精品解析：福建省泉州市晋江市多校联考2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

2025 年秋季期中考试（联考）九年级数学科试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的减法和乘法运算，根据运算法则逐一计算进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键． 【详解】解：把代入 可得出：， 解得：， 故选：B． 4. 下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例线段．判断四条线段是否成比例，可通过计算最小线段与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积来验证． 【详解】解：A：线段为． ∵，，， ∴不成比例． B：线段为． ∵， ∴不成比例． C：线段为． ∵， ∴不成比例． D：线段为． ∵， ∴成比例． 故选：D． 5. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 6. 若，则下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质判断即可． 【详解】解：A，B，C选项分别对应比例的反比性质、合比性质、更比性质， 只有D选项不正确． 故选D． 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 9. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 10. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题. 【详解】解：过点A作AF⊥BC， ∵AB=AC， ∴BF=BC=2， 在Rt,AF=， ∵D是边的两个“黄金分割”点， ∴即， 解得CD=， 同理BE=， ∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-， ∴DE=CD-CE=4-8， ∴S△ABC===， 故选：A. 【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数的大小的比较，解题关键是灵活运用比较两个实数的大小的方法，如作差法、取近似值法等． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义（把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式）即可得． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ，， 解得，， ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题关键． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 14. 如图，已知直线，如果，，那么线段的长是________． 【答案】6 【解析】 【分析】由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键． 15. 如图，在中，，点是△的重心，，垂足为，若，则线段的长度为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质．延长交于，如图，利用三角形重心的性质得到，，再证明，则可判断△△，然后利用相似比可求出的长，进而得到线段的长度． 【详解】解：延长交于，如图， 点是△的重心， ，， ， ， 而， ， △△， ， ， ． 故答案为：9． 16. 如图，在正方形中，△是等边三角形，、的延长线分别交边于点，，连接、，与相交于点，下列结论中：①；②△△；③△△；④．正确的有__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．①利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．②根据两角相等两个三角形相似即可判断．③通过计算证明，即可判断．④利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：四边形是正方形， ， △是等边三角形， ， ， ，故①正确， ， ， ， 又，， ， ， ， ， △△，故②正确， ， △与△不相似，故③错误， ， ， ， △△， ， ，故④正确． 故答案为：①②④． 三．解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【详解】解： = = =． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟悉掌握解一元二次方程的一般方法是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】 ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）4 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程： （1）求出判别式的符号，判断即可； （2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴或， ∴， ∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍， ∴或， 解得或（舍去）， ∴a的值为4． 21. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为且都在格点上． （1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心；并写出与的面积比为 ； （2）请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 【答案】（1） 点即为所求； （2） 作图如下： 【解析】 【分析】本题考查了作图—位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答关键． （1）连接、、相交于点，即可； （2）取、、的中点、、，顺次连接各点得到，即可． 【小问1详解】 解：连接、、相交于点， ∵， ∴， ∵与关于点位似， ∴与的面积比为； 故答案为： 【小问2详解】 解：取、、的中点、、，顺次连接各点得到． 22. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F． （1）根据题意补全图形． （2）如果AF＝1，求CF的长． 【答案】 （1）如图， （2）CF＝2． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可； （2）过点D作DG∥BF，交AC于点G，根据三角形中位线定理即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）作DH∥AC交BF于H，如图， ∵DH∥AF， ∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA， ∴△EDH≌△EAF， ∴DH＝AF＝1， ∵点D为BC的中点，DH∥CF， ∴DH为△BCF的中位线， ∴CF＝2DH＝2． 【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 23. 已知a，b，c均为正数，满足如下三个条件： ①，②，③． （1）小明探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④ 由④③，得． 小红探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④， 请你将小红的证明过程补充完整； （2）请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出a和c的值． 【答案】（1） 证明：由①②，得④， 由，得， ∴ ∴， 又∵， ∴． （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，分式的四则运算，正确理解题意是解题的关键． （1）由，得，进而推出，再根据题意即可证明结论； （2）先证明，再由得到，解方程求出a的值，进而求出c的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 24. 根据以下素材，探索完成任务： 背景 取材自蔡崇达的作品《皮囊》，改编自作者本人真实经历的电影《浪浪人生》，于2025年9月30日在中国内地上映火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推广． 素材1 某影院今年国庆放假第一天的票房收入为9万元，随着观影人数的不断增多，国庆放假第三天的票房收入达到万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“浪浪人生”手办盲盒进行销售．盲盒是一个无盖长方体纸盒（如图2），它由一个长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1）折成的，为了放下适当数量的东石特产“海蛎煎”，需要设计底面积为的纸盒． 素材 3 随着电影的越来越爆火，某商家生产了一批“浪浪人生”手办进行销售，已知一套“浪浪人生”手办的生产成本为40元，当该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套，若每套的售价每提高2元，则每天少卖4套．该店计划让平均每天销售所获的利润为4800元． 问题解决 任务1 根据素材1，求从今年国庆放假第一天到第三天该影院票房收入的日平均增长率； 任务2 根据素材2，求此时纸盒的高； 任务3 根据素材3，为了推广该款“浪浪人生”手办，且尽可能减少库存，求上调后每套手办的售价． 任务4 根据素材3，平均每天能否获利5100元？若能，请求出每套手办应上调多少元；若不能请说明理由． 【答案】任务1：从今年国庆放假第一天到第三天该影院票房收入的日平均增长率为； 任务2：纸盒的高为； 任务3：上调后每套手办的售价为80元； 任务4：平均每天不能获利5100元，理由如下： 设每套的售价提高n元，则现售价为元， 依题意得， 整理得， ∵， ∴原方程无实数根， ∴平均每天不能获利5100元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． 任务1：设从今年国庆放假第一天到第三天该影院票房收入的日平均增长率为x，根据第一天和第三天的票房建立方程求解即可； 任务2：设纸盒的高为，分别表示出纸盒底面的长和宽，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； 任务3：设每套的售价提高n元，则现售价为元，根据总利润等于每套的利润乘以销售量列出方程求解即可； 任务4：仿照任务3建立方程，看方程是否有解即可得到结论． 【详解】解：任务1：设从今年国庆放假第一天到第三天该影院票房收入的日平均增长率为x， 依题意得 解得（舍去） 答：从今年国庆放假第一天到第三天该影院票房收入的日平均增长率为． 任务2：设纸盒的高为， 依题意得， 整理得， 解得（舍去） 答：纸盒的高为． 任务3：设每套的售价提高n元，则现售价为元， 依题意得， 整理得 解得 ∵尽可能减少库存， ∴ ∴此时每套手办的售价为元． 答：上调后每套手办的售价为80元． 任务4：略 25. 四边形为正方形． （1）如图1，，垂足为，求证：． （2）如图2，当点为中点，连接，在上取，连接并延长交于点． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1） 证明：由正方形得， ， ， 又， ； （2） ①证明：连接， 方法一：延长交于点， 为中点， ， ， ， ，， 又， ， ， 即， 由正方形得：，， ， ， ， ， 由正方形得， ， ， ， ， ， ； 方法二：为中点， ， ， ， ，， 又， ， ，即， 由（1）得， ．（Ⅰ） ，， ， ， ， ，（Ⅱ） 由（Ⅰ）（Ⅱ）可得． 又， ； ②证明：， ， ， ， ，（Ⅲ） ， ，， ，（Ⅳ） 由（Ⅲ）（Ⅳ）可得． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识．解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）利用两角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）连接，①方法一：延长交于点，根据题意易得，根据等边对等角得，，根据三角形内角和得到，从而得到，正方形得到，，从而证明，可证，，由正方形得，可证，，，即可证明； 方法二：根据题意易得，根据等边对等角得，，根据三角形内角和得到，从而得到，由（1）得，，也能证明，，可得，即可证明； ②由（2）得，，可变形为，在直角中，，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 年秋季期中考试（联考）九年级数学科试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 4 4. 下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：________．（填“>”“<”或“=”） 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 14. 如图，已知直线，如果，，那么线段的长是________． 15. 如图，在中，，点是△的重心，，垂足为，若，则线段的长度为_________． 16. 如图，在正方形中，△是等边三角形，、的延长线分别交边于点，，连接、，与相交于点，下列结论中：①；②△△；③△△；④．正确的有__________． 三．解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为且都在格点上． （1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心；并写出与的面积比为 ； （2）请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 22. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F． （1）根据题意补全图形． （2）如果AF＝1，求CF的长． 23. 已知a，b，c均为正数，满足如下三个条件： ①，②，③． （1）小明探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④ 由④③，得． 小红探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④， 请你将小红的证明过程补充完整； （2）请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出a和c的值． 24. 根据以下素材，探索完成任务： 背景 取材自蔡崇达的作品《皮囊》，改编自作者本人真实经历的电影《浪浪人生》，于2025年9月30日在中国内地上映火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推广． 素材1 某影院今年国庆放假第一天的票房收入为9万元，随着观影人数的不断增多，国庆放假第三天的票房收入达到万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“浪浪人生”手办盲盒进行销售．盲盒是一个无盖长方体纸盒（如图2），它由一个长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1）折成的，为了放下适当数量的东石特产“海蛎煎”，需要设计底面积为的纸盒． 素材 3 随着电影的越来越爆火，某商家生产了一批“浪浪人生”手办进行销售，已知一套“浪浪人生”手办的生产成本为40元，当该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套，若每套的售价每提高2元，则每天少卖4套．该店计划让平均每天销售所获的利润为4800元． 问题解决 任务1 根据素材1，求从今年国庆放假第一天到第三天该影院票房收入的日平均增长率； 任务2 根据素材2，求此时纸盒的高； 任务3 根据素材3，为了推广该款“浪浪人生”手办，且尽可能减少库存，求上调后每套手办的售价． 任务4 根据素材3，平均每天能否获利5100元？若能，请求出每套手办应上调多少元；若不能请说明理由． 25. 四边形为正方形． （1）如图1，，垂足为，求证：． （2）如图2，当点为中点，连接，在上取，连接并延长交于点． ①求证：； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $