精品解析：山西省吕梁市汾阳市2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题

山西省吕梁市汾阳市2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 最新数据显示，截至2024年10月31日，全国“人工智能”组织机构已达近190万户．将数据“190万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（ ） A. 路程一定，速度和时间 B. 圆柱的高一定，体积和底面积 C. 被减数一定，减数和差 D. 圆的半径和它的面积 4. 下列等式变形正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 5. 如图，这是一个正方体的表面展开图，每个面都标注了一个字，则展开前与“爱”字相对面上的字是（ ） A. 善 B. 国 C. 诚 D. 友 6. 若与是同类项，则m，n的值为（ ） A. B. C. 1，2 D. 7. 在数轴上表示a,b两数的点如图所示，则下列判断正确的是（ ） A a－b＜0 B. a+b<0 C. ab>0 D. |a|>|b| 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 小黄做一道题“已知两个多项式，，计算”．小黄误将看作，求得结果是．若，请你帮助小黄求出的正确答案（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的平分线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11 比较大小：______（填“”、“”或“”）． 12. 如果一个角的补角是115°，那么这个角的余角的度数是______． 13. 滑雪运动可以强身健体、释放压力，给人身体带来多维度的积极影响．周末，小张的爸爸出发去某国际滑雪场滑雪，他打开导航发现，从家到滑雪场的直线距离只有，但导航提供的三条可选路线长度却分别为，，，能解释这一现象的数学知识是________． 14. 定义一种新运算：，则的值是______． 15. 鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 245 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 三、解答题（本题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 如图，已知线段和线段． （1）用直尺和圆规在线段上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若点是的中点，，，求的长． 18. 如图，每个图案均是由长度相等的木棒按一定的规律拼接而成的，第1个图案需要3根木棒，第2个图案需要5根木棒，第3个图案需要7根木棒，第4个图案需要9根木棒，……依据此规律，继续拼接图案. （1）第5个图案需要木棒______根，第个图案需要木棒______（用含的式子表示）根； （2）若要摆出第25个图案，则所需木棒的根数是多少？ （3）按这种方式拼接出来的一个图案用了100根木棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图案？如果不可能，请说明理由． 19. 一只蚂蚁从点A出发，在一根笔直的长棍上来回爬行，规定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数．蚂蚁爬行的各段路程（单位：厘米）依次为． （1）爬行结束后蚂蚁是在点A的左边还是右边？与点A的距离是多少？ （2）爬行过程中，每爬行一厘米蚂蚁可以获得1粒芝麻，则从开始到结束，蚂蚁一共获得了多少粒芝麻？ 20. 如图，C为线段上的一点，，分别是线段的中点． （1）求的长． （2）求的长． 21. 阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 一个含有多个字母式子中，当字母的取值均不相等，且都不为0时，任意交换两个字母的位置，式子的值不变，这样的式子叫做“对称式”．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，．因为，所以是“对称式”，而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是“对称式”． 任务： （1）下列式子中，是“对称式”的是____________．（填序号） ①；②；③ （2）写出一个系数为，只含有字母且次数为4的单项式，使该单项式是“对称式”； （3）已知，求，并判断所得结果是否是“对称式”． 22. 综合与实践 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元；如果按标价的八折出售，将盈利70元． （1）每件服装的标价是多少元？ （2）打几折销售能恰好保证利润率为？（） 23. 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． （1）填空： ， ． （2）若，求t的值． （3）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．点P，Q同时运动，是否存在某一时刻t，使得B，P，Q三点中，有一点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省吕梁市汾阳市2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义；根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数． 【详解】解：∵倒数定义是乘积为1的两个数互为倒数， 又∵， ∴的倒数为， 故选：D． 2. 最新数据显示，截至2024年10月31日，全国“人工智能”组织机构已达近190万户．将数据“190万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可． 科学记数法表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：190万． 故选B． 3. 下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（ ） A. 路程一定，速度和时间 B. 圆柱的高一定，体积和底面积 C. 被减数一定，减数和差 D. 圆的半径和它的面积 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例的意义和辨别，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系．据此逐一判断即可． 【详解】解：汽车的路程一定，行驶的时间和速度成反比关系，故A符合题意； 圆柱的高一定，体积和底面积成正比关系，故B不符合题意； 被减数一定，减数和差不成比例关系，故C不符合题意； 圆的面积和它的半径不成比例，故D不符合题意； 故选：A． 4. 下列等式变形正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． 根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．如果，那么，故选项错误； B．如果，那么，故选项正确； C．如果，那么或，故选项错误； D．如果，且，那么，故选项错误． 故选：B． 5. 如图，这是一个正方体的表面展开图，每个面都标注了一个字，则展开前与“爱”字相对面上的字是（ ） A. 善 B. 国 C. 诚 D. 友 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方体的相对面，掌握相对面的识别方法是关键． 根据同行或同列，间隔一个即为相对面或“”字型首尾即为相对面即可求解． 【详解】解：根据“”字型首尾得到“爱”与“善”是相对面，“国”与“信”是相对面，“诚”与“友”是相对面， ∴与“爱”字相对面上的字是“善”， 故选：A ． 6. 若与是同类项，则m，n的值为（ ） A. B. C. 1，2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义；根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，因此通过比较指数列出方程求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴，． 故选：C． 7. 在数轴上表示a,b两数的点如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. a－b＜0 B. a+b<0 C. ab>0 D. |a|>|b| 【答案】B 【解析】 【分析】有数轴得到,则有a+b<0,即可得到答案. 【详解】解：由图可知，, ∴a+b<0, 故答案为B. 【点睛】本题考查数轴和绝对值，解题关键是读懂数轴，掌握求绝对值. 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用；根据题意，设绳索长x尺，直接量：竿长绳索长5；绳索对折去量：竿长绳索长的一半5；据此可列出方程． 【详解】解：设绳索长x尺， 由题意得：， 即． 故选：A． 9. 小黄做一道题“已知两个多项式，，计算”．小黄误将看作，求得结果是．若，请你帮助小黄求出的正确答案（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将错就错，利用的结果是，结合求得，然后再计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了整式的加减运算，注意去括号时正负号的正确变化． 10. 如图，是的平分线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义．根据角的和差求出，再根据角平分线的定义求出，进而由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值，相反数的含义，先化简，再根据有理数大小比较法则判断． 【详解】解：，， ∵， ∴． 故答案为： 12. 如果一个角的补角是115°，那么这个角的余角的度数是______． 【答案】25° 【解析】 【分析】根据余角和补角的定义，即可解答． 【详解】解：∵一个角的补角是115°， ∴这个角为：180°-115°=65°， ∴这个角的余角为：90°-65°=25°， 故答案为：25°． 【点睛】题考查了余角和补角的定义，解决本题的关键是熟记余角和补角的定义，两角互余和为90°，互补和为180°． 13. 滑雪运动可以强身健体、释放压力，给人的身体带来多维度的积极影响．周末，小张的爸爸出发去某国际滑雪场滑雪，他打开导航发现，从家到滑雪场的直线距离只有，但导航提供的三条可选路线长度却分别为，，，能解释这一现象的数学知识是________． 【答案】两点之间线段最短 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短． 根据两点之间线段最短作答即可． 【详解】解：从家到滑雪场的直线距离只有，但导航提供的三条可选路线长度却分别为，，，能解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 14. 定义一种新运算：，则值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义规定的运算法则列式计算可得． 【详解】解：由题意可得： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则及有理数的混合运算顺序和运算法则． 15. 鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了从实际数据中识别规律并建立代数模型的能力，以及求一次函数解析式；解题的关键是观察表格中脚长与鞋码的对应关系，发现两者呈线性变化，并通过代入已知点求解线性表达式；取两点，用待定系数法，求解析式，即可得解． 【详解】解：设脚长为，鞋码为；取点， 设， 解得 故 当脚长为时，鞋码为． 故答案为． 三、解答题（本题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）按照解一元一次方程的一般步骤，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】解：（1）． （2） 去括号：， 移项、合并同类项：， 系数化为1：． 17. 如图，已知线段和线段． （1）用直尺和圆规在线段上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若点是的中点，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—线段的倍数，线段中点的性质，线段的和差等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的倍数进行尺规作图即可； （2）根据线段的中点性质以及线段的和差进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图1所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图2． 因为点是的中点，， 所以． 因为，， 所以． 所以． 18. 如图，每个图案均是由长度相等的木棒按一定的规律拼接而成的，第1个图案需要3根木棒，第2个图案需要5根木棒，第3个图案需要7根木棒，第4个图案需要9根木棒，……依据此规律，继续拼接图案. （1）第5个图案需要木棒______根，第个图案需要木棒______（用含的式子表示）根； （2）若要摆出第25个图案，则所需木棒的根数是多少？ （3）按这种方式拼接出来的一个图案用了100根木棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图案？如果不可能，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）不可能，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律，理解数量关系，找出规律是解题的关键． （1）根据图示，找出数量关系即可； （2）根据（1）中的规律，代入计算即可； （3）根据题意，运用（1）中的数量关系计算即可． 【小问1详解】 解：第1个图案需要3根木棒，即， 第2个图案需要5根木棒，即， 第3个图案需要7根木棒，即， 第4个图案需要9根木棒，即， ∴第5个图案需要的木棒为根， ∴第个图案需要木棒为（根） 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意，第25个图案所需木棒的根数是（根）； 【小问3详解】 解：不可能，理由如下， ∵， 解得，，不符合题意， ∴按这种方式拼接出来的一个图案用了100根木棒，不可能． 19. 一只蚂蚁从点A出发，在一根笔直的长棍上来回爬行，规定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数．蚂蚁爬行的各段路程（单位：厘米）依次为． （1）爬行结束后蚂蚁是在点A的左边还是右边？与点A的距离是多少？ （2）爬行过程中，每爬行一厘米蚂蚁可以获得1粒芝麻，则从开始到结束，蚂蚁一共获得了多少粒芝麻？ 【答案】（1）爬行结束后蚂蚁是在点A的左边，与点A的距离是2厘米 （2）蚂蚁一共获得了34粒芝麻 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正负数，绝对值． （1）将蚂蚁爬行的各段路程相加，根据计算结果的正负作答即可； （2）蚂蚁一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数． 【小问1详解】 解： （厘米）， 答：爬行结束后蚂蚁是在点A的左边，与点A的距离是2厘米． 【小问2详解】 解： （厘米）， （粒）， 答：蚂蚁一共获得了34粒芝麻． 20. 如图，C为线段上的一点，，分别是线段的中点． （1）求的长． （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段和差，线段中点相关的计算；熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． （1）根据线段的和差倍分即可得到结论； （2）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵分别是线段的中点，，， ∴，， ∴． 21. 阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 一个含有多个字母的式子中，当字母的取值均不相等，且都不为0时，任意交换两个字母的位置，式子的值不变，这样的式子叫做“对称式”．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，．因为，所以是“对称式”，而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是“对称式”． 任务： （1）下列式子中，是“对称式”的是____________．（填序号） ①；②；③ （2）写出一个系数为，只含有字母且次数为4的单项式，使该单项式是“对称式”； （3）已知，求，并判断所得结果是否是“对称式”． 【答案】（1）①③ （2） （3），是对称式 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，正确理解对称式的定义，并进行正确判断是解题的关键； （1）根据对称式的定义即可求解； （2）根据对称式的定义可得的指数都为； （3）先去括号，然后合并同类项，再根据对称式的定义即可求解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴是“对称式”， 故①符合题意； ②∵， ∴不是“对称式”， 故②不符合题意； ③∵， ∴是“对称式”， 故③符合题意； 故答案为：①③． 【小问2详解】 解：根据“对称式”的定义可得：字母的指数相同， ∵单项式的次数为4， ∴的指数都为， 又∵系数为， ∴该单项式为． 【小问3详解】 解： ∵， ∴是“对称式”． 22. 综合与实践 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元；如果按标价的八折出售，将盈利70元． （1）每件服装的标价是多少元？ （2）打几折销售能恰好保证利润率为？（） 【答案】（1）400元 （2）7折 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用； （1）设每件服装的标价是元，根据售价与进价的关系：如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元，则进价售价；如果按标价的八折出售，将盈利70元，则进价售价，据此列出方程求解即可； （2）设打折销售能恰好保证利润率为，先算出进价，再由利润率公式得：售价进价进价利润率，据此列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每件服装的标价是元， 由题意得：， 解得：． 答：每件服装的标价是元． 【小问2详解】 解：设打折销售能恰好保证利润率为， 进价为：元， 由题意得：， 解得：． 答：打折销售能恰好保证利润率为． 23. 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． （1）填空： ， ． （2）若，求t的值． （3）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．点P，Q同时运动，是否存在某一时刻t，使得B，P，Q三点中，有一点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；9 （2） （3）存在；或4或10 【解析】 【分析】（1）根据题意计算即可． （2）分别表示出，，根据提议列出方程求解即可． （3）分三种情况讨论：①若B为中点，②若B为中点，③若B为中点，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用、数轴、偶次方及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）分B为中点，B为中点，B为中点，三种情况，列出关于t的一元一次方程． 【小问1详解】 ∵ ∴，， ∴，． 【小问2详解】 ①当P在A，B中间时， ，， 根据题意可得：， 解得：． ②当P在B的右边时， ，， 根据题意可得：， 解得：（舍去） 综上所述，t的值为． 【小问3详解】 分三种情况讨论：①若B为中点，则， 解得：． ②若B为中点，则， 解得：． ③若B为中点，则， 解得：． 综上所述，存在三个时刻使得B，P，Q三点中，有一点恰好是另外两点所连线段的中点，分别为，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $