精品解析：辽宁省沈阳市法库县2025—2026学年上学期八年级期末考试数学试题

2025—2026学年度第一学期八年级期末考试数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列数是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列各组数据，能作为直角三角形三边的是（ ） A. B. 1，2，3 C. 9，16，25 D. 12，16，20 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列描述，能确定位置的是（ ） A. 望水路 B. 教室第二排 C. 北偏东 D. 东经，北纬 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形对应角相等 B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 C. 两直线平行，同位角相等 D. 同角的余角相等 6. 下列估算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在一次舞蹈比赛中，甲、乙两队演员身高的折线统计图如下．则甲、乙两队演员身高的方差与大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 9. 如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，，，若点的横坐标是8，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是________． 12. 一次函数的图象不经过第 _____象限． 13. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是______． 14. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五个方面的比例对学生学习过程进行课堂评价，某同学在课堂上五个方面得分依次是8，7，8，6，10，则该学生的课堂评价成绩是_____． 15. 已知5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，则a+b=_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 （1）化简：． （2）解方程组． 17. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位正方形学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： （1）在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点； （2）若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点，并连接．得到．求的面积． 18. 近年来网约车十分流行，初二某班学生对“花小猪”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 “花小猪” “滴滴” （1）直接填空：_____；_____； （2）求的值； （3）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司？请说明理由． 19. 如图，在中，于点，交于点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求度数． 20. 随着“低碳生活，绿色出行”理念普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，问：购进型、型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放．从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表1： 表1：电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 表2：汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据． ①直接写出关于的函数表达式； ②直接写出关于的函数表达式： 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 22. 已知：在中，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作．连接，先由边角边证明，从而得到，，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_____． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，若点在线段上．连接，在的左侧作，连接，直接写出线段、、之间满足的数量关系，并求出当时，求的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴交于，两点．定义：点先关于坐标轴对称，再向下平移1个单位后得到点，称点为点的对称平移点．当时，先关于轴对称再向下平移1个单位得到点，当时，先关于轴对称再向下平移1个单位得到点． （1）①点坐标为_____，坐标为_____，②点的对称平移点坐标为_____． （2）若点的平移对称点在直线上，求的值； （3）点在直线上，点的对称平移点为点，当时， ①点坐标为_____，（用含字母的式子表示） ②若面积等于27，直接写出值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期八年级期末考试数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列数是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，有规律但是不循环的数，含的数；据此逐个判断即可． 【详解】解：A、0是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组数据，能作为直角三角形三边的是（ ） A. B. 1，2，3 C. 9，16，25 D. 12，16，20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理． 根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足（c为斜边），则该三角形为直角三角形． 【详解】解：选项A：，不满足勾股定理； 选项B：，不满足勾股定理； 选项C：，不满足勾股定理； 选项D：，满足勾股定理； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：不是同类二次根式，不能相减，D错误； 故选：C． 4. 下列描述，能确定位置的是（ ） A. 望水路 B. 教室第二排 C. 北偏东 D. 东经，北纬 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了确定位置的条件，位置的确定至少需要两数据，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A． 望水路是一条路，不能确定具体点，不符合题意； B． 教室第二排是一排座位，不能确定具体座位，不符合题意； C． 北偏东是方向，缺少起点和距离，不能确定位置，不符合题意； D． 东经和北纬是地理坐标，能唯一确定地球上一个点，符合题意． 故选：D． 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形对应角相等 B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 C. 两直线平行，同位角相等 D. 同角的余角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及全等三角形的性质、对顶角、平行线性质和余角的性质．根据全等三角形的性质、对顶角、平行线性质和余角的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵ A选项：全等三角形的对应角相等，是真命题； ∵ B选项：两个角相等不一定是对顶角，∴ 是假命题． ∵ C选项：两直线平行，同位角相等，是真命题； ∵ D选项：同角的余角相等，是真命题； 故选：B． 6. 下列估算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算． 先估算出的大小，再估算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 在一次舞蹈比赛中，甲、乙两队演员身高的折线统计图如下．则甲、乙两队演员身高的方差与大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差，根据折线统计图结合数据波动小者即可判断求解，理解方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由折线统计图可知，甲的数据波动更小，乙的数据波动更大，甲比乙更稳定，即 故选：A． 8. 如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，平行线的判定定理主要有：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据平行线的判定定理逐个排查即可． 【详解】解：①由于和是同位角，则①可判定； ②由于和是内错角，则②可判定； ③由于和既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定； ④由于和是同旁内角，则④可判定； 即①②④可判定． 故选A． 9. 如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】沿剪开，展开圆柱的侧面，这只蚂蚁爬行的最小长度为，再利用勾股定理求出即可解决问题．本题考查平面展开最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，理解题意，能将立体图形展开成平面图形，利用勾股定理解答是解题的关键． 【详解】解：沿剪开，展开圆柱侧面，如图，这只蚂蚁爬行的最小长度为， 由题意，知， ∵圆柱底面周长为，圆柱高， ∴，，， 由勾股定理，得， ， ∴ 这只蚂蚁爬行的最小长度为， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，，，若点的横坐标是8，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行四边形性质与一次函数的综合应用，解决本题的关键在于利用点在直线上求出其坐标，再结合，确定点坐标． 本题可先根据点的横坐标求出其纵坐标，再根据求出的长度，最后结合确定点的坐标． 【详解】解：已知点在直线上，且点的横坐标是， 将代入直线方程可得：，即点， ∴， ∴，且，在轴负半轴上， ∴垂直于轴， ∴点的纵坐标与点相同，即为， 又∵，即点的横坐标为． 因此，点的坐标为． 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 先求得，根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故答案为：． 12. 一次函数的图象不经过第 _____象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据一次函数的解析式，可得，，再由一次函数图象性质，可得一次函数的图象经过第一、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题考查了一次函数图象性质，准确掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 13. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的联系是解题关键．根据两条直线的交点坐标即可得． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴方程组的解是， 故答案：． 14. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五个方面的比例对学生学习过程进行课堂评价，某同学在课堂上五个方面得分依次是8，7，8，6，10，则该学生的课堂评价成绩是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算． 根据加权平均数的定义，将各得分乘以其对应的权重后求和，再除以权重总和即可得到结果． 【详解】解：该学生的课堂评价成绩为： ． 故答案为：． 15. 已知5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，则a+b=_____． 【答案】1 【解析】 【分析】先估算出5+的整数部分，然后可求得a的值，然后再估算出5-的整数部分，然后可求得b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵4＜7＜9， ∴2＜＜3． ∴a=5+-7=-2，b=5--2=3-． ∴a+b=-2+3-=1． 故答案为1． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a，b的值是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）化简：． （2）解方程组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二元一次方程组的解法，熟练掌握相应的运算法则和消元法是解题的关键． （1）先化简二次根式，利用平方差公式计算，再计算加减法即可求解； （2）根据加减消元法消去其中的一个未知数，解得其中一个，代入方程可以求得另一个未知数，进而可以求得方程组的解． 【详解】（1）解：． ； （2）解： ，得 解得， 将代入①得， 解得； ∴原方程组的解为． 17. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： （1）在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点； （2）若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点，并连接．得到．求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的建立、坐标与图形的位置关系以及利用割补法求平面直角坐标系中三角形的面积，熟练掌握平面直角坐标系的概念及割补法求图形面积的方法是解题的关键． （1）根据已知点、坐标，确定平面直角坐标系的原点位置，进而建立坐标系． （2）通过作辅助线构造长方形，利用“长方形面积减去周围三个直角三角形的面积”的割补法，计算的面积． 【小问1详解】 解：确定原点并建立平面直角坐标系如图所示： ； 【小问2详解】 解：如图，分别过点、作平行于轴的直线，分别过点、作平行于轴的直线．交点分别为、、． 18. 近年来网约车十分流行，初二某班学生对“花小猪”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 “花小猪” “滴滴” （1）直接填空：_____；_____； （2）求的值； （3）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司？请说明理由． 【答案】（1）6，4.5 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数，众数，平均数． （1）利用中位数、众数的定义分别计算即可求解； （2）利用平均数的定义计算即可； （3）根据平均数一样，中位数及众数的大小进行选择即可． 【小问1详解】 解：从扇形统计图知，“花小猪”网约车司机的收入人数最多的是6千元， 则； 从条形统计图知，“滴滴”网约车司机的收入的中位数是千元， 则； 故答案为：6；； 【小问2详解】 “滴滴”网约车司机的收入的平均数是： （千元）， 【小问3详解】 答案一：选“花小猪”网约车公司，理由如下： 两家公司月收入平均数一样，“花小猪”平均月收入中位数（6千元）、众数（6千元）高，收入水平更稳定．因为其收入的集中趋势更优，所以我选“花小猪”网约车公司． 答案二：选“滴滴”网约车公司，理由如下： 两家公司月收入平均数一样，滴滴的收入数据有高收入段（如9千元、12千元），虽然“滴滴”（中位数4千元、众数4.5千元）低，但存在收入更高的可能性，适合追求高收入潜力的司机．所以我选“滴滴”网约车公司． 19. 如图，在中，于点，交于点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，垂直定义，正确掌握平行线的判定与性质和三角形内角和定理是解题的关键． （1）由平行线的性质得，再证明，则，等量代换，即可作答． （2）结合垂直定义得出，再运用三角形的内角和定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，问：购进型、型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每辆型汽车的进价是25万元，每辆型汽车的进价是10万元 （2）购进2辆型汽车，15辆型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用， （1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润=每辆A型汽车的销售利润型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元． 根据题意得： 解得． 答：每辆型汽车的进价是25万元，每辆型汽车的进价是10万元； 【小问2详解】 解：设该公司购进辆型汽车，全部售出后获得的总利润为元． 则该公司购进辆型汽车，根据题意得： ，即， ， 随的增大而减小， 又均为正整数， 的最小值为2， 此时（辆）． 当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：购进2辆型汽车，15辆型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元． 21. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放．从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表1： 表1：电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 表2：汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据． ①直接写出关于的函数表达式； ②直接写出关于的函数表达式： 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1）①，②；（2）25分钟 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【详解】解：①设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入，得， 解得， 关于的函数表达式为． ②设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入， 得，解得， 关于的函数表达式为． （2）当时，， 行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为，充电分钟后，增加的电量为， 充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为 行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， ． 答：电动汽车在服务区充电25分钟． 22. 已知：在中，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作．连接，先由边角边证明，从而得到，，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_____． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，若点在线段上．连接，在的左侧作，连接，直接写出线段、、之间满足的数量关系，并求出当时，求的面积． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）， 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）由（1）的结论知，，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： （2）解：成立，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接，如图， 由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴交于，两点．定义：点先关于坐标轴对称，再向下平移1个单位后得到点，称点为点的对称平移点．当时，先关于轴对称再向下平移1个单位得到点，当时，先关于轴对称再向下平移1个单位得到点． （1）①点坐标为_____，坐标为_____，②点的对称平移点坐标为_____． （2）若点的平移对称点在直线上，求的值； （3）点在直线上，点的对称平移点为点，当时， ①点坐标为_____，（用含字母的式子表示） ②若面积等于27，直接写出的值． 【答案】（1）①，，② （2）或 （3）①，② 【解析】 【分析】本题考查了对称平移点的新定义，一次函数的图像与性质，直角坐标系下点的坐标的表示，解决本题的关键是熟练掌握对称平移点的概念． （1）①令，即可求解点A的坐标，令，即可求解点B的坐标； ②根据，使用关于轴对称再向下平移1个单位求解即可； （2）分类讨论a的正负，使用不同的平移求解对称平移点，再将对称平移点代入直线方程求解即可； （3）①先由在直线上，表示出n与m的关系，再由根据求解点的对称平移点即可； ②作出辅助线，表示出点G的坐标，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：①∵直线：与轴，轴交于，两点， 令，即，解得， ∴点； 令，即，解得， ∴点； 故答案为：，； ②∵点中的横坐标， ∴点关于轴对称点为，再向下平移1个单位为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时， 点关于轴对称点为，再向下平移1个单位为， ∵点在直线上， ∴，解得，满足题意； 当时， 点关于轴对称点为，再向下平移1个单位为， ∵点在直线上， ∴，解得，满足题意； 综上，的值为或； 【小问3详解】 解：①∵点在直线上， ∴，即点， ∵， ∴点关于轴对称点，再向下平移1个单位为； 故答案为：； ②连接交于点G，如图， ∵点G横坐标为m,且点G在直线上， ∴，即， ∴， ∴， 即， 则有，整理可得， 即或， 解得或， ∵， ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $