精品解析：黑龙江省绥化市海伦市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

黑龙江省绥化市海伦市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 亲爱的同学们，期末之考已至，回想往昔学习之路，或有荆棘，或有繁花，皆成过往，此刻，愿你们心怀沉静，如智者般思索，似勇者般笃定．凭坚毅之信念、扎实之积累，于试卷之上挥洒才情，用笔墨勾勒梦想．愿这场考试成为你们成长的注脚，镌刻努力，见证蜕变，开启未来新篇．加油吧！追光的少年们！ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 2. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（    ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间线段最短 D. 三角形具有稳定性 5. 如图，，，，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 小张学习分式的基本性质时，将中的和都扩大2倍，得到的分式的值不变，请你推测，□代表的代数式可以是（ ） A. 5 B. C. D. 7. 综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．小张同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（ ）． A. SAS B. AAS C. SSS D. 直角三角形全等的判定定理 8. 一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行所需时间与逆水航行所需时间相同，已知水流的速度是，则轮船在静水中航行的速度为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 25 9. 如图中，，是的平分线，交于点D，，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，分别以的边，为边，在的外侧作等边和等边，连接，相交于点O，与相交于点M，与相交于点N，连接，有下列结论：①；②；③平分；④其中，正确结论的个数是（    ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 计算： ________． 12. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 13. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值是______． 14. 若整式是一个完全平方式，则常数______． 15. 体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则___________． 16. 如图，在中，，，若是的角平分线，则的度数为_____． 17. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题，其大意为：现有走路慢的人先走10里，令走路快的人去追，追到100里时，已经领先走路慢的人20里．问走路快的人走到多少里时就已经追上走路慢的人？设走路快的人走到里时就已经追上走路慢的人，则可列方程___________． 18. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为_________． 19. 如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为_____． 20. 如图，，．，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时点在射线上由点向点运动．设它们运动的时间为，点的运动速度为，若刚好使得以点A、C、P为顶点的与以点B、P、Q为顶点的全等．则可以求出_________． 三、解答题（本题共60分） 21. 计算： （1） （2） （3） 22. 因式分解： （1） （2） 23. 解分式方程： （1） （2） 24. 先化简，再求值：，其中． 25. 已知的各顶点坐标分别为，，， （1）画出； （2）画出关于y轴对称的，并写出坐标； （3）请在x轴上找到一个点P，使得P点到点B、点A的距离的和最短． 26. 如图，在中，，D、E、F分别为边、、上的点，且，． （1）试说明：与全等的理由； （2）若，试求的度数． 27. 已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． （1）求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． （2）电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值． 28. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省绥化市海伦市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 亲爱的同学们，期末之考已至，回想往昔学习之路，或有荆棘，或有繁花，皆成过往，此刻，愿你们心怀沉静，如智者般思索，似勇者般笃定．凭坚毅之信念、扎实之积累，于试卷之上挥洒才情，用笔墨勾勒梦想．愿这场考试成为你们成长的注脚，镌刻努力，见证蜕变，开启未来新篇．加油吧！追光的少年们！ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握表示方法是解题关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，需熟练掌握运算法则，注意符号和指数变化． 根据合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及多项式乘法等知识逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A：，选项计算错误，不符合题意； B：由、可得，选项计算错误，不符合题意； C：，选项计算错误，不符合题意； D：，选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】 4. 如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（    ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应用方法的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 5. 如图，，，，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质求线段长，熟记全等三角形对应边相等是解决问题的关键． 由得到，表示出线段，代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 6. 小张学习分式的基本性质时，将中的和都扩大2倍，得到的分式的值不变，请你推测，□代表的代数式可以是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐项计算进行判断求解即可． 【详解】解：中的和都扩大2倍，分子变为，扩大了4倍， A、分母若为，扩大2倍，分母变为，没有扩大4倍，分数值改变，不符合题意； B、分母若为，和都扩大2倍，分母变为，没有扩大4倍，分数值改变，不符合题意； C、分母若为，和都扩大2倍，分母变为，没有扩大4倍，分数值改变，不符合题意； D、分母若为，和都扩大2倍，分母变为，扩大4倍，分数值不变，符合题意； 故选：D． 7. 综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．小张同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（ ）． A. SAS B. AAS C. SSS D. 直角三角形全等的判定定理 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握利用证明两个直角三角形全等，是解题的关键．由作图可知，，利用证明两个直角三角形全等，即可． 【详解】解：由作图可知：， 在和中， ∵， ∴（）； 故选D． 8. 一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行所需时间与逆水航行所需时间相同，已知水流的速度是，则轮船在静水中航行的速度为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设轮船在静水中航行的速度为，顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度，再结合顺水航行所需时间与逆水航行所需时间相同建立方程求解即可． 【详解】解：设轮船在静水中航行的速度为， 由题意得， ， 解得， 经检验， 是原方程的解，且符合题意． ∴轮船在静水中航行的速度为， 故选：A． 9. 如图中，，是的平分线，交于点D，，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式等知识点，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 根据角平分线性质得到，再运用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，分别以的边，为边，在的外侧作等边和等边，连接，相交于点O，与相交于点M，与相交于点N，连接，有下列结论：①；②；③平分；④其中，正确结论的个数是（    ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查了等边三角形的性质，角的和差，全等三角形的判定与性质，重点掌握全等三角形的判定方法．由和是等边三角形得，，，再由角的和差得，可证明，根据全等三角形的性质得，，进而利用角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 如图，过A作于H，于I， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故③正确； ∵无法得出，不能得出，故②错误； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 计算： ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据有理数的乘方、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的减法法则计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是牢记分母不等于0．根据分母不等于0解答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ 即 故答案为：． 13. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，将原方程去分母得，整理得，若方程无解，那么它有增根，代入即可求解． 【详解】解：， 方程去分母得， 整理得， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 故答案为：1． 14. 若整式是一个完全平方式，则常数______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式；根据完全平方式，整式应能写成的形式，通过比较系数求解． 【详解】解：设完全平方式为，展开得． 与给定整式比较系数，得 当时，； 当时，． 故答案为：或． 15. 体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 本题根据三角形的外角性质，得到，然后即可求解． 【详解】解：根据三角形外角性质得：， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，若是的角平分线，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．根据等边对等角和三角形内角和定理求出，由角平分线得到，由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴ 故答案为：． 17. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题，其大意为：现有走路慢的人先走10里，令走路快的人去追，追到100里时，已经领先走路慢的人20里．问走路快的人走到多少里时就已经追上走路慢的人？设走路快的人走到里时就已经追上走路慢的人，则可列方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意找到等量关系是解题的关键． 设走路快的人走x步就能追上走路慢的人，根据时间、路程、速度结合时间相同，列出方程即可解答． 【详解】解：设走路快的人走x步就能追上走路慢的人， 根据题意，得． 故答案为：． 18. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为_________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由作图方法可知，垂直平分，则，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：20． 19. 如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为_____． 【答案】100° 【解析】 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P 、P ，连P 、P，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长= PP，然后得到等腰△OP1P2中，∠O PP+∠O PP=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OPM+∠OPN=100°． 【详解】分别作点P关于OA、OB的对称点P 、P,连接PP，交OA于M，交OB于N，则 O P=OP=OP,∠OPM=∠MPO,∠NPO=∠NPO， 根据轴对称的性质,可得MP=PM,PN=PN，则 △PMN的周长的最小值=PP， ∴∠POP=2∠AOB=80°， ∴等腰△OPP中,∠OPP+∠OPP=100°， ∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OPM+∠OPN=100°， 故答案为100° 【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线 20. 如图，，．，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时点在射线上由点向点运动．设它们运动的时间为，点的运动速度为，若刚好使得以点A、C、P为顶点的与以点B、P、Q为顶点的全等．则可以求出_________． 【答案】1或1.5 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是判定与全等，要分两种情况讨论． 当，时，，则，，求出，；当，时，，则，，求出，，即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， ， ，， ，； 当，时，， ，， ，． 综上，或，． 故答案为：1或1.5． 三、解答题（本题共60分） 21. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． （1）根据多项式除以单项式的运算法则计算，即可求解； （2）根据单项式乘多项式的运算法则计算，即可求解； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 22. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解相关知识点．熟练使用提取公因式法、以及熟练运用公式法来因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式，然后运用完全平方公式即可求解； （2）运用平方差公式计算，再合并同类项，然后利用平方差公式即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 23. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解题步骤是解题的关键，需要注意的是，最后需要检验是否为增根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． 24. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解进行约分，得到最简形式后，代入求值． 【详解】解： ， 当时，． 25. 已知的各顶点坐标分别为，，， （1）画出； （2）画出关于y轴对称的，并写出坐标； （3）请在x轴上找到一个点P，使得P点到点B、点A的距离的和最短． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，即为所求作的三角形， （3）如图， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中描点，轴对称坐标，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）根据点，点，点，在平面直角坐标系中描点，然后连线即可； （2）作点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后再顺次连接即可； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求作的点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标为； 【小问3详解】 解：作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求作的点． 连接，根据轴对称可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 26. 如图，在中，，D、E、F分别为边、、上的点，且，． （1）试说明：与全等的理由； （2）若，试求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，结合，，从而可得结论； （2）求解，可得，证明，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，，三角形的内角和定理的应用，熟记等腰三角形的性质与全等三角形的判定方法是解本题的关键． 27. 已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． （1）求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． （2）电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值． 【答案】（1）这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元 （2）13500 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元），根据题意列出关于a的方程，求出a的值即可解答． 【小问1详解】 解：设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元； 【小问2详解】 解：由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元）， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴a的值为13500． 28. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明． 【答案】 （1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的性质可得，再证明，最后利用证明即可； （2）证明得出，，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $