1.4.2 充要条件 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.2 充要条件 同步练习 一、单选题 1．“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．无法判断 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设x，，则“”的充要条件是（    ） A．不都为1 B．都不为1 C．都不为0 D．中至多有一个是1 4．已知，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．下列命题是假命题的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“或”是“”的必要不充分条件 D．“集合”是“”的充分不必要条件 6．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 8．有以下说法： ①“”是“”的必要不充分条件 ②“”是“”的必要不充分条件 ③“”是“”的充分不必要条件 ④“”是“”的充要条件 其中正确的说法为（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 二、多选题 9．已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 10．已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（    ） A．集合 B．集合的非空真子集的个数是30个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 11．下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 三、填空题 12．“”是“或”的 条件. 13．设，，则“”的充要条件是 . 14．有以下三个结论： ①在中，“”是“为直角三角形”的充要条件； ②若，则“”是“，全不为零”的充要条件； ③若，则“”是“，不全为零”的充要条件． 其中正确的结论是 （填序号）． 四、解答题 15．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 16．已知：，：. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若，和有且仅有一个为真，求实数x的取值范围. 17．集合，. (1)若，，求实数的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 18．在①，②“”是“”的充分条件，③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解. 已知集合，. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 19．已知，求证：的充要条件是．注：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.4.2 充要条件 同步练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B A B A D BD CD 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，但菱形的对角线一定垂直. 【详解】“四边形的对角线互相垂直”无法推出“四边形是菱形”，反之，“四边形是菱形”可以推出“四边形的对角线互相垂直”， 所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 2．A 【分析】利用充分性和必要性的定义即可求解. 【详解】当，则成立；反之，当，时，显然不一定成立，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．B 【分析】将化简，可得到其等价命题，即可得答案. 【详解】因为即，即， 即等价于且， 故“”的充要条件是都不为1， 故选：B. 4．B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】若，，满足，但不成立； 若，则，则成立. “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．A 【分析】根据充分条件，必要条件的概念以及特值法依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A选项，当时，，但反之，若 ，则，不能得到，故错误； 对于B选项，不能得到，反之能够得到，故正确； 对于C选项，若“”成立，则需且，此时，“或”显然成立， 因此，“或”是“”的必要条件； 设，，此时“或”成立，但，即“”不成立； 因此，“或”不是“”的充分条件； 所以“或”是“”的必要不充分条件，故正确； 对于D选项，由得，所以能够推出， 反之，若集合 ，可得，此时， 所以“集合”是“”的充分不必要条件，故正确. 故选：A 6．B 【分析】根据必要不充分条件定义判断即可. 【详解】由题意，但不能得出， 是的必要不充分条件. 故选：B. 7．A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 8．D 【分析】根据交集定义判断①；根据充分条件和必要条件的定义逐一判断②③④即可得答案. 【详解】对于①，由交集定义可知，若，则必有，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，①错误； 对于②，若，则或， 反之，若，则必有， 所以“”是“”的必要不充分条件，②正确； 对于③，必有，反之，若，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，③正确； 对于④，若，则， 反之，因为同号，所以若，则必有，即， 所以“”是“”的充要条件，④正确. 故选：D 9．BD 【分析】对于A，直接解方程判断，对于B，根据必要条件的定义判断，对于CD，根据根的分布和充要条件的定义判断. 【详解】对于选项，方程为，方程没有实数根，所以选项错误； 对于选项B，如果方程没有实数根，则，所以是的必要条件，所以选项B正确； 对于选项C，如果方程有两个正根，则，所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项错误； 对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则，所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确. 故选：BD 10．CD 【分析】A选项，根据定义判断；B选项，根据集合中的元素个数计算；C选项，根据“”是“”的充分不必要条件得到是的真子集，然后求的范围即可；D选项，分和两种情况分析即可. 【详解】时，时，， 时，，时，， 时，，时，， ，集合的非空真子集有个，所以A，B错误． 又若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，所以，C正确． 若，则时，； 时，， 综上，D正确． 故选：CD. 11．BD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即得 【详解】对于A，取，满足，而， 因此“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，，而当时，成立，显然不成立， 则“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，取显然，但， 因此“” 不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，“方程有一个正根和一个负根”的等价条件是， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 12．充分不必要 【分析】根据充分必要条件的定义即可得到结论. 【详解】或, 当,满足或,不满足, 所以“”是“或”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要. 13． 【分析】根据充要条件的概念求解即可. 【详解】解：因为，，若，则，即； 若，则， 所以“”的充要条件是“”. 故答案为： 14．③ 【分析】对于①，由，结合勾股定理可得是直角三角形，但是直角三角形不一定有；由“”的充要条件为“，不全为零”，即可判断②、③的真假. 【详解】解：因为，由勾股定理可得：是直角三角形， 但是由是直角三角形不能确定哪个角是直角，故不一定成立，所以①不正确． 由“”可以推出“，不全为零”，反之，由“，不全为零”可以推出“”，所以②不正确，③正确， 故答案为③. 【点睛】本题考查了充分必要条件及勾股定理，重点考查了逻辑推理能力，属基础题. 15．证明见解析 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解. 【详解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据充分条件得到，解得答案. （2）考虑为假命题为真命题和为真命题为假命题两种情况，计算范围得到答案. 【详解】（1）：，：，是的充分条件， 恒成立，则，解得，即； （2）：，：； 当为假命题为真命题时：或，且，解得； 当为真命题为假命题时：或，且，解得； 综上所述：. 17．(1) (2) 【分析】（1）分析可得，求出实数的值，再结合题意检验即可得出实数的值； （2）分析可知，，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴或， 当时，则，则，不合乎题意； 当时，则，则，合乎题意. 综上所述，. （2）解：∵是的充分不必要条件，∴， ，解得. 经检验知，当或时符合题意， ∴的取值范围为. 18．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入，得出，然后根据交集的运算求解，即可得出答案； （2）若选①，可推得，由已知列出不等式组，求解即可得出答案；若选②，可推得，由已知列出不等式组，求解即可得出答案；若选③，根据交集的运算结果，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）当时，， 所以，. （2）若选①， 由可得，. 由已知可得，所以有，解得； 若选②“”是“”的充分条件， 由已知可得. 由已知可得，所以有，解得； 若选③， 由已知可得，所以有或， 解得或. 19．证明见解析. 【解析】先证必要性，根据题意得，再代入化简即；再证充分性，由立方和公式得，进而提公因式得，进而得.故命题成立. 【详解】证明：先证必要性： ∵，∴ ∴ 再证充分性： ∵ ∴ 即： ∵， ∴，即. 综上所述：的充要条件是. 【点睛】本题考查充要条件的证明，考查运算能力，是基础题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $