精品解析：宁夏银川市第十二中学（银川一中光华校区）2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

银川一中光华校区2025-2026学年第一学期期末质量监测 八年级数学试卷 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 以下各数中，无理数是（ ） A B. C. D. 2. 下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知点和点都在直线上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 下列命题是真命题的是（　　） A. 同角的余角相等 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 垂直于同一直线的两直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 5. 我国古代经典著作《九章算术》中有一问题：“今有黄金7枚，白银9枚，称之重适等．交易其一，金轻十二两．问金、银一枚各重几何？”，意思是：甲袋中装有黄金7枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银9枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ） A. B. C. D. 6. 在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7~8月每天的最高温度数据进行分析．如图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的是（ ） A. 在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为 B. 在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数 C. 在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度 D. 在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 请写出一个的值______，使在实数范围内有意义． 10. 第十五届全国运动会会徽由木棉、紫荆、莲花三朵花瓣交叠旋转形成，环绕花心螺旋围合一体，形成一个同心礼花，寓意粤港澳大湾区交融互通、活力无限，背靠祖国、绽放世界．如图，将会徽图案放置在平面直角坐标系中，最高点的坐标为，则该点关于轴对称的点的坐标为__________． 11. 若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为________ 12. 已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，这个一次函数的解析式是_____． 13. 一组数据为，，0，4，5，则这组数据的离差平方和为______． 14. 如图，长方形OABC放在数轴上，，，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示数为_______． 15. 如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为_______． 16. 如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为______． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． （1）按照小云的方法，求出的值； （2）老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． （1）作出关于y轴对称的，并写出两点的坐标； （2）求的面积． 20. 春秋季节人民广场放风筝已经成为银川市一道靓丽风景线，某校八年级的两位同学学习了“勾股定理”之后，想要测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③牵线放风筝的小明的身高为米．求风筝的垂直高度． 21. 如图：．求证：． 22. 为了解本组学生跳绳和跳远情况，组长小丽统计了本组8名学生的成绩，收集数据后并将数据整理成了如下的统计图表（每项运动满分为10分，9分及以上为优秀） 小丽组跳绳及跳远情况统计图 小丽组跳绳及跳远情况统计表 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 跳绳 7.625 7.5 4.48 跳远 7.625 7 0.73 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：______，_______，________； （2）你认为小丽组跳绳与跳远哪项成绩更好一些，说明理由（写出两条即可）． 23. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 … （1）在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第______次的数据是不准确的． （2）求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应的时间是多少？ 24. 根据以下素材，探索完成任务 奖品购买方案设计 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知每支钢笔的单价为元，每本笔记本的单价为元． 素材2 某学校花费元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少支 素材3 学校花费元后，文具店赠送张（）兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本数量与钢笔相同． 问题解决 任务一 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量 任务二 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案． 25 如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． （1）求点、的坐标以及直线的解析式； （2）直接写出方程组的解； （3）连接，求的面积． 26. 在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． （1）已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； （2）若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中光华校区2025-2026学年第一学期期末质量监测 八年级数学试卷 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 以下各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 由无理数的定义可知，四个数中，只有是无理数， 故选：C． 2. 下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据算术平方根、立方根的性质化简，利用二次根式加减法则计算即可判断． 详解】解：A．，故选项A不合题意； B.，故选项B不合题意； C.不等于2，故选项C不合题意； D.，故选项D符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，二次根式的加减，熟练掌握算术平方根和立方根的性质和二次根式的加减法则是解答本题的关键． 3. 已知点和点都在直线上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式可得增减性，再由增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点和点都在直线上，且， ∴， 故选：A． 4. 下列命题是真命题的是（　　） A. 同角的余角相等 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 垂直于同一直线的两直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查真假命题判定，涉及命题定义、同角的余角、平行线性质、平行线判定等知识，根据相关几何判定与性质逐项验证即可得到答案，熟练掌握相关几何知识是解决命题真假判定的关键． 【详解】解：A、同角的余角相等，是真命题，选项符合题意； B、两直线平行，同旁内角相等，是假命题，两直线平行，同旁内角互补，选项不符合题意； C、垂直于同一直线的两直线平行，是假命题，只有在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，选项不符合题意； D、两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，选项不符合题意； 故选：A． 5. 我国古代经典著作《九章算术》中有一问题：“今有黄金7枚，白银9枚，称之重适等．交易其一，金轻十二两．问金、银一枚各重几何？”，意思是：甲袋中装有黄金7枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银9枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据甲袋中装有黄金7枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银9枚（每枚白银重量相同）称重两袋相等可得方程，根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 由题意得，， 故选：A． 6. 在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7~8月每天的最高温度数据进行分析．如图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的是（ ） A. 在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为 B. 在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数 C. 在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度 D. 在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了统计中的中位数，箱线图，四分位数，正确理解定义是解题的关键．从箱线图中可获取数据的最大值、最小值和四分位数以及中位数，据此进行分析比较即可． 【详解】解：A、由箱线图可得，在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为，故错误； B、由箱线图可得，在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数为，西安每天的最高温度的中位数为，故济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数，故正确； C、箱线图反映的是整体分布趋势，并非“每一天”的温度都严格高于，济南的最低温度可能低于西安的最低温度，但济南的最高温度也可能高于西安的最高温度，因此“都高于”的表述过于绝对，故错误； D、由箱线图可得西安每天的最高温度的中位数为，西安有超过一半的天数最高温度不低于，故错误． 故选：B． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质． 根据、两种情况作答即可． 【详解】解：当时，经过一、三象限，经过一、二、三象限，无符合的选项； 当时，经过二、四象限，经过一、三、四象限，D选项符合； 故选：D． 8. 如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案．掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 【详解】解：图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得，解得， ， 令可得：，解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③正确； 当乙车没出发前，，解得； 当乙车出发后且没有追上甲，则，解得； 当乙追上甲后，令， 解得， 当乙到达目的地，甲自己行走时，， 解得， ∴综上所述，甲乙两车相距50千米时，或或或．故④错误； 综上可知正确的有①②③． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 请写出一个的值______，使在实数范围内有意义． 【答案】5（大于或等于5的实数均可） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数必须非负，由此列出不等式求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴符合题意的x的值可以为5； 故答案为：5（大于或等于5的实数均可）． 10. 第十五届全国运动会会徽由木棉、紫荆、莲花三朵花瓣交叠旋转形成，环绕花心螺旋围合一体，形成一个同心礼花，寓意粤港澳大湾区交融互通、活力无限，背靠祖国、绽放世界．如图，将会徽图案放置在平面直角坐标系中，最高点的坐标为，则该点关于轴对称的点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标变化规律，直接求出点的对称点坐标． 【详解】解：∵关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 11. 若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将二元一次方程的解代入方程，得到关于的方程，通过求解一元一次方程得到的值． 【详解】解：将代入方程， 得， 即， 解得． 故答案为：． 12. 已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，这个一次函数的解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质及一次函数解析式的求解，两一次函数图象平行，则相同，据此可以设要求的一次函数为，再将点坐标代入求出b即可． 【详解】一次函数的图象与直线平行， 则可设该一次函数的解析式为， 将点代入得，，解得， 一次函数解析式为：， 故答案为：． 13. 一组数据为，，0，4，5，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】44 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的离差平方和，先计算这组数据的平均数，再求每个数据与平均数的差的平方之和即可得到答案． 【详解】解：这组数据的平均数为 则离差平方和为 ， 故答案为；44． 14. 如图，长方形OABC放在数轴上，，，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出AC，然后根据数轴写出点P所表示的数即可． 【详解】解：∵长方形OABC的长OA为2，宽OC为1， ∴由勾股定理得，， ∴， ∵点A表示的数是2， ∴点P表示的数是． 故答案：． 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，主要是无理数在数轴上的表示，熟记定理是解题的关键． 15. 如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键．如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形外的阴影部分的面积为， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 16. 如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用表示出、、，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴． 故选：A． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟知二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可； （2）先计算二次根式乘法，再利用完全平方公式去括号，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． （1）按照小云的方法，求出的值； （2）老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组解的情况求参数，熟知加减消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）求出的结果，根据，可推出，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： 得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得， ∵关于的二元一次方程组的解满足， ∴，即， ∴， 解得． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． （1）作出关于y轴对称的，并写出两点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，则； 【小问2详解】 解：． 20. 春秋季节人民广场放风筝已经成为银川市的一道靓丽风景线，某校八年级的两位同学学习了“勾股定理”之后，想要测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③牵线放风筝的小明的身高为米．求风筝的垂直高度． 【答案】风筝的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度． 【详解】解：在中， 由勾股定理得，（米）， 则（米）， 答：风筝的高度为米． 21. 如图：．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据，可得，再结合，推出，利用内错角相等两直线平行即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 为了解本组学生跳绳和跳远情况，组长小丽统计了本组8名学生的成绩，收集数据后并将数据整理成了如下的统计图表（每项运动满分为10分，9分及以上为优秀） 小丽组跳绳及跳远情况统计图 小丽组跳绳及跳远情况统计表 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 跳绳 7.625 7.5 4.48 跳远 7.625 7 0.73 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：______，_______，________； （2）你认为小丽组跳绳与跳远哪项成绩更好一些，说明理由（写出两条即可）． 【答案】（1）；； （2）跳绳好一些，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数，熟练掌握平均数，中位数，众数的意义是解题的关键． （1）根据中位数、众数、优秀率的定义解答即可； （2）分别从中位数和优秀率来分析即可求解． 【小问1详解】 解：将跳远的成绩按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，，； 位于中间的两个数为和， 故中位数为：； 将跳绳的成绩按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，，； 出现次数最多的是分， 故； 优秀率为， 故； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：跳绳的成绩较好；理由如下： ①跳绳与跳远的平均数相同，都是，但跳绳的中位数大于跳远的中位数，所以跳绳成绩比跳远的成绩好； ②跳绳与跳远的平均数相同，都是，但跳绳的优秀率大于跳远的优秀率，所以跳绳成绩比跳远的成绩好． 23. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 … （1）在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第______次的数据是不准确的． （2）求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应的时间是多少？ 【答案】（1）4 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，据此可知是错误的值； （2）设水位与时间的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式，然后把代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应， ∴第4次数据是不准确的； 【小问2详解】 解：设水位与时间的一次函数关系式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得． 即当水位为时，对应时间是． 24. 根据以下素材，探索完成任务 奖品购买方案设计 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知每支钢笔的单价为元，每本笔记本的单价为元． 素材2 某学校花费元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少支 素材3 学校花费元后，文具店赠送张（）兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本数量与钢笔相同． 问题解决 任务一 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量 任务二 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案． 【答案】任务一：购买钢笔支，笔记本本；任务二：有种方案：张兑换钢笔；张兑换钢笔，张兑换笔记本；张兑换钢笔，张兑换笔记本． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程和方程组是解题的关键． （）设购买钢笔支，购买笔记本本，根据某学校花费元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少支，列出二元一次方程组，解方程组即可； （）设其中张用来兑换钢笔，则张兑换笔记本，根据兑换后，笔记本数量与钢笔相同，列出二元一次方程，求出正整数解， 即可解决问题． 【详解】解：（）设购买钢笔支，购买笔记本本， 由题意得：， 解得， 答：购买钢笔支，笔记本本； （）设其中张用来兑换钢笔，则张兑换笔记本， 由题意得： ， 整理得： ， ∵，均为正整数， ∴或 或； ∴有种兑换方案： 有种方案：张兑换钢笔；张兑换钢笔，张兑换笔记本；张兑换钢笔，张兑换笔记本． 25. 如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． （1）求点、的坐标以及直线的解析式； （2）直接写出方程组的解； （3）连接，求的面积． 【答案】（1），，直线的解析式为； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合应用，待定系数法，三角形面积，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）由直线：得，当时，，则有点；将点代入直线：即可求出的值，进而得到点M的坐标；再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）由（1）直线与直线交于点，即可解答； （3）根据直线的解析式为，即可求出，由（1）知，再结合，得到，根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由直线：得，当时，解得， ∴， 将点代入直线：中，得，即， ∴， 把代入直线，得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）直线与直线交于点， ∴方程组的解为； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵直线的解析式为， 将代入，得， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． （1）已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； （2）若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】（1）①；②或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【小问1详解】 ①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或， ∴点的坐标为或； 小问2详解】 解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图， ∴，即的值为； 当，时， 同理，得，即的值为； 综上，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $