数列的综合问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

数列的综合问题 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考 一、单选题 1．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 2．已知等差数列的公差不为0，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为（    ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2013 3．函数的图象犹如两条飘逸的绸带，因而被称为飘带函数．若在数列中，，且，记的前项积为，数列的前项和为，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，且函数．当时，函数恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，则的最小值为（    ） A．20 B．21 C．100 D．101 6．在递增数列中，，．已知表示前n项和的最小值，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列的首项为，若的前n项积，则（   ） A．数列有最大项，无最小项 B．数列无最大项，有最小项 C．数列有最大项，有最小项 D．数列无最大项，无最小项 二、多选题 8．某植物基因型为Aa的亲本个体自交，第1代中杂合子Aa出现的概率为，纯合子AA和aa出现的概率分别为，之后每一代个体都自交，记第n代中杂合子Aa出现的概率为，纯合子AA出现的概率为，则（    ） A．数列是等比数列 B．第5代中杂合子Aa出现的概率为 C．数列是等差数列 D．第5代中纯合子AA出现的概率为 9．对于给定数列，如果存在常数使得对于任意都成立，我们称数列是“数列”．下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是“数列” B．若，则数列是“数列” C．若数列是“数列”，则数列是“数列” D．若数列满足为常数，则数列前2024项的和为 10．过圆内一点有条弦的长度成等差数列，数列的首项等于过点的最短弦的长度，等于过点的最长弦的长度，若公差，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为，则（），记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 三、填空题 12．已知正项等比数列的前n项和为，且，若恒成立，则m的一个可能取值为 ． 13．等差数列公差为2，等比数列的首项为1，公比为2，若集合的元素个数恰有2个，则等差数列的首项的取值范围是 ． 14．记为数列的前n项和，且，已知每一项中每个数字出现的可能性相同，则是奇数的概率为 ． 15．已知数列中，（为自然对数的底数），当其前项和最小时， ． 16．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人.如果设次传球后球在甲手中的概率为，则 ； . 四、解答题 17．已知函数在上有定义，，且满足对任意有，在数列中，． (1)求证：在上为奇函数． (2)求的解析式． (3)是否存在自然数，使得对于任意，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 18．已知数列中，，， (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，证明：. 19．已知． (1)求的通项公式； (2)令，为的前项之积，求证：． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B D C B AD AC CD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】根据等比数列的性质可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可知中一个大于1，一个小于1，结合，可知，又，故， 故公比，A错误， ，故B错误， 可知，故无最大值，的最大值为，C错误，D正确， 故选：D 2．D 【分析】根据等差数列求和公式可以得到首项和公差之间的关系，进一步列出等差数列和的表达式，再结合集合的互异性排除相同大小的集合元素即可得到答案. 【详解】由，可得，且，所以， 根据二次函数的对称性：，所以集合中元素的个数为， 故选：D． 3．A 【分析】由题意可得，，从而得，利用裂项相消得，再由的单调性，即可求得的最小值，即可得答案. 【详解】，且 ． ， 易知也满足上式， 为递增数列， 当时，． 故选：A． 4．B 【分析】本题通过分析函数的对称性，结合恰好有一个零点推出数列的递推关系，进而求出． 【详解】函数，其中与的图象均关于直线对称， 故的图象关于直线对称， 因为时恰有一个零点，所以该零点为，即， 将代入，结合，可得， ，进一步可转化为， ，由此可知，数列是以为首项，公比的等比数列， 所以，，当时， ，即． 故选：B． 5．D 【分析】结合基本不等式和对勾函数的单调性确定的最小值后可得结论． 【详解】，当且仅当时取等号， 由对勾函数性质知时，是关于的单调增函数， 所以，，依此类推，， 所以的最小值是， 故选：D． 6．C 【分析】由题意依次确定数列的前9项的值，结合三角函数诱导公式，即可得答案. 【详解】由题意在递增数列中，，， 则，故， 则或，结合题意取； 又，则或， 结合题意取； 同理，则或， 结合题意取， 同理，则或， 结合题意取， 同理，则或， 结合题意取，同理可得，，， 故前9项和的最小值 ， 可得， 故选：C 7．B 【分析】由与关系可得，化简可得，从而得即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，则． 又，所以是首项为3，公差为1的等差数列， 所以，故， 所以是递增数列，故有最小项，无最大项． 故选:B 8．AD 【分析】根据递推关系可得，，即可结合选项求解ABC,利用累加法即可求解D. 【详解】由题意可得，第2代中杂合子Aa出现的概率为，第3代中杂合子Aa出现的概率为，…，故第n代中杂合子Aa出现的概率，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，A正确；，B错误； 由题意可得，第1代中杂合子Aa自交后在第2代中出现纯合子AA的概率为，所以第2代中出现纯合子AA的概率为，第2代中杂合子Aa自交后在第3代中出现纯合子AA的概率为，所以第3代中出现纯合子AA的概率为，…，故第n代中纯合子AA出现的概率，，不是等差数列，C错误； ，D正确． 故选：AD 9．AC 【分析】由“数列”的定义代入计算，即可判断ABC，由分组求和以及等比数列的求和公式代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 由“数列”的定义知，数列是“数列”，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以数列是“数列”，故B错误； 对于C，因为数列是“”，所以存在常数使得对于任意都成立， 显然对于任意都成立， 所以对于任意都成立， 数列是“数列”，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以数列前2024项的和为 ，故D错误． 故选：AC． 10．CD 【分析】将圆的方程化为标准方程的形式，其中为圆心坐标，为半径.通过配方可得圆的标准方程，从而确定圆心和半径. 过圆内一点的最短弦是与圆心和该点连线垂直的弦，最长弦是直径.根据圆的性质求出和. 再根据等差数列的通项公式，结合公差的范围求出的取值范围，进而确定可能的值. 【详解】圆的方程可化为. 所以圆心，半径. 过点的最短弦是与垂直的弦， 因为，，所以. 根据勾股定理，. 过点的最长弦为直径，所以. 由等差数列通项公式，可得，即. 因为，所以，，. 故的值可能是5或6. 故选：CD. 11．BCD 【分析】由题意（）从而可得，即，，可求得即可对A判断；由，依次两两结合相加可得可对B判断；由，，依次两两结合相加可得可对C判断；由题意可得，再将的各项依次展开，即可对D判断. 【详解】A：， ， ，A错误. B：，B正确. C： ，C正确. D：，， 即 ，，，D正确. 故选：BCD. 12．6（答案不唯一） 【分析】设等比数列的公比为，根据已知并应用等比数列通项公式求基本量，得，，问题化为恒成立求参数. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，， 即，， 两式相除得（负值舍去），则， 所以，， 由，得，所以， 又，当且仅当时等号成立， 所以，故m的一个可能取值为6. 故答案为：6（答案不唯一） 13． 【分析】由题意先求，由得，令，计算，根据题意即可求解. 【详解】由题意有，由， 所以，令，所以， 当时，， 所以， 所以， 故答案为：. 14． 【分析】记“为奇数”的概率为，“为奇数”的概率为，分析可知，然后利用等比数列通项公式求得，即可求解. 【详解】记“为奇数”的概率为，“为奇数”的概率为， 分析可知，当为奇数时，若，则仍然为奇数， 当为偶数时，若或3，则为奇数，从而， 即，即，又，， 所以数列为等比数列， 所以，即， 故． 故答案为： 15．5或6 【分析】根据已知分析数列中，当时，且，根据前项和的概念即可求解. 【详解】因为，所以当时， 且当时，， 所以数列中，当时，且， 因为， 所以最小时，或6. 故答案为：或. 16． 【分析】记n次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，利用全概率公式列式，再借助数列递推公式求通项判断作答. 【详解】记n次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，， ，则， 于是得，即， 而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，，即， 所以n次传球后球在甲手中的概率是. . 故答案为：①；②. 17．(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用赋值法结合奇函数定义求解； （2）令，再利用奇偶性求得，利用等比数列的通项公式求通项； （3）由等比数列求和公式求得，从而问题转化为恒成立，即可求解. 【详解】（1）当时，；令，得，即， 对任意的，故在上为奇函数． （2）由满足，得． 由在上为奇函数，得； 由，得， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所有． （3）， 假设存在自然数，使得对于任意，有成立， 即恒成立，则，解得． 故的最小值为16． 18．(1)证明见解析，； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题可得，据此可完成证明及得到通项公式； （2）由（1）结合做差法可完成证明. 【详解】（1）， 则数列是以为首项，公比为2的等比数列, 则； （2）由（1），则. 则 ； . 则. 19．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知可得，且，由等差数列的定义写出通项公式即可； （2）利用导数证明，进而得到， 可得，累加即可证. 【详解】（1）由，又由题意知，， 左右同时除以得， 所以，则， 故是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以，可得； （2）令函数，求导得， 在上单调递增，，即， 取，则，于是， 由（1）知，, ， 所以. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $