1.4.2 充要条件(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

1.4.2　充要条件 1.设x∈R，“若x＜2，则x＜3”的逆命题是（　　） A.若x＞2，则x＞3 B.若x＜3，则x＜2 C.若x≥2，则x≥3 D.若x≤3，则x≤2 2.“x＞0”是“＝x”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知c＝1，则“a，b的平均数大于1”是“a，b，c的平均数大于1”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.〔多选〕对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（　　） A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“x＜2”是“＜0”的充分不必要条件 D.“a＜6”是“a＜8”的充分条件 6.〔多选〕设全集为U，则下面选项中是“A⊆B”的充要条件的是（　　） A.A∩B＝A B.（∁UA）⊇（∁UB） C.（∁UB）∩A＝⌀ D.（∁UA）∩B＝⌀ 7.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的　　　　条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 8.若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”的充要条件是　　　　. 9.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空. （1）“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的　　　　； （2）“x＜5”是“x＜3”的　　　　. 10.指出下列各组命题中，p是q的什么条件： （1）p：a＝2，q：a2＝4； （2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； （3）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； （4）p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集. 11.已知p：－1≤x＜3，若p是q的充分不必要条件，则q可以是（　　） A.－1≤x＜3 B.－1≤x＜2 C.x＜3 D.－2≤x＜0 12.〔多选〕使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的充分不必要条件是（　　） A.x≥0 B.x＜0或x＞2 C.x∈{－1，3，5} D.x≤0或x＞2 13.设U＝R，A＝{x｜mx2＋4x＋2＝0}.若∁UA＝U，则m的取值范围为　　　　，集合A中有两个元素的充要条件是　　　　. 14.若集合A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≤b，b∈R}，试写出： （1）A∪B＝R的充要条件； （2）A∪B＝R的一个充分不必要条件； （3）A∪B＝R的一个必要不充分条件. 15.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果△ABC为直角三角形，那么a2＋b2＝c2（勾股定理）.反过来，如果a2＋b2＝c2，那么△ABC为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a2＋b2＝c2. 请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2　充要条件 1.B　互为逆命题的两个命题的条件与结论是相互对调的，故选B. 2.A　由＝x，得x≥0.因为“x＞0”⇒“x≥0”，但“x≥0”⇒/ “x＞0”，所以“x＞0”是“＝x”的充分不必要条件. 3.B　由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件.故选B. 4.C　若a，b，c的平均数大于1，则＝＞1，∴a＋b＞2，∴＞1，即a，b的平均数大于1，反之亦成立. 5.BD　对于A，a＝b⇒ac＝bc，但当c＝0时，由ac＝bc不一定推出a＝b，故A为假命题；易知B为真命题；对于C，由＜0，得x－2＜0，x＜2，即“x＜2”是“＜0”的充要条件，故C为假命题；易知D为真命题. 6.ABC　由A∩B＝A，可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件，故A正确；由（∁UA）⊇（∁UB）可得A⊆B，由A⊆B可得（∁UA）⊇（∁UB），故“（∁UA）⊇（∁UB）”是“A⊆B”的充要条件，故B正确；由（∁UB）∩A＝⌀，可得A⊆B，由A⊆B可得（∁UB）∩A＝⌀，故“（∁UB）∩A＝⌀”是“A⊆B”的充要条件，故C正确；由（∁UA）∩B＝⌀，可得B⊆A，不能推出A⊆B，故“（∁UA）∩B＝⌀”不是“A⊆B”的充要条件，故D不正确. 7.必要不充分　解析：由两三角形对应角相等⇒/△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1. 8.m＝±2　解析：由A∩B＝{4}，得m2＝4，得m＝±2，由m＝±2，得A＝{－2，4}，则A∩B＝{4}，所以“m＝±2”是“A∩B＝{4}”成立的充要条件. 9.（1）充要条件　（2）必要不充分条件 解析：（1）设A＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x｜｜x｜－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的充要条件. （2）设A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＜3}，因为B⫋A，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件. 10.解：（1）a2＝4⇒a＝±2，所以p⇒q，q⇒/p，即p是q的充分不必要条件. （2）因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，所以p是q的充要条件. （3）由三角形为等腰三角形等价定义可知，p，q可互相推出，因此p为q的充要条件. （4）A∩B为空集，则A与B无公共元素，但不一定是空集，若A与B之一为空集，则A∩B为空集，因此p为q的必要不充分条件. 11.C　p是q的充分不必要条件，只需找一个集合使{x｜－1≤x＜3}是其真子集即可，结合选项可知{x｜－1≤x＜3}是{x｜x＜3}的真子集.故选C. 12.BC　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意；选项A为题干成立的既不充分也不必要条件；D为题干成立的充要条件. 13.{m｜m＞2}　m＜2且m≠0 解析：由题意得A＝⌀，即mx2＋4x＋2＝0无解，当m＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m＜0，解得m＞2.综上可知，m的取值范围为{m｜m＞2}.集合A中有两个元素，即mx2＋4x＋2＝0有两个不等的实数根，当m＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m＞0，解得m＜2.因此集合A中有两个元素的充要条件是m＜2且m≠0. 14.解：（1）集合A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≤b，b∈R}， 若A∪B＝R，则b≥－2；当b≥－2时，A∪B＝R. 故A∪B＝R的充要条件是b≥－2. （2）由（1）知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分不必要条件是b≥－1.（答案不唯一） （3）由（1）知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.（答案不唯一） 15.解：已知a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，△ABC为锐角三角形的充要条件是a2＋b2＞c2. 证明如下：必要性：在△ABC中，∠C是锐角，如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 显然AB2＝AD2＋DB2 ＝AC2－CD2＋（BC－CD）2 ＝AC2－CD2＋BC2＋CD2－2BC·CD ＝AC2＋BC2－2BC·CD＜AC2＋BC2， 即a2＋b2＞c2. 充分性：在△ABC中，a2＋b2＞c2， 所以∠C不是直角. 假设∠C为钝角，如图2，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则AB2＝AD2＋BD2＝AC2－CD2＋（BC＋CD）2 ＝AC2－CD2＋BC2＋CD2＋2BC·CD ＝AC2＋BC2＋2BC·CD＞AC2＋BC2， 即c2＞b2＋a2，与“a2＋b2＞c2”矛盾. 故∠C必为锐角，即△ABC为锐角三角形. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $