精品解析：2026年福建省泉州市晋江市晋江学校中考模拟预测数学试题

2025年秋季九年级数学期末模拟考试 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 煮熟的鸭子飞了 D. 买一张彩票，一定不会中奖 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，符合题意； C、煮熟的鸭子飞了是不可能事件，不符合题意； D、买一张彩票，一定不会中奖是随机事件，不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、与不能合并，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3. 已知，那么下列比例式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质，内项之积等于外项之积，计算对照判断解答即可. 本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解： A. 根据题意，外项之积 ，内项之积，故，与不一致，本选项不成立； B. 根据题意，外项之积 ，内项之积，故，与不一致，本选项不成立； C. 根据题意，外项之积 ，内项之积，故，与一致，本选项成立； D. 根据题意，外项之积 ，内项之积，故，与不一致，本选项不成立； 故选：C. 4. 将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求解锐角的正切，本题先利用平行线的性质把转化到已知直角三角形中，从而可得答案，熟练的利用平行线的性质进行等角的转换是解本题的关键． 【详解】解：如图，先标注顶点，∵， ∴， 在中，， ∴． 故选B． 5. 如图，，与相交于点O，，下列选项错误的是（ ） A. B. 与的周长比是 C. 与的面积比是 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查相似三角形的判定和性质，先证明，结合，利用相似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，故选项A错误，符合题意； 与的周长比是，故选项B正确，不符合题意； 与的面积比是，故选项C正确，不符合题意； ，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 6. 把方程配方，化成的形式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，解题的关键步骤是添加一次项系数一半的平方． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：B． 7. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 8. 某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆160人次，第三个月进馆450人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月增长率为，根据进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆160人次，第三个月进馆450人次，列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为， 由题意得，． 故选：A． 9. 黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，准确分析计算是解题的关键． 根据黄金分割点的定义，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，设为，列出方程求解 【详解】，， 设，则， ， ，即， 解得或， ， ，即． 故选． 10. 已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 若有意义，则应满足______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 方程的根是与，则＝______． 【答案】 28 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系并灵活转化是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再利用平方和公式求解即可． 【详解】方程 中，，，， 由根与系数的关系，得 ，， 则 ， 故答案为 ：28． 13. 如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与不等式的关系，掌握二次函数图象与不等式之间的关系是解题关键． 根据图象判断函数值的大小关系即可． 【详解】解：由图象可知，在点A的左侧和点B的右侧，抛物线在直线的上方， 故当或时，， 故答案为： 或． 14. 方程有两个实数根，则m的范围__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义． 根据一元二次方程二次项系数不为零，且判别式大于等于零得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得且， 故答案为：且 15. 如图，在四边形中，．分别是对角线的中点．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．连接、，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接、， 在中，是的中点， 则， 同理可得：， ， 是的中点， ，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④．以上结论中，正确的有________（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解答本题的关键要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 根据正方形和等边三角形中角度关系可得，再由解的直角三角形判断结论①；根据叫两个角对应相等判断结论②即可；证明，即可判断结论③；构造辅助线，通过面积求解即可． 【详解】解：在等边中，， 正方形中， ∴， 在中，则，结论①正确； 由得， ∴， ∵是等边三角形，四边形为正方形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， 即， 在与中， ， ∴，结论②正确； ∵，， 即， 又， ∴， ∴，即，结论③正确； 过点P作，，如图， 设正方形的边长为4，则正方形的面积为16， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，则， 在中，，则， ∵ ， ∴，结论④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分） 17. ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含乘方，特殊角的锐角三角函数值的实数的混合运算，掌握实数的混合运算方法是解题关键． 先去绝对值符号和代入的值，再根据实数的混合运算的法则运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 19. 如图，在中，． （1）在图中作出的内角平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明） （2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由． 【答案】（1） 如图， （2）， 理由如下： ∵平分∠BAC，， ∴． 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法解答； （2）在与中，易证，又公共角，根据两个角对应相等的两个三角形相似，得出． 【小问1详解】 解：如图， 以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于E，F， 然后分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧， 两弧交于P， 作射线交于点D， 即为所求． 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了作图—基本作图，相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本的作图方法及相似三角形的判定定理是解题的关键 20. 紫帽山位于福建省晋江市紫帽镇，是泉州四大名山之一，主峰海拔517.8米．景区以层峦叠嶂、飞瀑流泉为特色，拥有金粟洞、古玄寺等历史遗迹，以及百处“心”字石刻等文物奇观．周边植被茂盛，生态环境良好，属休闲旅游胜地．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率和列表法或画树状图法求概率，掌握求概率的公式和方法是解题关键． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据题意，列表或画树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：从四个车位中随机选择一个停放，共有4种等可能的情况， ∴甲停放在C位置的概率； 【小问2详解】 解：由题意，列表如下： 甲 乙 A B C D A B，A C，A D，A B A，B C，B D，B C A，C B，C D，C D A，D B，D C，D 由表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在相邻车位的情况有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 21. 研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案． 测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长． 【答案】米 【解析】 【分析】易证得，于是可得，即，又可证得，于是可得，即，进而可得，解方程即可求得的长，因而可得，据此即可求出的长． 【详解】解：根据题意可得：， 又， ， ， ， ， 根据题意可得：， 又， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， ， 纪念碑的高的长为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，相似三角形的判定与性质，线段的和与差，解分式方程，等式的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，求该方程的衍生点M的坐标． 【尝试应用】 （2）若关于x的一元二次方程为． ①求出该方程的衍生点M的坐标． ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，则直接写出直线解析式______． 【答案】 （1） （2）① ② 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一次函数的定义，理解定义内容，并熟练运用解一元二次方程的方法是解题关键． （1）解一元二次方程，按照定义确定点M的坐标即可； （2）①解一元二次方程，用含m的式子表示点M的坐标即可； ②根据①中所求坐标，按照一次函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：解一元二次方程， 得，， ∴该方程的衍生点M的坐标为； （2）①将原方程因式分解，得， ∴，， 显然， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ②令，，得， ∴直线解析式为． 故答案为． 23. 项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 【答案】（1），；（2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个；（3）不能，见解析 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】解：（1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为元，此时平均每天可卖出盲盒个； （2）根据题意，得． 解得，，． 因为每个盲盒的价格不能超过70元， 所以不符合题意，舍去． 所以（元）． 所以，若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个． （3）不能． 理由：根据题意，令． 整理，得． ． 所以方程无解． 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元． 24. 综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； （3）若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． （4）点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）由对称轴直线，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式； （2）如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，，此时取得最小值，则此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解； （3）求出直线解析式为，设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，可得，然后根据直线将的面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）分四种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线，， ∴点横坐标为，横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：， ∴，． 如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为， 把坐标代入得：， 解得：， 即直线解析式为， 令，解得， 即点D的坐标为； 故答案为： 【小问3详解】 解：由（2）得：，， 设直线解析式为， ∴ 解得：， ∴直线解析式为， 设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ∴， ∴． ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或， ∵， ∴或 ∴或， ∴点P的横坐标为或， 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或； 故答案为：或 【小问4详解】 解：存在， 设点Q的坐标为， 设交y轴于点K，则， 根据题意得：， 如图，过点M作于点N，则，此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或0； 此时点Q的坐标为； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或； ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或0（舍去）； ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，以及几何变换轴对称—最短距离，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 25. （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级数学期末模拟考试 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 煮熟的鸭子飞了 D. 买一张彩票，一定不会中奖 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，那么下列比例式中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 5. 如图，，与相交于点O，，下列选项错误的是（ ） A. B. 与的周长比是 C. 与的面积比是 D. 6. 把方程配方，化成的形式可以为（ ） A. B. C. D. 7. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 8. 某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆160人次，第三个月进馆450人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 若有意义，则应满足______． 12. 方程的根是与，则＝______． 13. 如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是______． 14. 方程有两个实数根，则m的范围__________． 15. 如图，在四边形中，．分别是对角线的中点．若，，则的长为__________． 16. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④．以上结论中，正确的有________（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分） 17. ． 18. 解方程：． 19. 如图，在中，． （1）在图中作出的内角平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明） （2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由． 20. 紫帽山位于福建省晋江市紫帽镇，是泉州四大名山之一，主峰海拔517.8米．景区以层峦叠嶂、飞瀑流泉为特色，拥有金粟洞、古玄寺等历史遗迹，以及百处“心”字石刻等文物奇观．周边植被茂盛，生态环境良好，属休闲旅游胜地．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 21. 研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案． 测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长． 22. 【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，求该方程的衍生点M的坐标． 【尝试应用】 （2）若关于x的一元二次方程为． ①求出该方程的衍生点M的坐标． ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，则直接写出直线解析式______． 23. 项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 24. 综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； （3）若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． （4）点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 25. （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $