精品解析：吉林省吉林市外五县各高中2025-2026学年高一上学期1月期末联考数学试题

高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 函数在上的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 对于函数，下列判断正确的是（ ） A. B. 当时，方程总有实数解 C. 函数值域为 D. 函数的单调递增区间为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________ 13. 已知函数的定义域为，满足，当时，的定义域为，则___________. 14. 定义在上的奇函数满足，且函数在上单调递减，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知全集， ，． （1）若，求； （2）若“”是“”充分条件，求实数m的取值范围． 16 已知函数． （1）若，求实数x的取值范围； （2）求的值域． 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数图象的对称中心的坐标和对称轴方程． 18. 某大学科研小组自2023年元旦且开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为（单位：），此后每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. （1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； （2）该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积的7倍？ 19. 已知函数是定义在上的偶函数． （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的，都有恒成立，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解方程，将根用列举法表示即可. 【详解】解方程，得或， 所以方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为. 故选：A． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用具体函数定义域的求法可得答案. 【详解】要使函数有意义，必须， 解得且， 则函数的定义域为， 故选：D． 4. 函数在上的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数单调性，再求最大值. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时取最大值为. 故选：C． 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过指数函数和对数函数的单调性结合中间值“0”即可比较大小. 【详解】因函数是增函数，则有. 又因函数是上的减函数，则， 故． 故选：D． 6. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立，可得判别式，即可求得答案. 【详解】因为不等式对恒成立，所以，解得． 故选：C． 7. 已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数在R上单调递增，结合反比例和二次函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由反比例函数及二次函数的单调性可知， 若函数在R上单调递增， 有， 可得． 故选：C 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数图像性质可得单调区间长度小于等于半周期，即可得，再利用整体代换法即可求得， 取即可得出结果. 【详解】函数的最小正周期， 所以，即． 当时，， 依题意知，， 解得，又 ∴当时成立，． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】将平方，根据题意结合同角的三角函数关系以及正弦二倍角公式可求，判断AB；求出的值后，结合余弦的二倍角公式可求，判断CD. 【详解】由题意知，且，则 即，故， 所以，故A错误，B正确； 又，结合，所以，， 所以， 所以，故C正确，D错误． 故选：BC． 10. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由题目可知，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； ，当且仅当时，等号成立，故B正确； 因为， 则，当且仅当时，等号成立，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：ABC. 11. 对于函数，下列判断正确的是（ ） A. B. 当时，方程总有实数解 C. 函数的值域为 D. 函数的单调递增区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，求出，从而得到； B选项，举出反例即可； C选项，，利用基本不等式求出时，结合函数奇偶性得到函数值域； D选项，举出反例. 【详解】对于，因为，故 所以，所以A正确； 对于B，当时，，，，无解，所以B错误； 当时，，其中由基本不等式得，当且仅当，时，等号成立，所以， 又由A选项可知为奇函数， 故当时，，所以函数的值域为，C正确； ∵， 在上不可能单调递增，所以D错误. 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用对数的运算公式化简求值. 【详解】， 从而， 故答案为： 【点睛】本题主要考查对数的运算和换底公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13. 已知函数的定义域为，满足，当时，的定义域为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及周期性即可代入求解. 【详解】，故为上的奇函数， ，则， ，，为周期为4的周期函数， . 故答案为： 14. 定义在上的奇函数满足，且函数在上单调递减，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由为奇函数，然后说明为奇函数，又在上单调递减，由奇函数性质可知在整个实数上单调递减，构造不等式，利用单调性解之即可． 【详解】因为为上的奇函数， 所以， 由，则 ， 所以也为奇函数， 又函数在上单调递减， 由对称性可知，在上递减， 又因为， 所以 所以， 即， 所以， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知全集， ，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由集合的补集与交集运算求解即可； （2）将“”是“”的充分条件转化为集合的关系：，然后由集合的包含关系求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 若，， 所以； 小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以，即实数m的取值范围是． 16. 已知函数． （1）若，求实数x的取值范围； （2）求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数单调性可得，结合二次不等式运算求解即可； （2）根据二次函数分析可知，结合指数函数性质求值域. 【小问1详解】 因为，且在定义域上单调递增， 则，解得， 所以实数x的取值范围为. 【小问2详解】 因为，当且仅当时等号成立， 且在定义域上单调递增，则， 又因为，所以的值域为. 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数图象的对称中心的坐标和对称轴方程． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）对称中心坐标为；对称轴方程为 【解析】 【分析】（1）将函数转化为，利用正弦函数的单调性求解； （2）利用正弦函数的对称性求解； 【小问1详解】 解：由． 令， 解得， 令， 解得， 故函数的增区间为， 减区间为； 【小问2详解】 令，解得， 可得函数图象的对称中心的坐标为， 令，解得， 可得函数图象的对称轴方程为． 18. 某大学科研小组自2023年元旦且开始监测某实验水域中绿球藻生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为（单位：），此后每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. （1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； （2）该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积的7倍？ 【答案】（1）第二个模型满足需求，理由见解析，其解析式为 （2）该水域中绿球生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍 【解析】 【分析】（1）根据函数增长速度选择函数模型，然后利用题目条件列式求解即可； （2）根据条件结合函数解析式列方程求解即可解答. 小问1详解】 函数模型在上都是增函数， 的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢， 因为该水域中绿球藻生长面积的增长速度越来越慢， 所以第二个函数模型满足要求， 由题意知，解得， 所以； 【小问2详解】 由题意，解得， 所以该水域中绿球藻生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍. 19. 已知函数是定义在上的偶函数． （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的，都有恒成立，求的值． 【答案】（1） （2）函数在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义可得答案； （2）利用单调性定义证明即可； （3）利用奇偶性与单调性把不等式转化成，再平方，利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案. 【小问1详解】 因为是定义在R上的偶函数， 所以， 对任意的恒成立， 所以，解得； 【小问2详解】 函数在上单调递增， 证明：由题意知， 任取，所以， 又， 又，所以，，， 所以．所以， 所以，所以． 所以函数在上单调递增； 【小问3详解】 因为是定义在R上的偶函数，所以， 即， 又函数在上单调递增， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，·· 所以， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $