贵州省松桃民族中学2025-2026学年高二上学期1月期末模拟测试数学试题

2025一2026学年度第一学期期末模拟测试 高二数学 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.直线x-√3y-2025=0的倾斜角为() A.Sn B.2n 6 3 C. D 2.双曲线C:xy =1的渐近线方程为() 2516 A.y=±x .4 B.y=±x C.y=4 D.yx 4 5 4 3.已知等比数列{a}中，41=2,4=8，则a4=() A.16 B.16或-16 C.32 D.32或-32 4.已知直线：r+2y+6=0与直线12：x+(a-1)y+a2-1=0平行，则实数a的值为() A.-1 B.2 C.-1或2 D.1或-2 5.圆x2+y2-4x+2y+6=0与直线x+y-2=0相切，则圆的半径为() A.3V2 B.2W2 C.5 D.√2 6.在平行六面体ABCD-ARCD中，M为BC,与B,C的交点，若DA=a,DC=五，DD=c,则下 列向量中与AM相等的向量是（) B A A.-a+B+Lc 1一 2 B.a+6- D C.1a+l6+8 n-Lb+o 2 2 第1页，共4页 7.已知向量a=(0,0,2),b=(1,-1,1),则向量6在向量ā上的投影向量为() A.(0,0,2) B.(0,0,1) C.(0,0,-1) D.(0,0,-2) 8.过椭圆C: ￡十女-1的中心作直线1交椭圆于M,T两点，乃是椭圆的左焦点，则AMT周 169 长的最小值是() A.17 B.14 C.6+2V万 D.8+2W万 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设数列{a}是等差数列；公差为d,Sn是其前n项和，a>0且a=0,则() A.d<0 B.4+4=0 C.Sn有最大值 D.Sn有最小值 10.已知直线1：+y-3=0与圆C:x2+y2+4x-2y-4=0,则下列说法正确的是() A.直线l与圆C始终相交 B.若直线I与圆C相交于A,B两点，则AB最小时，a=-1 C.圆C上一点P到直线l的最大距离为3+2√2 D.若圆C上到直线l的距离为1的点有且仅有2个，则a>0 11.如图，若P是棱长为2的正方体ABCD-ABCD的表面一个动点，则下列结论正确的是() D A B p B A.当P在平面BCC,B,内运动时，四棱锥P-AADD的体积不变 B.当P在线段AC上运动时，DP与AC所成角的取值范围是 62 C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为2π+4√2 D.若F是棱AB的中点，当P在底面ABCD内运动，且满足PF/I平面BCD时，PF长度的 最小值是√6 第2页，共4页 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(x,1,-2),b=(2,2,3),若a⊥b,则x= 13.若曲线y=V1-x2(-1≤x≤1)与直线kx-y+3=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围 是 14.已知双菌线C若广=1a>0b>0)的左，右点分别为R,R.点4在C上，点B在y箱 上，RA1国B,A=E,则C的商心率为一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)(1)已知直线1经过两直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线 4x+3y-7=0,求直线1的一般方程： (2)已知圆C经过A(1,1),B(2,-2)两点，且圆心C在直线1：x-y+1=0上，求圆C的标准方程； 16.(15分)在数列{4}中，4=0,4=4，且a+2=20n-an+2. (I)证明：{a1-a}是等差数列： (2)求{a}的通项公式. 17.(15分)己知点F是抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点，纵坐标为2的点N在C上，以F为 圆心、WF为半径的圆交y轴于D,E,DE=2W5. (1)求抛物线C的方程： (2)过(-1，O)作直线1与抛物线C交于A,B,求ka+k的值. 第3页，共4页 18.(17分)已知斜三棱柱ABC-AB,C,的底面是正三角形，侧面ABBA是边长为2的菱形，且 与底面ABC的夹角为60°，∠AAB=60°，点O为AB中点. (1)求证：平面ABC⊥平面AOC; (2)求平面AOB与平面AOC,夹角的余弦值. 19.(17分)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》 一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比 MO =元（入>0,2≠1），元是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ MP 上.当A-5时，动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为2+y=4,定点分别为椭圆C: 京+尔=1(a>b>0)的右焦点F与右顶点A,且椭圆C的离心率为e={ x2,y2 V S T D E (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，过右焦点F斜率为k(k>0)的直线1与椭圆C相交于B,D(点B在x轴上方)，点S, T是椭圆C上异于B,D的两点，SF平分∠BSD,TF平分∠BTD, ①求 DS 的取值范围： ②将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为 5,求直找1的方 程 第4页，共4页2025一2026学年度第一学期期末模拟测试 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A D B B B ABC ACD 题号 11 答案 AD 1.D 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得结果 【详解】该直线的斜载式方程为y=20255,则率为 3、 ，所以该直线的倾斜角为 3 3 兀 6 故选：D 2.B 【分析】根据双曲线方程可得实轴长和虚轴长，由此可得渐近线方程 力 【详解】由双曲线方程知：实轴长2a=10,虚轴长2b=8,.渐近线方程为y=±x=士-x 5 故选：B. 3.B 【分析】求出公比后可求a,的值 【详解】设等比数列的公比为9，则-%-4，故q=±2， 故a4=4,9=±16， 故选：B. 4.A 【分析】利用直线平行的判定方法求解即可 【详解】由直线：ar+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+2-1=0平行， 可得a(a-1)=1×2,解得a=2或a=-1, 由于还要满足2(a2-1)≠6(a-1),所以a=2舍去， 故选：A 答案第1页，共16页 5.D 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求解 【详解】方程x2+y2-4x+2y+6=0化为(x-2)2+(y+)2=a2-2, 因此已知圆的圆心为(2，-d,半径r=√d-2(d2>2), 由圆与直线x+y-2=0相切，得2-a--V-2,解得d=4, √2 所以圆的半径为r=Va2-2=√4-2=√5 故选：D 6.B 【分析】根据点M的位置，利用空间向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解 【详解】根据向量的运算法则，可得AM=DM-DA=DC+CM-(DA+DD =Dc+C西+cG)-(DA+DD)=Dc+DA+D四)-(D1+DD) +-0丽=a+5 故选：B. ◇ A 7.B 【分析】根据空间向量投影向量公式及空间向量数量积公式计算求解。 【详解】因为向量a=(0,0,2),b=（1,-1,1), 则向量b在向量ā上的投影向量为 a、 (0,0,2)=(0,0,1. 故选：B. 8.B 【分析】根据椭圆的几何性质可得T=M俨，进而将三角形的周长转化为 答案第2页，共16页 M+M+2OM,再由椭圆的定义及椭圆的上点的范围可得最小值， 【详解】由椭圆C:+上=1，得a=166=9,即a=4,b=3c=V万，R(V万，0，r(W,0) 169 如图，作出符合题意的图形， 因为椭圆和直线1都是中心对称图形，所以T=M,M+M=2a=8. 所以△MT的周长为M+FT+|TM=M+M+2OM=8+2OM 169 又因为-4≤x≤4,0≤≤16，所以oM=G+9≥3，当且仅当x=0时等号成立 所以M+FT+TM=8+2OM≥8+2x3=14,当且仅当x=0时等号成立. 故选：B. 9.ABC 【分析】根据等差数列的性质可得d<0,即可结合选项逐一求解， 【详解】由{a}是等差数列，4>0且4=0，故d<0,A正确， a,+4=2a=0,B正确， 由于4>0且4=0，故4>0，i=1,2,3,4,5,6,7, 当n≥9时，a,<0,故当n=7或8时，Sn取最大值，S无最小值，C正确，D错误， 故选：ABC 10.ACD 【分析】对A,求出直线过定点M,判断出定点M在圆C内，A正确；对B,当定点与圆 心连线与直线垂直时AB最小，由垂直关系求斜率，进而得到α；对C,先得到 dm=MC=22,进而求出最大值为dx+r:对D,先得到r-d<1,从而得到不等式， 求出答案 答案第3页，共16页 【详解】由直线1：+y-3=0可知该直线过定点M(0,3), 圆C:x2+y2+4x-2y-4=0可化为(x+2)2+(y-1)2=9, 圆心C(-2,1),半径r=3. 对于A:因为MC=V(0+2)2+(3-1)2=2W2<3,所以定点M在圆C内， 所以直线1与圆C始终相交，A正确： 对于B:由弦长公式AB=2Wr2-d,其中d为圆心C到直线1的距离， 因为r=3,所以当MC⊥1时，d最大，AB最小， 因为e=3=1,所以此时直线1的斜率为-1，所以a=1,B错误； 0+2 对于C:圆C上一点P到直线l的最大距离为圆心C到直线I的距离d与圆半径的和， 由前面分析知ds=MC=2√2，所以最大距离为3+2√2，C正确： 对于D:若圆C上到直线1的距离为1的点有且仅有2个， 由A知，直线l与圆C始终相交，所以r-d<1, 即3-上2a+1-3引1，整理得a+1小+1，解得a>0,D正确： Va2+1 故选：ACD 11.AD 【分析】根据锥体体积的求法，结合条件分析，可判断A的正误；如图建系，求个各点坐 标，设P(x,2-x,0),0≤x≤2，可得DP,AC坐标，根据夹角的向量求法，结合x的范围， 分析计算，结合余弦函数的单调性，即可判断B的正误；分别分析点P在各个平面内时的 轨迹，计算各个长度，综合即可判断C的正误；求出平面B,CD的法向量，由题意的FP.=0, 结合向量求模公式，分析计算，即可判断D的正误」 答案第4页，共16页 【详解】选项A:当P在平面BCCB,内运动时，P到平面ADDA的距离不变， 平面ADDA的面积不变，所以四棱锥P-AAD,D的体积不变，故A正确： 选项B:以D为原点，DA,DC,DD为x,y,z轴正方向建系，如图所示， ! D AL- 则A(2,0,2),D(0,0,2),C(0,2,2),设P(x,2-x,0),0≤x≤2， 则DP=(x2-x,-2),AC=(（-2,2,0), 「。 设DP与4C所成角为6,0e0,2 DP·AC 4-4x 则cos8 1-x DPAC Vx2+(2-x)2+4×22V-1)2+3 (x-1)2 3 -)2+3V- (x-1)2+3 因为0sx≤2，所以(x-0e01],则、 「11 x-102+343 所以cos6= - 3 因为y=CoSx在 0写上单调减。 所以6∈ ππ 32 故B错误； 选项C:已知直线AP与平面ABCD所成的角为45°， 若点P在平面DCCD和平面BCC,B,内， 因为∠BAB=45°，∠DAD=45°，且为最大角，所以点P仅在点B,D处： 若点P在平面ADDA内，则点P的轨迹为AD,=22; 答案第5页，共16页 若点P在平面ABBA内，则点P的轨迹为AB,=2√2； 若点P在平面AB,CD内，作PM⊥平面ABCD,如图所示， D A B D .-M B 因为∠PAM=45°，所以PM=AM, 因为PM=AB=2,所以AM=AB,所以AP=AB, 所以点P的轨迹是以A为圆心，2为半径的圆的四分之一， 所以点P的轨迹长度为2×2-X, 综上，点P的轨迹总长度为π叶4V2,故C错误； 选项D:B1(2,2,2),D(0,0,2),C(0,2,0),F(2,1,2,设P(,,0),0≤m≤2,0≤n≤2， ZA D F A C 则CB=(2,0,2),CD=(0,-2,2),FP=(m-2,n-1,-2), 设平面BCD的法向量n=(a,b,c), CB =0 [2a+2c=0 则 即 CD,=0 ”-2b+2c=0’ 令a=1,则b=c=-1,所以2=1，-L,-1), 因为PF/I平面B,CD, 所以F严.n=(m-2)-(0n-1)+2=0,则n=m+1, 答案第6页，共16页 所以Fm=V0m-2)2+0n-1+4=V2m2-4m+8=V20m-+6≥V6, 即当m=1时，PF长度的最小值是√6，故D正确。 故选：AD 12.2 【分析】根据向量垂直的坐标表示，即可求得答案 【详解】因为a⊥b,所以2x+2-6=0,解得x=2. 故答案为：2 13.「-3，-22U(25,3] 【分析】y=V1-x2≥0表示位于x轴上方的单位圆，包含(1,0)，直线-y+3=0过定点 (0,3),求出直线与圆相切时k的值，数形结合得到答案 【详解】y=V1-x2≥0两边平方得x2+y2=1(y≥0)， 表示位于x轴上方的单位圆，包含(1,0)， 直线x-y+3=0过定点(0,3)，同一坐标系内画出图形如下： 3 当kx-y+3=0过点(1,0)时，k-0+3=0,解得k=-3, 当x-y+3=0与x2+y2=1(y≥0)相切时， 圆心(0,0)到-y+3=0的距离为 31 1+k2 =1,解得k=±2√2， 由对称性可知，当曲线y=V1-x2(-1≤x≤1)与直线x-y+3=0有两个不同的交点时， 实数k的取值范围是[-3，-2②U(2V2,3 故答案为：「-3，-22)U(22,3] 答案第7页，共16页 14.35 5 【分析】法一：依题意设出各点坐标A(x,y),B(0,y),从而由向量坐标运算求得 名膏以=子多戈=心，将点A代入双陆线C得到bc的齐次方程，从而得解， 5 法二：同法一求出点A坐标后，利用两点间距离公式求出|AE,AE引关于c的表达式，再利 用双曲线的定义得到a与c的关系，从而得解. 法三：设出F,B=3m,再利用线段长度关系、垂直关系得到AE,lBF,|AF引，再利用双 曲线的定义得到a=肌，再利用等面积法、勾服定得到。=35，从而得解 【详解】 法一：由题意可知，耳(-c,0),F,(c,O),设A(xy),B(0y), 则风A=K-cW,5=(c）,因为7=号B, 4-c=2 5 3 x1= 5 故{ 32，即Ac,3) 3 3% = 3),B=(c%,因为A1B, 所以屏团=0，即c-式=0，解得时k 因为点46子)在双陆线C上，故有“=1， 9a 9b2 又片=4c3,所以2c21c2 9a22=1,即25(a+b16(a+b）=1 9a2 9b2 ，5,放e=35 比窃得b=:则e2=1+=2 5 达：由前百法骨4了子0，分女， 答案第8页，共16页 所以u=c+( 64c2,4y 64c2,16c24v5c 9V9+ 9 3 4c+4=,c+l2d 图-0+(-g+=+g 3 由双曲线的定义可得A-A,=2a,即45c_2V5 33 =2a,即5 =a, 所以双曲线的离心率e=C=3=3√5 a5 5 法三：由-号丽可得4B.乃三点共线，且见在线段AB上，因此不纺令点A在第一 象限，则点8在y铂负半轴上，易得R4R。 设FB=3n(m>0),则E4=2,所以FB=F,B=3m，,AB=5m, 由RA1FB可得∠AB=90°，所以A=AB-BR=4m, 所以2a=A耳-AF=2,即a=m. 过R作DLAB,垂足为D,则与ARD-RAR,即×5m×RD-×4m×3m, 所以号，则B®吓m,益R4ga, 6 则F时r可-65m-2a即c=5m 5m,所以e=c=3W5 a 5 故答案为：3V⑤ 5 15. (1)4x+3y-18=0 (2)（x+3)2+(y+2)=25 +1.y+ (3)1616 =1 9 14416 【分析】(1)先求出两直线的交点坐标，再根据两直线平行斜率相等求出待求直线的斜率， 最后利用点斜式求出直线方程并化为一般式： (2)设出圆心坐标，根据圆心到圆上两点距离相等及圆心在已知直线上列出方程组，求解 出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程； (3)针对焦点位置分类讨论，根据椭圆的性质和已知条件列出方程，求解出a、b值，进 答案第9页，共16页 而得出椭圆的标准方程. 「2x+y-8=0 =2即两直线的交点坐标为(3,2). x=3 【详解】(1)联立两直线方程 x-2y+1=0’解得 因为直线平行于直线4+3y-7=0,所以k=- 所以直线1的方程为y-2=-青x-3),即4+3y-18=0 故直线1的一般方程为4x+3y-18=0; (2)圆心C在直线1：x-y+1=0上，可设圆心C的坐标为(a,a+1). 因为圆C经过A(1,1),B(2,-2)两点，所以AC=BC, 即V(a-1+(a+1-1=V(a-2y2+(a+1-(-2)', 即(a-1)2+a2=(a-2)2+(a+3)2,解得a=-3, 所以圆心C的坐标为(3，-2)，半径r=4C=V(-3-1)2+(-2-1)2-5, 故圆C的标准方程为(x+3)+(y+2)2=25: 3》当低点在：丝上时设椭圆的标准方程为芬+若-=a>b:0), 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以2a=3×2b,即a=3b 又圆经试点P0,所8号+g=1,解得a4,所以b=手 x2 v2 此时椭圆的标准方程为16i6=1, 9 当店点在)维上时，授稀圆的标准方程为若+茶a>6o 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以2a=3×2b,即a=3b, 又稀圆经过有P40),所以g票1，解行6=4，所以a=12 此时椭圆的标准方程为少+x =1 14416 x2,y2 数株国的标准方为6.1品活1 9 16.(1)证明见解析 (2)a.=n2+n-2 答案第10页，共16页