精品解析：广东省中山市华侨中学2025-2026学年高三上学期周测数学试题(1.11)（（2026.1.11）

中山市华侨中学高三数学晚测 2026.1.11 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 记等比数列的前项之积为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 5. 若向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一条对称轴 B. 是的充要条件 C. 已知，则 D. 的展开式中项的系数为5 10. 某次校园音乐大赛，8位评委分别给某选手打出的分数如下表： 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 分数 8.5 8.2 8.8 8.6 8.6 8.4 8.3 8.6 统计8位评委的分数为原始数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后统计6位评委的分数为有效数据，则（ ） A. 原始数据的分位数为8.6 B. 原始数据的均分等于有效数据的均分 C. 若原始数据的方差为，剔除一个8.5分后得到新数据的方差为，则 D. 原始数据中剔除某个分数后的极差不大于原始数据的极差 11. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A. 是函数的零点 B. 的极大值点为 C. 的图象关于点中心对称 D. 使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 《哪吒之魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖对哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共个人物手办，小明从个盲盒中（个盲盒内的人物一定不同）任意抽取个盲盒，则包含哪吒和至多一位龙王的概率是_____. 13. 如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，请用基底，表示__________. 14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 四､解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有最大值，且，求实数的取值范围． 16. 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 17. 如图所示，正四棱锥中，点E是棱PB的中点，． （1）证明：平面AEC； （2）已知异面直线PD与AE所成角的余弦值为， （ⅰ）求二面角的正弦值； （ⅱ）在线段AD上是否存在点F，使平面PBC．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市华侨中学高三数学晚测 2026.1.11 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求解不等式得到集合，再根据交集的定义进行运算即可得解. 【详解】要使函数有意义，须满足，即， 即，解得，所以. 因为，所以，即. 故选：C 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据运算的周期性和复数的除法运算直接化简求解即可. 【详解】，. 故选：A. 3. 记等比数列的前项之积为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则有，故充分性成立； 若，即，即，则或，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的特点，对分母和进行分类讨论即可得的范围. 【详解】由题意知，方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程或的特点可知：，且，解得或，综上所述的取值范围是. 故选：D. 5. 若向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标表示和向量垂直的性质,求出参数,使用向量夹角余弦值的坐标公式,求出向量夹角余弦值. 【详解】已知,则，可得,解得. 所以,则. 故选：D. 6. 已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可推导得到，结合可设，，利用向量坐标运算表示出，计算可得，可知当时，取得最小值，进而得到结果. 【详解】， ，则， ，两点在以为圆心，为半径的圆上， 设，由可取， ， ， 则当时，取得最小值，. 故选：C. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系，化简可得的值，进而可得的值，根据二倍角公式，结合两角差的正弦公式，化简计算，即可得答案. 【详解】因为，所以， 整理为，则， 又，则， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 8. 已知函数，若恒成立，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数单调性的关系求出导函数的零点，最后令求导判断即可； 【详解】函数的定义域为， ，显然单调递增且有唯一零点，令有， ∵当时，单调递减；当时，单调递增， 的极小值也是最小值为，而由题知恒成立， ，即有， 令时，，单调递减； 时，单调递增， 的极小值也是最小值为， ，又. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一条对称轴 B. 是的充要条件 C. 已知，则 D. 的展开式中项的系数为5 【答案】AC 【解析】 【分析】由正弦函数对称轴的求法可判断A；解一元二次不等式可判断B；由随机变量间方差的关系式可判断C；由二项式的通项公式可判断D. 【详解】对于A，函数  的对称轴满足 ，即 。 取 ， 确实是一个对称轴，所以 A 正确； 对于B，由 ，得： 或 ， 当时，成立，而不成立，所以 B 错误； 对于C，，因此 C 正确； 对于D， 展开通项 ，  项对应 ，系数 为，不是5，所以 D 错误. 故选：AC 10. 某次校园音乐大赛，8位评委分别给某选手打出的分数如下表： 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 分数 8.5 8.2 8.8 8.6 8.6 8.4 8.3 8.6 统计8位评委的分数为原始数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后统计6位评委的分数为有效数据，则（ ） A. 原始数据的分位数为8.6 B. 原始数据的均分等于有效数据的均分 C. 若原始数据的方差为，剔除一个8.5分后得到新数据的方差为，则 D. 原始数据中剔除某个分数后的极差不大于原始数据的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】将原始数据从小到大进行排序，结合百分位数，平均数，方差，极差的定义求解即可. 【详解】原始分数从小到大排序：，去掉的最低分为：，最高分为：； 对于A，数据共有个，所以，则原始数据的分位数为，故A错误； 对于B，原始数据平均分为， 有效数据平均分为，所以原始数据的均分等于有效数据的均分，故B正确； 对于C，原始数据的方差为， 剔除一个8.5分后得到新数据的平均数为，则方差为， 所以与不相等，故C不正确； 对于D，原始数据的极差为：， 若剔除的数据不是或，则极差不变， 若剔除的数据是或，则极差会变小，故D正确； 故选：BD 11. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A. 是函数的零点 B. 的极大值点为 C. 的图象关于点中心对称 D. 使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题目条件结合函数零点、导数与极值、函数图像的对称性、不等式与单调性等性质逐一分析判断选项. 【详解】选项A：计算，故是零点，A正确. 选项B：由，令得开口向上， 较小根处导数由正变负，故为极大值点，B正确. 选项C：计算，， 则恒成立，故图象关于点中心对称，C正确. 选项D：由函数图象关于点中心对称可知，不等式化简为， 当时，单调递增且，故，，D错误. 故选：ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 《哪吒之魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖对哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共个人物手办，小明从个盲盒中（个盲盒内的人物一定不同）任意抽取个盲盒，则包含哪吒和至多一位龙王的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先计算出任取个盲盒的取法总数；分类讨论求得满足题意的取法种数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】从个盲盒中任取个盲盒，共有种取法； 抽取的盲盒中，包含哪吒，不包含龙王的取法有种；包含哪吒和一个龙王的取法有种； 任意抽取个盲盒，包含哪吒和至多一位龙王的概率. 故答案为：. 13. 如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，请用基底，表示__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理进行表示即可. 【详解】假设竖直向上的一个向量的起点与终点在网格的格点上，且长度为最小正方形边长， 那么，所以有， 那么. 故答案为：. 14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到，联立得到，故. 【详解】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 四､解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有最大值，且，求实数的取值范围． 【答案】 （1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与 ，讨论时、 时，判断导函数的符号，即可求解； （2）根据（1）可得，得，设，利用导数求出函数的单调性，结合即可求解． 【详解】（1）的定义域为， 由可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）知，当时，在上单调递增，无最大值， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，取得最大值， 即， 因此有，得， 设，则，所以在内单调递增， 又，所以，得， 故实数的取值范围是． 16. 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 【答案】（1），，不独立 （2） X 800 500 300 P 446 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式和事件的独立性定义即可得出； （2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可. 【小问1详解】 ， ，， ，所以A，B不独立； 【小问2详解】 记外观与内饰均同色为事件，外观与内饰都异色为事件，仅外观或仅内饰同色为事件， 则， ， ， ， ∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色， 三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色． X的分布列： X 800 500 300 P ． 17. 如图所示，正四棱锥中，点E是棱PB的中点，． （1）证明：平面AEC； （2）已知异面直线PD与AE所成角的余弦值为， （ⅰ）求二面角的正弦值； （ⅱ）在线段AD上是否存在点F，使平面PBC．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）连接 ，，连接 ， 因为 是 中点，点 是棱 的中点， 则， 因为平面 ，平面 ，所以平面 ． （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）连接 ，，连接 ，根据中位线得出，从而可得平面 ； （2）（ⅰ）设 ，建立空间直角坐标系，根据向量法结合异面直线 与 所成角的余弦值为得出，进而求所成角的余弦值，最后应用同角三角函数关系计算求解； （ⅱ）假设存在点F，设，使 平面 ，计算得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）在正四棱锥 中， 平面 ， ， 所以两两垂直， 以 为坐标原点，所在直线分别为 ，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由 ，则，设 ， ， 则， 所以， 又异面直线 与 所成角的余弦值为， 所以，解得， 故， 所以， 设平面的法向量为， 则，得， 取，得， 易得平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角， 所以，则； （ii）设线段 上存在点 ，且， 因为， 设，， ， 又因为， 平面PBC， 所以， 所以，解得 ， 当 时， 平面 ， 所以 平面 ， 所以当时， 平面 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $