精品解析：江苏省泗阳中学2025-2026学年高三上学期期末模拟数学试题（三）

高三期末模拟（三） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式和对数不等式求出两集合，再由并集运算法则求出结果. 详解】易知或； ； 所以或； 因此. 故选：B 2. 已知，则在复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先由已知求得复数z，即可确定复数对应的点所在象限. 【详解】由可得， 则在复平面内复数对应的点为，位于第四象限 故选：D 3. 设是非零向量，“”是“”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合判断. 【详解】若，则，， 而当时，还可能π，此时， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 4. 若将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点建系，计算坐标，通过向量平行的坐标关系或数量积来逐一判断. 【详解】设正方形的边长为2，取中点O点，连接， 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面，又， 故可以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， ，，， A：因为和之间并没有倍数关系，所以和不共线，则AB与CD不平行，A错误； B：因为和之间并没有倍数关系，所以和不共线，则AD与BC不平行，B错误； C：，所以与不垂直，则AB与CD不垂直，C错误； D：因为，所以，所以，D正确． 故选：D 5. 已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合对数函数的图象及函数图象的变换检验各选项即可求解. 【详解】由图可得，，， 则，故A正确；，故B正确； 因，而，故，即C错误； 当，时，，满足，故D可能成立． 故选：C. 6. 已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定直线经过的定点和垂直关系，然后确定点的轨迹是圆，进而根据直线与圆的位置关系求出最大距离即可. 【详解】因为直线与相交于点， 直线变形为，过定点； 直线变形为，过定点； 因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 的中点坐标为，半径为，所以圆的方程为. 由于圆心直线的距离为，所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 7. 已知定义在R上的奇函数，满足，，则（ ） A. 一定是奇函数 B. 一定是偶函数 C. 一定是奇函数 D. 一定是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】通过赋值求得，可得，由奇偶性可得，从而即可判断函数的奇偶性． 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且满足，(*)， 令，可得，所以，则， 代入(*)，可得，又， 则，即得， 则有， 所以为奇函数，经验证，其它选项均不符合题意． 故选：C. 8. 已知双曲线的焦点为，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点P，且轴，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴，求出的长，设圆心为，，根据圆的性质可得，求出进而得到，根据列式，求解即可求出答案. 【详解】因为轴，则点的横坐标为， 代入双曲线方程， 解得点的纵坐标为（由题意舍去），即， 圆的圆心坐标为，半径为，则圆与轴相切， 如图，设圆心为，， 根据圆的性质可得， 在中，， 则， 在中，，所以， 又，则， 等式两边同时除以得，即， 解得或（舍去）， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（ ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A. B. 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元 C. 可以估计10月份的利润为26.8万元 D. 5月份利润的残差为0.4万元 【答案】AC 【解析】 【分析】由回归方程过样本中心点即可求解判断A；由回归方程和残差定义即可逐项分析求解判断BCD. 【详解】依题意，， 将代入中，解得，故A正确； 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元，故B错误； 将代入中，得到，故C正确； 将代入中，得到，则所求残差为，故D错误. 故选：AC. 10. 已知数列满足，，则（ ） A. 是等差数列 B. ， C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据数列递推公式整理可得，即可判断；对于B，由A可得，求解范围即可；对于C， 将代入 计算即可；对于D，由，将问题转化为证明通项，再通过逐项求和求解. 【详解】对于A，由可得， 故数列是以首项为3，公差为1的等差数列，所以A正确； 对于B，由A项可得，，即（），故B正确； 对于C，因为，所以， 所以， ，故C错误； 对于D，设()，则， 当时，则在上单调递减， 当时，则在上单调递增， 所以，即， 因为，用替代，可得， 再令，可得，所以， 因，则， 所以，故D正确． 故选： 11. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且的外接圆半径为1，的面积等于，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理边角互化得，整理即可判断；对于B，根据面积关系得判断；对于C，根据得，且，再根据求解判断；对于D，先求得，再结合诱导公式与和差角公式求解判断. 【详解】因为，外接圆半径为1， 所以，整理得：，故A选项正确； 因为的面积等于 所以，即，故B选项错误； 所以由得，且， 所以， 因为， 所以，故C选项正确； 因为，，所以 所以，即 因为，， 所以，故D选项正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的加法运算法则及向量数量积的运算性质求解即可 【详解】在矩形中，因为，所以. 由平面向量的运算法则可得： . 故答案为：. 13. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点，和y轴交于D点，且A在B与D之间，若，，则与的面积之比为_____． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】设，根据抛物线的定义，求得，得到，求得直线的方程，进而求得和直线的方程，结合点到直线的距离公式，分别求得点和到直线的距离，进而得到答案． 【详解】因为抛物线C：，所以， 设，由，，且A在B与D之间， 则，解得，则， 所以，则， 所以直线的方程为，即， 令，则，所以， 所以，故直线的方程为，即， 所以点到直线的距离，点到直线的距离， 故， 故答案为：． 14. 已知函数在区间上单调，且满足，函数在区间上恰有5个零点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数单调性及可得为对称中心，则在区间上单调，可得，再利用函数在区间上恰有5个零点，可得，解出即可得. 【详解】由函数在区间上单调，， 且，故为对称中心，且， 则在区间上单调，则，解得， 由函数在区间上恰有5个零点，为第一个， 则后续零点分别为、、、， 则，化简得，则， 又，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示： 歌曲 A B C 猜对的概率 0.9 0.7 0.2 获得的公益基金额/元 800 2000 4000 规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. （1）求该嘉宾未获得猜歌曲C歌名的资格的概率； （2）设该嘉宾获得的公益基金总额为元，求的分布列及均值. 【答案】（1） （2）分布列见解析，均值为元 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件的加法概率公式和独立事件的乘法概率公式求解即可； （2）写出该嘉宾获得的公益基金总金额为随机变量的所有可能值，计算出对应的概率，即可得分布列及均值. 【小问1详解】 设“该嘉宾猜对歌曲A歌名”为事件A，设“该嘉宾猜对歌曲B歌名”为事件B， 则， 设“该嘉宾未获得猜歌曲C歌名的资格”为事件E， 则. 【小问2详解】 由题意的所有可能取值为， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 800 2800 6800 的均值为：(元). 16. 已知函数， （1）若是的极小值点，求a； （2）若存在，使，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用是极值点的条件，求导得，解得，再验证其为极小值点即可； （2）通过研究命题的否定，先得是恒成立的必要条件，再构造函数证明时恒成立，从而得原命题中a的范围是 【小问1详解】 因为，且是极值点， 所以，即，得，此时， 由得；得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以是极小值点， 综上，； 【小问2详解】 原命题的否定为，，， 假设其为真命题，则，解得， 下面证明：时，在恒成立， 因为， 令，则， 由得；得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即证. 所以当命题，使得为真命题时，， 故a的取值范围为 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知P，Q两点分别在x轴，y轴上运动，，点M满足，记M的轨迹为 （1）求E的方程； （2）设A是E上一动点，过A作两条直线，分别交E于B，C两点，若A的横坐标为1，的重心恰为原点O，求直线BC的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】通过得到，假设，再根据联立方程求解； 假设和，通过的重心恰为原点O得到，，利用点差法求解直线斜率，进而求直线方程即可. 【小问1详解】 设，，因为，所以， 设动点，则，， 因为，所以， 所以，， 所以动点M的轨迹E的方程为. 【小问2详解】 如图示，因A在曲线上，当时，， 所以或， 当时，设和， 因为的重心为原点O， 所以， 即，， 因为， 两式相减得，， 所以， 即直线的斜率为， 因为的中点为， 所以直线BC的方程为， 同理，可得，BC的中点为 所以直线的方程为， 故直线的方程为或. 18. 如图，正四棱台中，为的中点，． （1）当时， （i）求证：平面平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若正四棱台存在内切球，求正四棱台的体积． 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2） 【解析】 【分析】(1)（i）连接交于，则平面．证得平面，从而得，再证得，则平面，进而得证； （ii）以为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面的法向量，即可求直线与平面所成角的正弦值； (2) 设球为正四棱台的内切球，根据轴截面图形可求出正四棱台的高为，从而利用台体体积公式求出答案． 【小问1详解】 （i）证明：连接交于，连接，交于点，连接， 则平面． ∵平面，∴． 正方形中，，且平面， ∴平面． ∵平面，∴． ∵，∴． 连接，∵且，∴四边形为平行四边形． ∴． 连接，∵为的中点，∴． ∵平面，∴平面． ∵平面，∴平面平面． （ii）由题意，两两互相垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 连接，则，∴， ∴． ∴， ． 设平面的法向量为，则， 取，则，∴． 设直线与平面所成的角为， ∴． ∴直线与平面所成角的正弦值为． 【小问2详解】 取的中点， 连接，则． 由题意，设球为正四棱台的内切球， 则为的中点，且球与平面的切点在上，如图， 可证，， ∴．∴． 过作，垂足为，则， ∴，∴， ∴， ∴正四棱台的体积为． 19. 已知数列的前n项和为，，其中， （1）求证：数列是等比数列. （2）若数列满足，，. （i）求数列的通项公式； （ii）已知，，设，试判断是否存在m，，，使得，，成等差数列，若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在，， 【解析】 【分析】（1）通过求首项，作差得递推关系，证明等比数列； （2）（i）通过求首项，作差得递推式，累乘法求通项； （ii）先求通项，再由等差数列条件列方程，试值得解． 【小问1详解】 证明：由， 当时，，又， 故，化简得； 当时，，则， 即，则， 故数列是首项为、公比为的等比数列． 【小问2详解】 （i）由，， 当时，，由，得； 当时，， 则，化简得， 由累乘法，，， 显然也符合上式，所以 （ii）由（1）知，，则，， 则，即，解得，则，故， 则， 若，，成等差数列，则， 即，化简得. 因为，m，， 当时，，即， 因为函数为增函数，且时，，时，，因此无整数解； 当时，，即， 因为函数为增函数，且时，，则； 当时，由，得， 当时，，即，不符合题意； 当时，函数的增长速度远超过的增长速度， 则无解. 综上所述，存在m，，，使得，，成等差数列，且，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三期末模拟（三） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，则在复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设是非零向量，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的奇函数，满足，，则（ ） A. 一定是奇函数 B. 一定是偶函数 C. 一定是奇函数 D. 一定是偶函数 8. 已知双曲线的焦点为，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点P，且轴，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（ ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A. B. 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元 C. 可以估计10月份的利润为26.8万元 D. 5月份利润的残差为0.4万元 10. 已知数列满足，，则（ ） A. 等差数列 B. ， C. ， D. ， 11. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且的外接圆半径为1，的面积等于，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 13. 已知抛物线C：焦点为F，直线与C交于A，B两点，和y轴交于D点，且A在B与D之间，若，，则与的面积之比为_____． 14. 已知函数在区间上单调，且满足，函数在区间上恰有5个零点，则实数取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示： 歌曲 A B C 猜对的概率 0.9 0.7 0.2 获得的公益基金额/元 800 2000 4000 规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. （1）求该嘉宾未获得猜歌曲C歌名的资格的概率； （2）设该嘉宾获得的公益基金总额为元，求的分布列及均值. 16. 已知函数， （1）若是的极小值点，求a； （2）若存在，使，求a的取值范围. 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知P，Q两点分别在x轴，y轴上运动，，点M满足，记M的轨迹为 （1）求E的方程； （2）设A是E上一动点，过A作两条直线，分别交E于B，C两点，若A的横坐标为1，的重心恰为原点O，求直线BC的方程； 18. 如图，正四棱台中，为中点，． （1）当时， （i）求证：平面平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若正四棱台存在内切球，求正四棱台的体积． 19. 已知数列的前n项和为，，其中， （1）求证：数列是等比数列. （2）若数列满足，，. （i）求数列的通项公式； （ii）已知，，设，试判断是否存在m，，，使得，，成等差数列，若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $