性质 （1） 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心。 （2） 外心到三角形三个顶点的距离相等。 （3） 外心的位置与三角形形状相关： 锐角三角形的外心在三角形内部； 直角三角形的外心在斜边的中点处； 钝角三角形的外心在三角形外部。 （4） 外心是三角形外接圆的圆心，这个外接圆的半径就是外心到任意一个顶点的距离。 【知识点03.角平分线】 1.角平分线的定义 从一个角的顶点出发的一条射线，如果它把这个角分成两个度数相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。 2.角平分线的性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等。关键说明：这里的 “距离” 指的是点到角两边的垂线段的长度，而非点到角两边上任意一点的线段长度 3.角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。注意：“在角的内部” 是判定的重要前提，角的外部也存在到角两边距离相等的点，但这些点不在角的平分线上。 4.三角形三条角平分线的性质 （1） 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心 （2） 内心到三角形三条边的距离相等。 （3） 无论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，内心都在三角形的内部。 （4） 内心是三角形内切圆的圆心，这个内切圆的半径就是内心到任意一条边的距离。 【知识点04.易错点总结】 一、 直角三角形 1.HL 定理仅适用于直角三角形，需满足斜边和直角边对应相等，不可用于普通三角形。 2.勾股定理a2+b2=c2中c是斜边；逆定理判定需先找最长边再验证。 3.30° 角所对的直角边等于斜边一半，不可颠倒边、角对应关系。 4.斜边上的中线等于斜边一半是直角三角形特有性质，普通三角形不适用。 二、 线段的垂直平分线 1.垂直平分线是直线，需同时满足 “垂直” 和 “平分” 线段两个条件。 2.性质定理是点到线段两端点的距离相等，不是到线段本身的距离。 3.判定直线为垂直平分线，需证直线上至少两个点到线段两端距离相等。 4.直角三角形外心是斜边中点，勿与内心位置混淆。 三、 角平分线 1.性质定理中 “距离” 是点到角两边的垂线段长度，非任意线段长度。 2.判定定理需满足 “角的内部” 这一前提，外部点不适用。 3.角平分线是射线，不是直线或线段。 4.内心是角平分线交点，在三角形内部，到三边距离相等；勿与外心（到顶点距离相等）混淆。 【题型1.直角三角形的锐角互余性质】 【典例】在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质， 根据直角三角形两锐角互余的性质求解． 【详解】解：∵直角三角形两锐角互余， ∴另一个锐角． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，中，，．若，则的度数为 ． 【答案】/38度 【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，关键是由平行线的性质推出．由直角三角形的性质求出，由平行线的性质推出． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角是50°，等腰三角形的底角度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， ∴， ∴； 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， ∴， 此时， 综上，等腰三角形的底角的度数为或． 故答案为：或． 【题型2.直角三角形的判定(两角互余)】 【典例】小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．两边相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据题意，设，则，可得，根据等边对等角可得，再由，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练2】在中，，记的面积为的周长为，下列命题中的假命题是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平方差公式的应用，由直角三角形两锐角互余可判断；由勾股定理即平方差公式可判断，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故选项是真命题，该选项不合题意； ∵， ∴, ∴ 即，故选项是真命题，该选项不合题意； ∵，， ∴，故选项是假命题，该选项符合题意； ∵的周长为， ∴， 又∵， ∴， ∴，故选项是真命题，该选项不合题意； 故选：． 【题型3.命题与逆命题的书写及辨析】 【典例】写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，即可得出答案． 【详解】解：“两直线平行，同位角相等”的逆定理是：“同位角相等，两直线平行”； 故答案为：“同位角相等，两直线平行”． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．定理的逆命题一定是真命题 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论互换的命题互为逆命题． 利用逆命题、逆定理的知识对各项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，原说法错误，故本选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，原说法错误，故本选项不符合题意； D、定理的逆命题不一定是真命题，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A 【跟踪专练2】“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是 ． 【答案】平行四边形是两组对边分别相等的四边形 【分析】本题考查命题的逆命题，熟练掌握“逆命题是将命题的条件和结论互换得到的命题”是解题的关键．将原命题的条件和结论互换，即可得到逆命题． 【详解】解：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是“平行四边形是两组对边分别相等的四边形”， 故答案为：平行四边形是两组对边分别相等的四边形． 【题型4.线段垂直平分线的性质定理】 【典例】如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：18． 【跟踪专练1】如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线性质是关键．根据作图得到垂直平分，进而得到，得到，再根据三角形的内角和，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ， ， ， ， ； 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据中垂线的性质，得到，进而得到，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，于点D， ∴， 连接，如图， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，当且仅当点为与的交点时取等号， ∵，，的面积为， ∴， 解得：， ∴的周长 故答案为： 7． 【题型5.线段垂直平分线的判定定理】 【典例】如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理． 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：C． 【跟踪专练1】如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵在中，点D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，若，，的周长为，不能作出的中点的尺规作图是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的定义以及判定判断即可． 【详解】解：若，，的周长为， ∴， ， A、由作图可知为的垂直平分线，能作出的中点，故本选项不符合题意； B、由作图可知为的角平分线，再由等腰三角形三线合一可得能作出的中点，故本选项不符合题意； C、记两弧交点为，由作图可得是等边三角形，则，再由可得垂直平分，故能作出的中点，故本选项不符合题意； D、由作图可知为的平分线，不能作出的中点，故本选项符合题意， 故选：D． 【题型6.尺规作图:过点作已知直线的垂线】 【典例】如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点． 【答案】分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径所画两弧 【分析】本题主要考查了尺规图作过直线上一点作已知直线的垂线，根据过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法解答即可，熟练掌握过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法是解决此题的关键． 【详解】过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法如下： ①以P为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧交在直线l上点P的两旁为，； ②分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点C； ③过点C、P作直线，则直线为所求作的直线； 故答案为：分别以A、B为圆心，以大于长为半径所画两弧． 【跟踪专练1】下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，两点确定一条直线，先结合作图过程，得出都在的垂直平分线上，两点所在直线即为的垂直平分线，故这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， 即都在的垂直平分线上， ∴两点所在直线即为的垂直平分线， ∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线 故选：C 【跟踪专练2】如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．    若，，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图性质以及对角线垂直的四边形面积计算，解题的关键是依据作图步骤明确线段关系，运用对应面积公式求解．先依据作图步骤得出，垂直平分，进而得到的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，计算出结果． 【详解】解：由作图步骤可知， 步骤①中，以点P为圆心画弧，交直线l于点B，D， ， 步骤②中，分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径作弧相交于点E， 直线是线段的垂直平分线， ， ， 四边形的对角线与互相垂直， ， 故答案为：12． 【题型7.角平分线的性质定理及几何意义】 【典例】如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为3． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是 ． 【答案】42 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 过O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质可得，再由的面积是，即可求解． 【详解】解：如图，过O作于E，于F，连接， ∵分别平分和，， ∴， 即， ∵的周长是21， ∴， ∴的面积是 ． 故答案为：42 【跟踪专练2】如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线，交于点D，过点D作，垂足为E，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，30度角的性质，三角形内角和定理，等角对等边． 根据三角形内角和定理得到，由作图可知，根据角平分线的性质定理得到，根据30度角的性质得到，根据等角对等边即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【题型8.角平分线的判定定理及应用】 【典例】小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，其理论依据是 ． 【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．过两把直尺的交点作，，根据题意可得，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， 两把完全相同的长方形直尺宽度相同， ， 平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【跟踪专练1】两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 【跟踪专练2】如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是利用面积证明，属于中考常考题型． 作于M，于N，设交于O．证明，利用全等三角形的性质、角平分线的判定、等腰直角三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：如图，作于M，于N，设交于O． ∵， ∴， 在与中， ， （）， ∴，，故①正确， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∴， ∴， ∵ ∴， 故⑤正确； 若②平分成立，则， ∵， ∴，推出，由题意知，不一定等于， ∴不一定平分，故②错误， 即正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 【题型9.角平分线性质的实际应用】 【典例】在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”，由此即可求解． 【详解】解：根据角平分线的性质定理可得，要使物流服务中心到三条公路的距离相等的点为角平分线的交点， 故选：B ． 【跟踪专练1】如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 1．下面命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果且，那么 B．两直线平行，内错角相等 C．四边形是多边形 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假．写出每个命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A．逆命题为：如果，那么且． 如果，那么或．所以这个逆命题为假命题，不合题意； B．逆命题为：内错角相等，两直线平行． 这个逆命题为真命题，符合题意； C．逆命题为：多边形是四边形． 多边形不一定是四边形，所以这个逆命题是假命题，不合题意； D．逆命题为：如果，那么． 如果，那么或．所以这个逆命题是假命题，不合题意； 故选B． 2．下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是命题与定理，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，判断正误，得出结论． 【详解】解：①有两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是等腰三角形有两个角相等，逆命题正确，存在逆定理； ②全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题不正确，不存在逆定理； ③同位角相等，两直线平行，逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题正确，存在逆定理； 综上，存在逆定理的是①③，一共2个， 故选：C． 3．在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系是解题的关键 根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可． 【详解】解：分析各选项如下： 选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形； 选项B、∵ ∴． 又∵三角形内角和为， ∴，故是直角三角形； 选项C、设, 则,不能构成三角形，故该选项符合题意； 选项D、设则． ∵， ∴，解得，则，故是直角三角形． 故选：C． 4．七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的编号为 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定；正确地识别图形是解题的关键．根据角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：①：由作图痕迹可知，射线为的平分线； ②：由作图痕迹可知，，， 又， ， 同理可得，， ， 射线为的平分线； ③：由作图痕迹可知，，， 可得， 又由图可知， ， ， 射线为的平分线； ④：由作图痕迹可知，，是等腰三角形， 射线是的垂直平分线， 也是的平分线． 故答案为：①②③④． 5．已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，连接，若，则的大小是 ． 【答案】/115度 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，以及三角形的内角和定理．如图，由点O到三边的距离相等，可知点O是三角形三条角平分线的交点，根据角平分线平分角，利用三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图： ， 。 ∵点O到三边的距离相等， 是三角形三条角平分线的交点， 分别平分， ，， ， ． 故答案为：． 6．如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理以及角平分线的性质，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点D作于点E，由勾股定理得，再由角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，，， ∴，， ∵平分， ∴， 即点D到的距离为3， 故答案为：3． 7．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 8．如图，在中，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．由题意可得：直线垂直平分线段，得到，推出，结合平分，可得，最后结合，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D， ∴直线垂直平分线段， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：D． 9．如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质； 设，延长到点，使，连接，延长和交于点，根据已知条件证明，即可求解． 【详解】解：延长到点，使，连接，延长和交于点，如图： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 解答题 11．如图，在中，，于点D，平分，交于点E，交于点F． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握等边三角形的判定是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质，角平分线的定义，证明，即可得答案； （2）根据等角对等边，得，由（1）的结论即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2），， ， ， 由（1）可知是等边三角形， ， ． 12．如图，已知，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2）证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 13．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理列方程求解． (1)连接，根据线段垂直平分线的性质可知，根据可得，根据勾股定理的逆定理可以判断结论成立； (2)设，可得，根据，可得：，，根据勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，即可得到的值． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ， 是直角三角形，且； （2）解：，， 设，则， ， ， 在中，， 即， (负值舍去)， ． 14．如图，点为的角平分线上一点，垂直于点．点在射线上，且． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：平分， ___________ 在和中， ___________④___________ ___________⑤___________ 【答案】(1)见详解 (2)，，， 【分析】本题考查了作垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，过点作的垂线，与的交点为点F，即可作答． （2）根据已有的过程，且结合全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，进行分析再补充完整，即可作答． 【详解】（1）解：点如图所示 （2）证明：平分， ； ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 15．在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； （2）证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03直角三角形.垂直平分线与角平分线 【寒假预习讲义】 夯实基础定理：精准掌握直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的定义、核心性质与判定定理，搭建“定理理解—几何语言转化—实操应用”的完整能力链； 精通作图实操：熟练掌握线段垂直平分线、角平分线两类尺规作图的规范步骤，理解各步骤的原理逻辑，确保作图准确规范； 提升应用能力：能灵活运用上述定理解决边长计算、线段相等证明等基础题型，同时规避直角边与斜边混淆、判定定理条件遗漏等高频误区，为新学期几何推理学习筑牢根基。 必备知识 点梳理 1.直角三角形 2.线段的垂直平分线 3.角平分线 4.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.直角三角形的锐角互余性质 2.直角三角形的判定(两角互余) 3.命题与逆命题的书写及辨析 4.线段垂直平分线的性质定理 5.线段垂直平分线的判定定理 6.尺规作图:过点作已知直线的垂线 7.角平分线的性质定理及几何意义 8.角平分线的判定定理及应用 9.角平分线性质的实际应用 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.直角三角形】 1.直角三角形的定义 有且只有一个内角是直角（度数为 90°）的三角形，叫做直角三角形。组成直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边，斜边是直角三角形中最长的边。 2.直角三角形的性质 （1） 角的性质：直角三角形的两个锐角互余。推导依据：三角形内角和为 180°，减去直角的 90°，剩余两个锐角的和为 90°。 （2） 斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。注意：该性质为直角三角形特有，普通三角形不具备这一结论。 （3） 30° 锐角的特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4） 30° 锐角的逆性质：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°。 （5） 边的性质（勾股定理）：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长度分别为a、b，斜边长度为c，则公式表达为 a2+b2=c2。 3.直角三角形的判定 （1） 定义判定法：有一个角是 90° 的三角形是直角三角形。 （2） 角关系判定法：有两个角互余的三角形是直角三角形。推导依据：两个角的和为 90°，则第三个角必然为 90°。 （3） 边关系判定法（勾股定理的逆定理）：如果一个三角形的三条边满足 “两条较短边的平方和等于最长边的平方”，那么这个三角形是直角三角形。若三角形三边长度分别为a、b、c（c为最长边），且a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形。 4.直角三角形全等的判定 （1） 通用判定定理：一般三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）完全适用于直角三角形。 （2） 特殊判定定理（HL 定理）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。注意：HL 定理仅适用于直角三角形，不能用于判定普通三角形的全等。 【知识点02.线段的垂直平分线】 1.线段垂直平分线的定义:既垂直于一条线段，又平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称为线段的中垂线。 注意：线段的垂直平分线是直线，不是线段或射线，它可以向两端无限延伸。 2.线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 3.线段垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 4.三角形三边垂直平分线的性质 （1） 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心。 （2） 外心到三角形三个顶点的距离相等。 （3） 外心的位置与三角形形状相关： 锐角三角形的外心在三角形内部； 直角三角形的外心在斜边的中点处； 钝角三角形的外心在三角形外部。 （4） 外心是三角形外接圆的圆心，这个外接圆的半径就是外心到任意一个顶点的距离。 【知识点03.角平分线】 1.角平分线的定义 从一个角的顶点出发的一条射线，如果它把这个角分成两个度数相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。 2.角平分线的性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等。关键说明：这里的 “距离” 指的是点到角两边的垂线段的长度，而非点到角两边上任意一点的线段长度 3.角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。注意：“在角的内部” 是判定的重要前提，角的外部也存在到角两边距离相等的点，但这些点不在角的平分线上。 4.三角形三条角平分线的性质 （1） 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心 （2） 内心到三角形三条边的距离相等。 （3） 无论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，内心都在三角形的内部。 （4） 内心是三角形内切圆的圆心，这个内切圆的半径就是内心到任意一条边的距离。 【知识点04.易错点总结】 一、 直角三角形 1.HL 定理仅适用于直角三角形，需满足斜边和直角边对应相等，不可用于普通三角形。 2.勾股定理a2+b2=c2中c是斜边；逆定理判定需先找最长边再验证。 3.30° 角所对的直角边等于斜边一半，不可颠倒边、角对应关系。 4.斜边上的中线等于斜边一半是直角三角形特有性质，普通三角形不适用。 二、 线段的垂直平分线 1.垂直平分线是直线，需同时满足 “垂直” 和 “平分” 线段两个条件。 2.性质定理是点到线段两端点的距离相等，不是到线段本身的距离。 3.判定直线为垂直平分线，需证直线上至少两个点到线段两端距离相等。 4.直角三角形外心是斜边中点，勿与内心位置混淆。 三、 角平分线 1.性质定理中 “距离” 是点到角两边的垂线段长度，非任意线段长度。 2.判定定理需满足 “角的内部” 这一前提，外部点不适用。 3.角平分线是射线，不是直线或线段。 4.内心是角平分线交点，在三角形内部，到三边距离相等；勿与外心（到顶点距离相等）混淆。 【题型1.直角三角形的锐角互余性质】 【典例】在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，中，，．若，则的度数为 ． 【跟踪专练2】等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角是50°，等腰三角形的底角度数是 ． 【题型2.直角三角形的判定(两角互余)】 【典例】小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 【跟踪专练1】如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 【跟踪专练2】在中，，记的面积为的周长为，下列命题中的假命题是（　　） A． B． C． D． 【题型3.命题与逆命题的书写及辨析】 【典例】写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 ． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．定理的逆命题一定是真命题 【跟踪专练2】“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是 ． 【题型4.线段垂直平分线的性质定理】 【典例】如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是 ． 【题型5.线段垂直平分线的判定定理】 【典例】如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【跟踪专练1】如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 【跟踪专练2】如图，若，，的周长为，不能作出的中点的尺规作图是（   ） A． B． B． C． D． 【题型6.尺规作图:过点作已知直线的垂线】 【典例】如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点． 【跟踪专练1】下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 【跟踪专练2】如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．    若，，则四边形的面积为 ． 【题型7.角平分线的性质定理及几何意义】 【典例】如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 【跟踪专练1】如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是 ． 【跟踪专练2】如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线，交于点D，过点D作，垂足为E，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 【题型8.角平分线的判定定理及应用】 【典例】小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，其理论依据是 ． 【跟踪专练1】两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【跟踪专练2】如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确结论的序号是 ． 【题型9.角平分线性质的实际应用】 【典例】在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【跟踪专练1】如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【跟踪专练2】如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 1．下面命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果且，那么 B．两直线平行，内错角相等 C．四边形是多边形 D．如果，那么 2．下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 3．在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的编号为 ． 5．已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，连接，若，则的大小是 ． 6．如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 ． 7．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 8．如图，在中，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 10．如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 解答题 11．如图，在中，，于点D，平分，交于点E，交于点F． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 12．如图，已知，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 13．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．如图，点为的角平分线上一点，垂直于点．点在射线上，且． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：平分， ___________ 在和中， ___________④___________ ___________⑤___________ 15．在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $