数列与不等式 专项训练-2026届高三数学一轮复习

数列与不等式 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考 一、单选题 1．已知等差数列满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知等比数列的公比为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知实数构成公差为的等差数列，若，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的公差，等比数列的公比，且，.设为的前项和（），则下列结论中正确的是（    ） A．存在唯一的公比，使得 B．存在，使得恒成立 C．若，当时，恒成立 D．当时，恒成立 7．已知数列满足，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．是递增数列 二、多选题 8．已知数列满足，，且，则（   ） A． B． C．当时， D． 9．（多选）已知数列的前n项和为，设，数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（   ） A． B．是等差数列 C．为偶数 D． 11．已知等比数列中，，，为数列的前项和．下列说法正确的是（    ） A．或 B．或 C．若，则 D．若，则 12．设数列满足，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知数列满足：，数列是递增数列，则实数的取值范围为 ． 14．对数列，，对于任意的，都有，若对于任意的恒成立，则的最大值为 ． 四、解答题 15．已知数列的各项均为正数，其前n项和记为，满足，，其中为非零常数. (1)若数列为等差数列 （ⅰ）求； （ⅱ）记数列的前n项和为，若对恒成立，求实数t的取值范围； (2)若，求数列的通项公式及. 16．如图所示，，是抛物线上的一系列点，其中，，记直线、的斜率分别为，，. (1)证明是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)记的面积为，求； (3)若，，.求证：. 注：中，若，，则面积. 17．已知数列，若，且． (1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，且数列的前n项和为，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围． 18．已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式． (2)记，证明：． (3)记（），证明：． 19．已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A A D B ACD BD ABD 题号 11 12 答案 AC ABD 1．C 【分析】由已知可推得，根据方程有解得，即可得范围. 【详解】若数列公差为，， 即，所以， 由题，关于的一元二次方程有解，则，解得或， 故的取值范围为. 故选：C 2．B 【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由数列是递增的，则对恒成立， 即， 整理可得，对恒成立， 因函数在时单调递增，则得. 故选：B 3．A 【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式与不等式的性质，分析出成立的充要条件，进而判断即可. 【详解】根据题意，成立时，有， 结合，得，即， ①当时，可得，所以，即； ②当时，为偶数时，，可得，所以， 为奇数时，，可得，所以， 因此不存在满足成立， 综上所述，成立的充要条件是， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．A 【分析】由题意设，，求出，构造函数，求导判断其单调性，可得值域． 【详解】由实数构成公差为的等差数列，所以设， 则，所以， 构造函数，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以的最小值为， 当时，，当从负方向趋近于时，， 所以，所以或， 所以的取值范围为． 故选：A． 5．A 【分析】由数列是单调递增数列可知当时，单调递增，当时，单调递增，且，列出不等式，解不等式即可. 【详解】数列是单调递增数列， 可知当，时，单调递增，即或，解得； 当时，单调递增恒成立， 且，即； 解得， 所以若数列是单调递增数列，则， 故选：A. 6．D 【分析】对于A，列出方程组求出判断；对于B，根据题意可知存在，使得即可判断；对于C，求得，易得即可判断；对于D，根据题意，时，可证得，即，得到，再利用即可判断. 【详解】对于A，由题得，解得不符合题意，故A错误； 对于B，，又，则， 当时，即，解得， 又，所以存在，使得，故B错误； 对于C，，则，， 时，，则，故C错误； 对于D，， ， ， 又，所以当时， ， 即时，，又，，则， 所以， 即，故D正确； 故选：D. 7．B 【分析】由题意，，两式相减求出数列的通项公式，再结合对数的运算性质判断ABD，设，记，利用导数可得在上恒成立，进而利用放缩判断C. 【详解】因为， 所以, 两式相减得，则， 则，所以，A说法错误； ，，而，故B说法正确； 设，记，则 故，即在上恒成立， 所以，故C错误； ， 所以，故不是递增数列，D说法错误； 故选：B 8．ACD 【详解】根据三角恒等变换计算得，再利用累乘法求得数列的通项公式为判断AB；根据三角函数单调性判断C；由同角三角函数之间的基本关系，结合函数单调性推理D. 【分析】对于B，由， 得， 即，整理得， 当时，， 满足上式，因此，B错误； 对于A，，即，又，解得，A正确； 对于C，当时，，又，因此，即，C正确； 对于D，由，得，又，， 因此，令函数，求导得， 函数在上单调递增，，即， 因此，即，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角函数恒等变换以及累乘法得出数列满足，再根据三角函数单调性以及平方关系计算可得相应结论. 9．BD 【分析】先由题设结合依次求出、、，由基本不等式即可计算判断A；由数列单调性即可计算判断B；构造函数，并利用导数工具研究该函数性质得到即可分析计算判断C；先由C得到则，接着构造函数并利用导数工具研究函数性质得到即可判断D. 【详解】因为的前n项和为， 所以当时， 当时，， 满足，故，则，， 对于A，，当且仅当时，等号成立，A错误； 对于B，因为，均单调递增，所以，B正确； 对于C，设，则， 所以在上单调递减，故，故， 故， 故，C错误； 对于D，由C选项的分析可知，则， 设，则，故在上单调递增， 故，即， 故，故，D正确． 故选：BD 10．ABD 【分析】根据题意，利用累加法得即可判断ABC选项，对于D，，再根据裂项相消法可得的和，接着简单放缩即可判断. 【详解】根据题意，当时，， 累加得， ，易知也满足，所以， ，故A正确； ，故B正确； 为奇数，故C错误； ，， ， ， 即，故D正确； 故选：ABD. 11．AC 【分析】根据等比数列通项公式计算得出通项，再分类讨论应用通项公式及求和公式计算求解判断各个选项. 【详解】等比数列中，，，设为数列的公比． 所以，所以或. 当时，； 当时，，所以A选项正确，B选项错误； 若，则，则，C选项正确； 若，则当，则，D选项错误； 故选：AC. 12．ABD 【分析】结合二次函数的性质可判断A；由放缩法可得即可判断B；由放缩法可得，再由累乘法可得，可判断C；由累加法可得，即可判断D. 【详解】对于A，，因为， 根据二次函数的性质，所以，所以，故A正确； 对于B，， 所以， ，，所以，故B正确； 对于C，， ， 所以，累乘可得：， 所以， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以，数列的前项和为， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题C选项的关键是通过由放缩法得到，对不等式两边取对数可得，再由累乘法得到，进而证得. 13． 【分析】根据递增数列的定义列不等式组求解即得. 【详解】因为，且为递增数列， 所以，即，解得， 故答案为： 14． 【分析】先求数列的通项公式，再分析数列的单调性，求其最小值即可. 【详解】根据题意，令，则，所以数列为等比数列，且，公比， 所以. 对数列，由. 随着的增大，的值越来越大. 且当时，；当时，. 所以数列的最小值为：. 由对于任意的恒成立，则的最大值为. 故答案为： 15．(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)， 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解（ⅰ），利用裂项求和化简，进而分离参数，利用对勾函数的单调性求解最值，即可求解（ⅱ）， （2）根据的关系作差可得数列的奇偶项均为等差数列，进而可求解通项，利用等差数列求和公式结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，而，解得， 当时，，解得 （ⅰ）由数列为等差数列，得， 则，解得， 则，，公差为2，. （ⅱ）记 则 则对恒成立，即对恒成立， 因在上单调递增，故时，取到最小值， 所以的取值范围是. （2）当时，有，， 两式相减，整理得， 而，故得， 当时，，解得， 故数列的奇数项是首项，公差为3的等差数列， ； 数列的偶数项是首项，公差为3的等差数列， ， 时，数列的通项公式是； 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 时，数列的前项和为：. 16．(1)证明见解析； (2) (3)证明见详解 【分析】（1）由已知可得,由累加法可得的通项公式; （2）利用（1）的结论求得,可求; （3）放缩法可得,可证结论. 【详解】（1），同理, 由，得，又, 所以，则是首项为,公比为的等比数列, 所以, （2）由(1)可得 令，则，同理可得 所以，即 （3）由(2)可得,，由， 可得，则 所以 【点睛】关键点点睛：第三问关键点在于利用放缩法可得进而可求证. 17．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据得到是首项为2，公比为2的等比数列，据此即可得到数列的通项公式； （2）根据与（1）求出，进而求出，求出，要使不等式对任意正整数n恒成立，即求出最大值，解出不等式组即可. 【详解】（1），， 又，是首项为2，公比为2的等比数列， ，； （2），且结合（1）得， ， ， 要使不等式对任意正整数n恒成立， 只要，即， 由题意可得，解得，只需，解得， 综上所述，实数a的取值范围是． 18．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据与关系即可求得答案； （2）由（1）求出，将放缩，和再求和得证； （3）由，从第3项开始放缩求和，得证. 【详解】（1）由，可得． 当时，，解得， 当时，，整理得（）， ∴数列是以2为首项、2为公比的等比数列， ∴. （2）∵， ∴． 又， ∴．结论得证. （3）由题意知， ，得证. 19．(1)，； (2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为. 【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得. (2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，， 取，当时，，取，即可证得题中的不等式； (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $