精品解析：内蒙古自治区 包头市第九中学外国语学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

绝密★启用前 2025-2026学年度九年级第一学期期末教学质量监测试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、座位号、考生号等信息填写在答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息，将条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选涂其他答案． 4．答非选择题时，必须使用0．5毫米的黑色字迹签字笔书写．要求字体工整，笔迹清晰．严格按题号所示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷、草稿纸上答题无效． 5．保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、损坏．严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸和修正带．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，解题的关键是掌握俯视图即为从上面看所得到的图形．注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 根据俯视图的定义观察图形即可求解． 【详解】解：这个组合体的俯视图为： 故选：D． 2. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是（ ） A. 24 B. 16 C. 20 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直且平分的性质，可得，再利用勾股定理解得AB的长，最后根据菱形四边相等的性质解题即可． 【详解】解：由题意得，在菱形ABCD中， 在中 菱形ABCD的周长为， 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3. 在中，，， ，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数和勾股定理是解题的关键．由锐角三角函数得，再利用勾股定理，即可求出． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：A． 4. 已知，那么下列等式中不正确的是（　　） A. 3x＝2y B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积，对各选项分析求解即可判断． 【详解】解：A、∵， ∴,故本选项正确； B、由可得，故本选项正确； C、由得， ∵可得，整理得，故本选项正确； D、∵， ∴，故本选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积，并灵活运用是解题的关键． 5. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用摸到白球的频率估计其概率，即白球个数÷总球数，计算即可得出答案． 详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故选：C． 6. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且，的面积为4，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义．首先表示出的长，再利用三角形面积求出的值即可． 【详解】解：设，则，则， ∵的面积为4， ∴， ∴， ∵， 解得：． 故选：B． 7. 如图，五边形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（ ） A. 24 B. 32 C. 40 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质．根据位似图形的性质得到，即五边形的相似比为，据此即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴五边形的相似比为， ∵五边形的周长为16， ∴五边形的周长为24， 故选：A． 8. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则下列结论正确的是（ ） A 这个函数图象与轴有1个交点 B. 这个函数图象的对称轴为直线 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 这个函数有最小值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式；解题的关键在于求出函数解析式： 根据二次函数（为常数）的图象经过点，则把代入求出函数解析式，再根据的图象与性质分别判断各选项即可． 【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象经过点， ∴， 解得：或， ∵对称轴在轴左侧， ∴， 解得：， ∴， ∴解析式为， ∴， ∴抛物线与轴没有交点，故A错误，不符合题意； 而对称轴为直线，故B错误，不符合题意； ∵，对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而增大，故C错误，不符合题意； ∵，开口向上， ∴当时，这个函数有最小值，正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上 9. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：2． 10. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，且电路中只有一个电阻，通过的电流I（单位：A）与电阻R的阻值（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为______A． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键．设该反比函数解析式为 ，根据当 时， ，可得该反比函数解析式为 ，再把代入，即可求出电流. 【详解】解：设该反比函数解析式为，由题意得： ， 解得：， ∴该反比函数解析式为， 当 时，. 故答案为：2． 11. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则点，之间的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线及勾股定理，先根据勾股定理求出的长，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵公路与互相垂直，的长为，的长为， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在边长为6的正方形的外侧，作等腰三角形，，若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过E作的垂线交于M，于N，于P，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，根据正方形的性质得到，推出四边形是矩形，得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】过E作的垂线交于M，于N，于P， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， 与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先将二次根式化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值运算，再加减运算即可解答； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ； （2）解：， 整理得， 因式分解得， 或， 解得，． 14. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由乘以A的占比即可求解圆心角即可解决问题； （2）求出D、C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共调查的学生人数为：（名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为：， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：D的人数为：（人） ∴C的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：画树状图如下：     共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 15. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元个，测算在市场中，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ （3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元 （3）当时，最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． （3）设利润为，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元． 【小问3详解】 设利润为，则 ∴当时，最大，最大利润元 16. 如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点，当，时，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）先判定为平行四边形，再根据菱形的性质进行证明即可； （2）根据的直角三角形的性质求出进而求出，再根据相似三角形和勾股定理求出即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图， ∵中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 如图①，在学校实践基地矩形中，一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，如图②，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．根据种植需求规划方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植牡丹； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，，用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 为方便记录划分数据，在图②中以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求花坛所在抛物线的函数表达式； （2）若在实施过程中，进行第二步分隔时恰好用完6米材料，求与的长． 【答案】（1） （2）的长为4米，的长为2米 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解； （2）在中，，则得到，根据题意，得，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：如图②， 所在直线是的垂直平分线，且， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点是抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线上， 解得： 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：点在抛物线上， 设点的坐标为， ，交轴于点， ， ， 在中，， ， .，根据题意，得， ， 解得：(不符合题意，舍去)， ， 答：的长为4米，的长为2米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026学年度九年级第一学期期末教学质量监测试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、座位号、考生号等信息填写在答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息，将条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选涂其他答案． 4．答非选择题时，必须使用0．5毫米的黑色字迹签字笔书写．要求字体工整，笔迹清晰．严格按题号所示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷、草稿纸上答题无效． 5．保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、损坏．严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸和修正带．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，菱形ABCD两条对角线相交于O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是（ ） A. 24 B. 16 C. 20 D. 32 3. 在中，，， ，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知，那么下列等式中不正确的是（　　） A. 3x＝2y B. C. D. 5. 一只不透明袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 6. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且，的面积为4，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，五边形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（ ） A. 24 B. 32 C. 40 D. 48 8. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则下列结论正确的是（ ） A. 这个函数图象与轴有1个交点 B. 这个函数图象的对称轴为直线 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 这个函数有最小值 二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上 9. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是________． 10. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，且电路中只有一个电阻，通过的电流I（单位：A）与电阻R的阻值（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为______A． 11. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则点，之间的距离是________． 12. 如图，在边长为6的正方形的外侧，作等腰三角形，，若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. （1）计算： （2）解方程： 14. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 15. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元个，测算在市场中，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ （3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 16. 如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点，当，时，直接写出长． 17. 如图①，在学校实践基地矩形中，一个花坛轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，如图②，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．根据种植需求规划方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植牡丹； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，，用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 为方便记录划分数据，在图②中以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求花坛所在抛物线的函数表达式； （2）若在实施过程中，进行第二步分隔时恰好用完6米材料，求与长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $