精品解析：河南省南阳市桐柏县思源教育集团2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025秋育英学校九年级数学第三次学情调研 一、单选题（3×10） 1. 下列运算中，错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，化简的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 如图是某公司今年月份生产成本统计图，设月份每个月生产成本的下降率约为x，根据图中信息可得x满足的方程为（　　） A. B. C. D. 4. 已知等边中，，，若点在线段上运动，当的值最小时，的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 5. 如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ） A. B. C. D. 6. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 7. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度为（ ）． A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为4的正方形中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当运动到点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，的面积为，则与函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（3×5） 11. 若分式的值为0，则x的值为_____． 12. 已知，化简：________． 13. 若，则值为__________． 14. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则______． 15. 已知二次函数，当时，的最小值为___________． 三、计算 16. 解方程 （1）； （2）； （3）先化简，再求代数式的值，其中． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别是，与关于原点位似，点的对应点分别为点，其中点的坐标是． （1）与的相似比是___________． （2）请在图中画出，并求出的面积为___________； （3）若边上有一点，则在边上与点对应的点的坐标是___________． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画，使点在格点上，且； （2）在图②中以线段为边画等腰，使点在格点上； （3）在图③中以线段边画，使点在格点上，使． 19. 已知关于的方程（为常数）． （1）求证：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，则的值为 _______． 20. 为了倡导“节约用水，从我做起”，贵阳市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表： 月平均用水量吨 3 4 5 6 7 频数（户数） 4 a 9 10 7 频率 b c 请根据统计表中提供的信息解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是______，众数是______，中位数是______； （3）根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的有多少户？ （4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率． 21. 如图，老李想用长为栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． （1）由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； （2）设矩形羊圈的面积为S，请写出S与的关系式，并写出的取值范围； （3）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出的最大值． 22. 如图，欲拆除一座垂直于地面的烟囱，距烟囱水平距离米的处有坡度为，坝高（即）米的背水坡大坝，在坝顶处测得烟囱顶端的仰角为，，之间是宽为米的人行通道．为确保行人安全，在拆除烟囱时，是否需要将此人行通道封闭？并说明理由．（在地面上以点为圆心，以长为半径的圆形区域为危险区域）（参考数值：，） 23. 小明同学运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点、在x轴上，球网与轴的水平距离，，击球点在轴上．若选择吊球，羽毛球（看作一点）的飞行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足二次函数关系式 ；若选择扣球，羽毛球的飞行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足一次函数关系式． （1）求点的坐标和的值． （2）若球网的高度为，请通过计算说明上面两种击球方式是否能使球过网?如果能过网，再计算并判断球的落地点能不能在近网区内． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋育英学校九年级数学第三次学情调研 一、单选题（3×10） 1. 下列运算中，错误的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算和分式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据二次根式的运算和分式的化简法则逐项进行判断，分式化简时，需确保分子和分母有公因式才能约分，否则可能导致错误． 详解】解：A. ，该选项计算正确，不符合题意； B. ，该选项计算正确，不符合题意； C.当时， ，该选项计算错误，符合题意； D. ，该选项计算正确，不符合题意； 故选：C． 2. 已知，化简的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3. 如图是某公司今年月份生产成本统计图，设月份每个月生产成本的下降率约为x，根据图中信息可得x满足的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设月份每个月生产成本的下降率约为x，根据该公司4月份及6月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设月份每个月生产成本的下降率约为x， 根据题意，得， 故选：C． 4. 已知等边中，，，若点在线段上运动，当的值最小时，的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据题意易得，则，过点P作于点E，进而可得，当取最小时，即最小，则有当点B、P、E三点共线时最小，进而可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 过点P作于点E，如图所示：则， ∴， ∴当取最小时，即为最小， ∴当点B、P、E三点共线时最小，此时，如图所示： ∴， ∴，， ∵， ∴； 故选：C． 5. 如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数及解直角三角形的实际应用，关键是在直角三角形中使用恰当的三角函数解题；在直角三角形中，利用余弦求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴在中， ， ∴． 故选：A． 6. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 7. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，， ∴根据对称性可知：抛物线的对称轴为直线，，故①正确； ∵， ∴，即，故②正确； 由图象可知：当时，或，故③错误； 当时，则有，当时，则有， ∴，故，故④错误； 当时，则有， ∴， ∵图象开口向上，即， ∴，故⑤错误； 综上所述：正确的结论有①②，共2个； 故选A． 8. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，自变量的值的计算是关键． 根据题意建立平面直角坐标系，运用待定系数法得到解析式为，结合题意把代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， ∴抛物线过， 设抛物线的解析式为， 把代入得，，即， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∵水面下降，即， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴水面宽度为， 故选：B ． 9. 二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质确定二次项、一次项系数、常数项的符号是关键． 根据二次函数图象得到，再根据一次函数，反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，二次函数图象开口向下，对称轴直线，函数图象与轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴A选项的图象符合题意， 故选：A ． 10. 如图，在边长为4的正方形中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当运动到点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，的面积为，则与函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，分段求出函数解析式，利用解析式判断图象是解题的关键； 本题应分两段进行解答，①点在上运动，点在上运动，②点在上运动，点在上运动，依次得出与的关系式即可得出函数图象． 【详解】解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动， ∴点运动到点的时间为秒， 由题意得， ①当时，即点在上运动，点在上运动时，，，，为开口向上的抛物线的一部分； ②当时，即点在上运动，点在上运动时，，上的高为4，，为直线（一次函数）的一部分； 观察所给图象，选项D函数关系图正确； 故选：D． 二、填空题（3×5） 11. 若分式的值为0，则x的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求解即可． 【详解】∵分式 的值为0， ∴， 解得x＝2． 故答案是：2． 【点睛】考查了分式的值为零的条件，要熟练掌握，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 12. 已知，化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简，二次根式的性质，立方根的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一化简再运算即可． 【详解】因为，所以，，， 因此，原式． 故答案为：． 13. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，分式的化简，掌握相关知识是解决问题的关键．由比例式设参数 ，用 表示 、、，代入所求分式化简即可． 【详解】解：设 ，则 ，，， ． 故答案为：． 14. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查求角的正切值，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形．连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 15. 已知二次函数，当时，的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题． 二次函数开口向上，顶点在内，最小值在顶点处． 【详解】解：二次函数的顶点横坐标为，在范围内， 将代入函数得， ∵， ∴最小值为． 故答案为：． 三、计算 16. 解方程 （1）； （2）； （3）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的化简求值，特殊角三角函数的混合运算；熟练掌握一元二次方程的解法、分式的运算法则和特殊角的三角函数是解题关键． （1）先移项，再利用因式分解法进行方程求解即可； （2）先化为一般式方程，再利用因式分解法求解方程即可； （3）通过分式的化简法则化简式子，代入特殊角的三角函数值得到x的值，再代入x的值即可． 【小问1详解】 解： 或 解得； 【小问2详解】 解： 或 解得； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴， ∴ ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，点的对应点分别为点，其中点的坐标是． （1）与的相似比是___________． （2）请在图中画出，并求出的面积为___________； （3）若边上有一点，则在边上与点对应的点的坐标是___________． 【答案】（1） （2）见解析，3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—位似，画位似图形，两点距离计算公式，熟知位似的相关知识是解题的关键． （1）根据两点距离计算公式可得的长，再根据位似图形的性质可推出，，则可得，据此可得答案； （2）把A、C的横纵坐标都缩小为原来的一半可得到的坐标，描出，再顺次连接，最后根据三角形面积计算公式求出对应的三角形面积即可； （3）把点M的横纵坐标都缩小为原来的一半即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∵与关于原点位似， ∴，， ∴ ∴与的相似比为； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，； 【小问3详解】 解：∵边上有一点， ∴在边上与点对应的点的坐标是． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画，使点在格点上，且； （2）在图②中以线段为边画等腰，使点在格点上； （3）在图③中以线段为边画，使点在格点上，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查网格作图，等腰三角形的性质与判定，勾股定理与网格，锐角三角函数中的正切值，掌握正切值等于对边与邻边的比是关键； （1）根据，作直角三角形，使得，即可求解； （2）作，即可； （3）在（2）的基础上作的中点，连接，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求（答案不唯一）： 【小问2详解】 如图所示，即所求（答案不唯一）： 【小问3详解】 如图所示，即为所求（答案不唯一）： ∵，，， ∴， ∴， ∴． 19. 已知关于的方程（为常数）． （1）求证：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，则的值为 _______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解法． （1）对于方程，其根的判别式为，因为恒成立，所以恒成立，即证； （2）设方程的两个实数根为，，由一元二次方程根与系数的关系得，，根据该方程的两个实数根的差为，可得，即，由完全平方公式可得，，再将，代入计算即可解答． 【小问1详解】 证明：因为， 所以不论取何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 设方程的两个实数根为，，由一元二次方程根与系数的关系得， ，， 两根之差为，则， 又， ， 即， ， ． 20. 为了倡导“节约用水，从我做起”，贵阳市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表： 月平均用水量吨 3 4 5 6 7 频数（户数） 4 a 9 10 7 频率 b c 请根据统计表中提供的信息解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是______，众数是______，中位数是______； （3）根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的有多少户？ （4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率． 【答案】（1）20，， （2），4，5 （3）该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的大约有132户 （4）见解析； 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，平均数、中位数、众数，样本估计总体以及列表法和树状图法，掌握频率=频数总数，用树状图法列举等可能出现的结果以及平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）从频数、频率统计表中可得，被抽查的户数中，月用水量为3吨的有4户，占被调查户数的，根据频率=频数总数即可求出被调查的户数，进而确定a、b、c的值； （2）根据平均数、中位数、众数的定义和计算方法进行计算即可； （3）样本估计总体，求出样本中月平均用水量不超过5吨的家庭数所占的百分比，估计总体中月平均用水量不超过5吨的家庭数所占的百分比，由频率=频数总数进行计算即可； （4）用树状图列举从甲、乙、丙、丁四户家庭中任意选取两户，所有等可能出现的结果，再根据概率的大约进行计算即可． 【小问1详解】 解：（户），（户），，， 故答案为：20，，； 【小问2详解】 解：， 被调查的50户的月平均用水量频数最多的是，共出现20次，因此被调查的50户的月平均用水量的众数是， 将被调查的50户的月平均用水量从小到大排列，处在之间位置的两个数的平均数为，因此被调查的50户的月平均用水量的中位数是， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：（户）， 答：该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的大约有132户； 【小问4详解】 解：从甲、乙、丙、丁四户家庭中任意选取两户，所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中恰好选到甲、丙两户的有2种， 所以从甲、乙、丙、丁四户家庭中任意选取两户，恰好选到甲、丙两户的概率为． 21. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． （1）由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； （2）设矩形羊圈的面积为S，请写出S与的关系式，并写出的取值范围； （3）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出的最大值． 【答案】（1） （2） （3）当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确列出函数表达式． （1）根据栅栏总长列式得出表达式即可； （2）根据矩形面积公式求出S与x的关系式，根据，及外墙长列不等式组解决即可； （3）利用矩形面积公式及二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵外墙长且， ， 解得：， ∴S与x的关系式为； 【小问3详解】 解： ， ， ∴当时，S最大，此时，， ∴当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为． 22. 如图，欲拆除一座垂直于地面的烟囱，距烟囱水平距离米的处有坡度为，坝高（即）米的背水坡大坝，在坝顶处测得烟囱顶端的仰角为，，之间是宽为米的人行通道．为确保行人安全，在拆除烟囱时，是否需要将此人行通道封闭？并说明理由．（在地面上以点为圆心，以长为半径的圆形区域为危险区域）（参考数值：，） 【答案】需要封闭，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用（仰角、坡度问题），构造直角三角形并利用三角函数（正切）计算线段长度是解题的关键． 过点作于点，先由大坝坡度算出大坝水平宽度，再结合得到，由四边形是矩形可得、，接着用仰角的正切值求出，进而得到烟囱高度，最后计算人行通道到的距离，对比与的大小，即可判断． 【详解】解：需要封闭， 如图， 在中， ∵，， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， 在中， ， ∴ ∵， ∴， ∴需要封闭． 23. 小明同学运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点、在x轴上，球网与轴的水平距离，，击球点在轴上．若选择吊球，羽毛球（看作一点）的飞行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足二次函数关系式 ；若选择扣球，羽毛球的飞行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足一次函数关系式． （1）求点的坐标和的值． （2）若球网的高度为，请通过计算说明上面两种击球方式是否能使球过网?如果能过网，再计算并判断球的落地点能不能在近网区内． 【答案】（1）点的坐标为； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，正确求出函数的解析式是解此题的关键． （1）在中，当时，，即可得出点的坐标，再将点的坐标代入二次函数关系式，计算即可得解； （2）将代入可得，故扣球不能过网；由（1）可得，即二次函数的关系式为，将代入二次函数的关系式可得，故吊球能过网；在中，令，则，解得或（不符合题意，舍去），估算出，即可得解． 【小问1详解】 解：中，当时，， ∴点的坐标为， 将代入二次函数关系式可得：， 解得：； 【小问2详解】 解：将代入可得：，故扣球不能过网； 由（1）可得，即二次函数的关系式为， 将代入二次函数的关系式可得，故吊球能过网； 在中，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴落地点能在近网区内． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $