精品解析：广东省惠州市第八中学2025-2026学年高二上学期第二次段考（1月）数学试题

惠州市第八中学2025～2026学年第一学期高二第二次段考 数学试题 2025.1 说明：1、本卷总分150分，考试时长120分钟. 2、考生必须用黑色钢笔或签字笔在答题卷指定范围内作答，答在试题卷上无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合直线倾斜角与斜率的关系及斜率公式计算解得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，则. 故选：B. 2. 方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程及焦点位置列不等式求解. 【详解】由方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，得，解得， 所以k 的取值范围为. 故选：C 3. 据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（ ） A. 38盏 B. 32盏 C. 26盏 D. 18盏 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式与通项公式解决实际问题. 【详解】由题知：塔的每层灯数构成等差数列，则 首项为 ，公差 ，项数 ，， 根据等差数列前 项和公式： ， ， 计算化简：即， 所以根据等差数列通项公式： ，代入 、、， . 故选：C. 4. 圆和圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出公共弦的方程，再利用垂径定理求出弦长. 【详解】由圆，得， 又圆，两圆方程作差可得两圆交点所在的直线方程为， 又因为圆心到直线的距离， 故两圆公共弦长为． 故选：A． 5. 设数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，计算数列前5项确定周期，进而求出指定项. 【详解】数列中，，且，则， ，因此数列是周期为4的数列， 所以. 故选：C 6. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以点到直线的距离是. 故选：D. 7. 直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，作出图象，利用直线与半圆有两个交点求出b的取值范围. 【详解】是斜率为1的直线， 曲线即，是以原点为圆心，2为半径的右半圆，画出它们的图象如图， 当直线与圆相切时，，解得，或（舍去）， 当直线过时，，直线与半圆有两个公共点； 由图可以看出：当时，直线与半圆有两个公共点. 故选：B. 8. 已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出符合题意的图形，利用椭圆的定义建立齐次方程，进而求解离心率即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，找到椭圆的右焦点，连接， 由椭圆的对称性可得四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是矩形，可得， 因为，所以，则是等边三角形， 由矩形性质得，由等边三角形性质得，， 结合题意可得，由椭圆的定义得， 可得，化简得，故A正确. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则在上的投影向量为 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算判断A，根据投影向量的定义判断B，根据向量模的坐标表示判断C，由求出的范围，即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：当时，，则，， 所以在上的投影向量，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C错误； 对于D：若与的夹角为钝角，则，解得， 若，则，方程无解，所以与不共线， 所以若与的夹角为钝角，则，故D错误. 故选：AB 10. 已知点A是圆上任意一点，点是直线与轴的交点，为坐标原点，则（ ） A. 以线段为直径的圆周长最小值为 B. 面积的最大值为 C. 以线段为直径的圆不可能过坐标原点 D. 的最大值为25 【答案】ABD 【解析】 【分析】当三点共线，，可判断；，当时，面积最大，可判断；设以线段为直径的圆过坐标原点，利用直径所对的圆周角为直角科判断；设点，利用数量积的坐标运算可判断. 【详解】由题意得圆圆心，半径，点， 对于：如图所示，易知， 当且仅当三点共线，且点在线段上时，等号成立， 故线段为直径的圆周长最小值为，故正确； 对于：， ， 所以当时，面积的最大，最大值为，故正确； 对于：若以线段为直径圆过坐标原点， 由直径所对的圆周角为直角可得， 易知当点在轴上时，满足题意， 所以以线段为直径的圆可能过坐标原点，故错误； 对于：设点，易知，， 则， 所以， 即的最大值为25，故正确； 故答案为：. 11. 已知正方体ABCD－EFGH棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（    ） A. 存在点P，使得 B. 存在唯一点P，使得 C. 当，此时点P的轨迹长度为 D. 当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P－ABM的外接球体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先建系结合点关于平面对称得出距离和最小值判断A，应用空间向量数量积坐标运算计算求解判断B，C，应用直角三角形得出球心及半径结合球的体积公式判断D. 【详解】以D为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． ，设P点坐标为，， ，为求的最小值， 点A关于平面的对称点，设该点为，则点坐标为， ∴，故A选项错误． 由可得，故B选项正确． 时，即，， 得到， 点P轨迹是棱中点与棱中点间的线段，其长度为线段的一半，即长为．故C选项正确． 当P为底面的中心时，由B选项知且， ∴外接球球心为棱的中点，从而求得球半径为，，故D选项正确． 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦距及方程求得，然后代入焦点在y轴上的双曲线渐近线方程求解即可 【详解】由题意可知，又，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为. 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为_____. 【答案】13 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义将的周长进行转化，最后根据几何性质求出周长的最小值. 【详解】因为，故， 记抛物线C的准线为l，则， 记点P到l的距离为d，点到l的距离为， ， 故答案为： 14. 已知直线，圆，直线l与圆C交于两点，则弦长的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知直线方程求出直线过的定点，再求出定点到圆心的距离，比较与半径的大小确定定点与圆的位置关系，进而确定弦长最小时直线与圆的位置关系，最后利用弦长公式求解． 【详解】 ， 直线经过直线与的交点， 圆的圆心为，半径为， 点到圆心的距离，即点位于圆内， 当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）n为何值时，取得最大值并求其最大值. 【答案】（1） （2），取得最大值56 【解析】 【分析】（1）根据与关系求解； （2）法一，利用二次函数求最值；法二，由项的符号求最值. 【小问1详解】 由题意可知：， 当时，， 当时，， 当时，，符合， ∴数列的通项公式； 【小问2详解】 法一：， 由二次函数图象及知或时，取得最大值56. 法二：当时，， 当时，， 当时，， 所以当或时，有最大值. 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，用的坐标表示点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【小问1详解】 设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则． 因为，所以， 所以直线的方程为． 由，得， 所以圆心， 半径， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 设点． 因为点的坐标为，所以即 又点在圆上运动，所以， 即线段的中点的轨迹方程为． 17. 已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可； （2）联立方程，根据求出的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于的方程，求解即可. 【小问1详解】 由题意得：，所以， 点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为：． 【小问2详解】 直线的方程为： 联立，消去后，得关于的一元二次方程， 化简得， 由题意知，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， 所以，化简得，解得，即， 经检验符合题意. 18. 如图，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证得直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）设出点坐标，利用异面直线夹角的向量法列式求解. 【小问1详解】 由平面平面，平面平面，平面， ，得直线平面，而四边形是正方形，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， 依题意，是平面的一个法向量，又， 则，而直线平面，所以平面. 【小问2详解】 ， 设平面CPB的法向量为 ，则，取，得， 设平面PQB的法向量为 ，则，取，得 ， 设平面与平面夹角为，则， ，所以平面与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由点H在PD上，设，则， 依题意，，而，解得， 所以线段的长为. 19. 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． （1）求抛物线的标准方程及其准线方程． （2）求证：为定值． （3）求证：直线过定点，并求出该定点． 【答案】（1）标准方程为，准线方程为； （2） 设点P的坐标为，， 由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为，则切线的方程为， 联立方程组，消去，得， ∴得（*）， 又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3） 由题知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，整理得，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 代入有， ∴， ∴且， ∴，故直线过定点． 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，代入计算即可得证． 【小问1详解】 由题意知抛物线的标准方程为（）且， ∴，抛物线的标准方程为，准线方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市第八中学2025～2026学年第一学期高二第二次段考 数学试题 2025.1 说明：1、本卷总分150分，考试时长120分钟. 2、考生必须用黑色钢笔或签字笔在答题卷指定范围内作答，答在试题卷上无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（ ） A. 38盏 B. 32盏 C. 26盏 D. 18盏 4. 圆和圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 5. 设数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则在上的投影向量为 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 10. 已知点A是圆上任意一点，点是直线与轴的交点，为坐标原点，则（ ） A. 以线段为直径的圆周长最小值为 B. 面积的最大值为 C. 以线段为直径的圆不可能过坐标原点 D. 的最大值为25 11. 已知正方体ABCD－EFGH棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（    ） A. 存在点P，使得 B. 存在唯一点P，使得 C. 当，此时点P的轨迹长度为 D. 当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P－ABM的外接球体积为 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为______. 13. 已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为_____. 14. 已知直线，圆，直线l与圆C交于两点，则弦长的最小值为____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）n为何值时，取得最大值并求其最大值. 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 17. 已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 18. 如图，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长. 19. 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． （1）求抛物线的标准方程及其准线方程． （2）求证：为定值． （3）求证：直线过定点，并求出该定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $