题型8 新定义问题-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦新定义问题核心考点，覆盖数与式、方程与不等式、函数、几何四大模块，紧密对接中考考查要求。通过分析2025年嘉兴平湖二模等模拟题，梳理考点权重，归纳新运算、新函数、几何新定义等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于真题导向的分层训练与解题策略指导，如函数“纵横极差”先表示“纵横差”再求定义域内最值，几何“组合菱形”结合菱形性质与勾股定理突破计算。培养学生用数学眼光抽象概念、用数学思维推理运算的能力，助力学生掌握答题技巧，也为教师提供系统复习指导。

《二轮重难题型培优》 数学 题型八　新定义问题 深研浙江统考方向 (2025嘉兴平湖市二模)已知a，b均为实数，定义一种新运算：a※b＝.若a1＝1※2，a2＝3※2，a3＝3※4，a4＝5※4，则a1＋a2＋a3＋a4的值为___. 数与式的新定义问题 2 深研浙江统考方向 (2025杭州临平区模拟)对于实数a，b，定义一种新运算“☆”为：a☆b＝.例如：1☆3＝＝－2，则方程(－2)☆x＝1的解是(　 　) A.x＝1　　　　　　　 B.x＝3 C.x＝－3 D.x＝－1 C 深研浙江统考方向 我们规定：一个四位数M＝，若满足a＋b＝c＋d＝10，则称这个四位数为“十全数”.例如：四位数1928，因为1＋9＝2＋8＝10，所以1928是“十全数”.按照这个规定，最小的“十全数”是_______；一个“十全数”M＝，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'＝，记F(M)＝，G(M)＝.若与均是整数，则满足条件的M的值是_______. 1 919 3 782 深研浙江统考方向 对x，y定义新运算H：规定H(x，y)＝，若关于正数x的不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是________. 方程(组)与不等式(组)的新定义问题 　8≤a＜9 深研浙江统考方向 对于任意实数a，b，定义新运算：a※b＝，给出下列结论： ①8※2＝8；②若x※3＝6，则x＝6； ③a※b＝(－a)※(－b)； ④若(2x－4)※2＜5x，则x的取值范围为x＞. 其中正确结论的个数是(　 　) A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4 B 深研浙江统考方向 (2025温州龙港市二模)新定义：我们把抛物线y＝－ax2－bx＋c(其中a≠0)与抛物线y＝ax2＋bx＋c称为“孪生抛物线”.例如：抛物线y＝－x2－5x＋3的“孪生抛物线”为y＝x2＋5x＋3.已知抛物线C1：y＝－ax2－2ax＋a＋4(a为常数，且a＜0)的“孪生抛物线”为C2.抛物线C2的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若△ABC为直角三角形，则抛物线C1的表达式为________________. 函数的新定义问题 y＝x2＋x＋ 深研浙江统考方向 (2025湖州一模)在平面直角坐标系中，点A(x，y)的纵坐标y与横坐标x的差“y－x”称为点A的“纵横差”.某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”. 例如：点A(－8，1)的“纵横差”为1－(－8)＝9；函数y＝2x＋1图象上所有点的“纵横差”可以表示为y－x＝2x＋1－x＝x＋1，当3≤x≤6时，x＋1的最大值为6＋1＝7，所以函数y＝2x＋1(3≤x≤6)的“纵横极差”为7. 根据定义，解答下列问题： (1)求点B(4，9)的“纵横差”； 解：由题意，点B(4，9)的“纵横差”为9－4＝5； 深研浙江统考方向 (2)求函数y＝＋x(－5≤x≤－1)的“纵横极差”； 解：∵y＝＋x，∴y－x＝＋x－x＝. 又∵－5≤x≤－1，∴当x＝－5时，y－x的最大值是－，∴函数y＝＋x(－5≤x≤－1)的“纵横极差”为－； 深研浙江统考方向 (3)若函数y＝－x2＋(2h＋1)x(－1≤x≤3)的“纵横极差”为4，求h的值. 解：∵函数y＝－x2＋(2h＋1)x(－1≤x≤3)的“纵横极差”为4，∴当－1≤x≤3时，y－x＝－x2＋2hx＝－(x－h)2＋h2的最大值为4. ①若 h＜－1，则当x＝－1时，y－x有最大值为4， ∴－1－2h＝4，解得h＝－2.5；②若－1≤h≤3，则当x＝h时，y－x有最大值为4，∴h2＝4，解得 h＝2 或 h＝－2(舍去)；③若h＞3，则当x＝3时，y－x有最大值为4，∴－9＋6h＝4，解得h＝(舍去). 综上所述，h＝－2.5 或 h＝2. 深研浙江统考方向 (2025杭州上城区一模)定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用k表示. 如图，菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，其中BD与EF共线，且满足BD∶EF＝. (1)组合比k＝ ___； 几何新定义问题 例4题图 深研浙江统考方向 (2)若BE＝2，AB＝3，求AC的长； 解：如图，连接AC交BD于点O. ∵菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， EO＝FO，∴BE＝DF＝2. ∵，∴EF＝3BD. ∵EF＝BE＋DF＋BD，∴BE＝BD＝DF＝2， ∴BO＝DO＝BD＝1，∴AO＝＝2，∴AC＝4； 例4题图 深研浙江统考方向 (3)若∠BAD＝∠AEC，求证：∠AEB＝30°. 证明：∵菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形， ∴AC⊥BD，∠BAD＝2∠BAC，∠AEC＝2∠AED. 由(2)知EF＝3BD， ∴EO＝3BO. ∵∠BAD＝∠AEC， ∴∠BAC＝∠AED， 又∵∠AOB＝∠AOE＝90°， 例4题图 深研浙江统考方向 ∴△AOB∽△EOA， ∴，∴AO＝BO， ∴tan∠BAO＝， ∴∠BAO＝30°，∴∠AEB＝30°. 例4题图 深研浙江统考方向 (2025杭州滨江区三模)我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”. (1)如图1，已知△ABC，AB＝AC，AC≠BC，过点C能作出△ABC 的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； 图1 变式4题图 解：过点C不能作出△ABC 的“紫金线”. 理由：如图1，设过点C能作“紫金线”CD交AB于点D，则点D为AB的中点，平分△ABC的面积. ∵AC≠BC，∴AD＋AC≠BD＋BC，∴△ACD 与△BCD的周长不相等，故CD不能平分△ABC的周长，∴过C不能作出△ABC 的“紫金线”； 深研浙江统考方向 (2)如图2，若MN是矩形ABCD 的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将∠ACD用含α的代数式表示为________； 图2 变式4题图 2α－90° 深研浙江统考方向 (3)如图3，已知四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5.作出四边形ABCD的“紫金线”PQ(保留作图痕迹，并说明理由). 解：如图3，直线PQ即为所求. 理由：如图3，记直线PQ与AD， BC分别交于点F，E， 连接AE，DE. ∵直线PQ是AD的垂直平分线， ∴EA＝ED， FA＝DF，∴S△AFE＝S△DEF. ∵∠B＝∠C＝90°， 图3 变式4题图 深研浙江统考方向 ∴由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2，DE2＝DC2＋CE2，∴32＋BE2＝52＋(8－BE)2，解得BE＝5， ∴CE＝8－5＝3，∴AB＋BE＋AF＝CE＋CD＋DF， ∴直线PQ平分该图形周长. ∵S△ABE＝S△DEC＝×3×5＝7.5， ∴S△ABE＋S△AFE＝S△DEC＋S△DEF， ∴直线PQ平分该图形面积， ∴直线PQ为四边形ABCD的“紫金线”. 图3 变式4题图 深研浙江统考方向 1.对多项式A，B，定义新运算“⊕”：A⊕B＝2A＋B；对正整数k和多 项式A，定义新运算“⊗”：k⊗A＝ (按从左到右的顺序依次做“⊕”运算).已知正整数m，n为常数，记M＝m⊗(x2＋31xy)，N＝n⊗(y2－14xy)，若M⊕N不含xy项，则mn＝____. 4 5 3 2 1 7 6 针对训练 15 深研浙江统考方向 2.定义：点A(x，y)为平面直角坐标系内的点，若满足－x＝y，则把点A叫作“和谐点”.例如：M(1，－1)，N(－2，2)都是“和谐点”.若－1≤x≤3时，直线y＝2x＋m上有“和谐点”，则m的取值范围是(　 　) A.0≤m≤3　　　　　 B.－9≤m≤3 C.－3≤m≤9 D.－9≤m≤0 4 5 3 2 1 7 6 B 深研浙江统考方向 3.定义：对于一组关于x的多项式x＋a，x＋b，x＋c，x＋d，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时(不含字母x)，称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子.若多项式x＋n，x＋，x＋－1，x＋＋1是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为_________. 4 5 3 2 1 7 6 ±2 深研浙江统考方向 4.对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0，则m＝；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n＋1.这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”.对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推.例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8＋1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3. (1)对正整数15进行三次变换，得到的数为____； (2)若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为_____. 4 5 3 2 1 7 6 2 11 深研浙江统考方向 5.二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(4，3)，且对称轴为直线x＝1. (1)求这个二次函数的解析式； 4 5 3 2 1 7 6 解：由题意，得， 解得， ∴这个二次函数的解析式为y＝x2－2x－5； 深研浙江统考方向 (2)若一个点的坐标满足(k，2k)，我们将这样的点定义为“倍值点”. ①求这个函数“倍值点”的坐标； 4 5 3 2 1 7 6 解：将(k，2k)代入二次函数y＝x2－2x－5得 k2－2k－5＝2k， 解得k1＝5，k2＝－1， ∴这个函数“倍值点”的坐标为(5，10)或(－1，－2)； 深研浙江统考方向 ②若P(m，n)是该二次函数图象上“倍值点”之间的点(包括端点)，求n的最大值与最小值的差. 4 5 3 2 1 7 6 解：由题意得P(m，n)是该二次函数图象上(－1，－2)与(5，10)之间的点， ∴－1≤m≤5. ∵二次函数y＝x2－2x－5的开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当m＝1时，n取最小值，为12－2×1－5＝－6， 当m＝5时，n取最大值，为52－2×5－5＝10， ∴n的最大值与最小值的差为10－(－6)＝16. 深研浙江统考方向 6.(2025宁波校级模拟)数学学习小组成员在阅读课外书中，学习了一种特殊的四边形：筝形，其定义为：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.因此大家以“筝形”为主题开展了实践探究活动. 【素材】如图1，学习小组成员将一张长方形卡纸对折后压平，按图中的方法剪出一个三角形，把纸展平，得到四边形ABCD. 4 5 3 2 1 7 6 图1 第6题图 深研浙江统考方向 【探究】 (1)判断四边形ABCD是否为筝形.若是筝形，请指出哪两组邻边相等；若不是筝形，请说明理由； 4 5 3 2 1 7 6 解：四边形ABCD是筝形，两组相等的邻边分别是AD＝CD，BA＝BC； 图1 第6题图 深研浙江统考方向 (2)如图2，在探究筝形MNPQ性质的过程中，猜想：NQ垂 直平分MP.你认为该猜想是否成立？请说明理由； 4 5 3 2 1 7 6 解：猜想成立.理由如下： 由折叠的性质得，MQ＝PQ，∠MQO＝∠PQO. 在△QMO和△QPO中，， ∴△QMO≌△QPO(SAS)，∴∠QOM＝∠QOP＝90°，OM＝OP，∴NQ垂直平分MP； 图2 第6题图 深研浙江统考方向 (3)在第(2)题基础上，若QM⊥MN，sin∠QMO＝，MQ＝3，求筝形MNPQ的面积. 4 5 3 2 1 7 6 解：∵QM⊥MN且NQ⊥MP， ∴∠QMO＋∠MQO＝∠QNM＋∠MQO＝90°， ∴∠QMO＝∠QNM，∴sin∠QMO＝sin∠QNM， 即，∴，∴QO＝1，NQ＝9. 在Rt△MQO中，由勾股定理，得MO2＋QO2＝MQ2， ∴MO2＋12＝32，解得MO＝2(负值已舍去)，∴MP＝2MO＝4， ∴S筝形MNPQ＝MP·NQ＝×4×9＝18. 图2 第6题图 答：筝形MNPQ的面积为18. 深研浙江统考方向 7.(2023宁波中考)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角. (1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线DB平分∠ADC.求证：四边形ABCD为邻等四边形； 4 5 3 2 1 7 6 图1 第7题图 证明：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠ABC＝180°－∠A＝90°，∠ADB＝∠CBD. ∵对角线DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠CDB，∴CD＝CB， ∴四边形ABCD为邻等四边形； 深研浙江统考方向 (2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D； 4 5 3 2 1 7 6 解：如图2，点D1，D2，D3即为所求； 图2 第7题图 深研浙江统考方向 (3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E.若AC＝8，DE＝10，求四边形EBCD的周长. 4 5 3 2 1 7 6 解：如图3，过点D作DF⊥BC于点F，易得矩形ABFD.∵四边形ABCD是邻等四边形，∠BCD为邻等角，∴CD＝CB. ∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC. ∵BE∥AC，∴四边形AEBC是平行四边形，∴EB＝AC＝8，AE＝BC ＝DC， 图3 第7题图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 设AE＝BC＝DC＝x，则AD＝DE－AE＝10－x， 在矩形ABFD中，AB＝DF，AD＝BF＝10－x， ∴CF＝BC－BF＝x－(10－x)＝2x－10. 在Rt△ABE和Rt△DFC中，根据勾股定理得 BE2－AE2＝AB2，CD2－CF2＝DF2， ∴BE2－AE2＝CD2－CF2，即82－x2＝x2－(2x－10)2， 整理得x2－20x＋82＝0，解得x1＝10－3，x2＝10＋3(不符合题意，舍去)， ∴CD＝CB＝10－3，∴四边形EBCD的周长＝BE＋DE＋2CD＝8＋10＋2×(10－3)＝38－6. 图3 第7题图 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $