题型7 课时2 几何图形中的线段、面积最值问题[2025.24]-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦几何图形综合题中的线段与面积最值核心考点，紧密对接中考说明，分析近三年考点权重，归纳出正方形、平行四边形等载体下的“两点距模型”“垂线段最短”等常考题型，体现备考针对性。 课件以中考真题为载体，如2024绍兴嵊州期末题、2025丽水期中题，通过“识特征→找线段→配模型”三步法培养学生几何直观与推理意识，例1中构造全等转化DE+CP最小值，帮助学生掌握转化思想，提升解题技巧，助力教师高效指导中考冲刺。

《二轮重难题型培优》 数学 题型七　几何图形综合题 (2025.24，12分) 课时二　几何图形中的线段、面积最值问题(2025.24) 深研浙江统考方向 几何最小值问题的解题思路 深研浙江统考方向 (2024绍兴嵊州市九年级期末)已知正方形ABCD的边长是7，点E为正方形内一动点. (1)当点E在对角线BD上时， ①如图1，连接AE，CE，求证：AE＝CE； 几何图形中的线段最值问题 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝45°. ∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴AE＝CE； 图1 例1题图 深研浙江统考方向 ②若AE＝5，点F是正方形ABCD边上一点，当AE＝EF时，求线段DF 的长； 解：如解图1，过点E作EG⊥AD于点G，延长GE交BC于点W，作EH⊥AB于点H， 易得四边形AHEG，四边形GDCW是矩形. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EDC＝45°， ∴∠DEG＝∠EDG＝45°， ∴DG＝EG. 例1题解图1 图1 例1题图 深研浙江统考方向 在Rt△AEG中，AG＝AD－DG＝7－EG. ∵EG2＋AG2＝AE2， ∴EG2＋(7－EG)2＝52，∴EG＝3或4. 当EG＝3时，AG＝4. ∵AE＝EF， 当点F在AD上时，AF＝2AG＝8＞7，故舍去， 当点F在AB上时，AF＝2AH＝2EG＝6， ∴DF＝＝＝， 例1题解图1 深研浙江统考方向 当点F在CD上时，由(1)知，点F在C点处，此时DF＝7， 当点F在BC上时，此时CF＝2CW＝2DG＝6， DF＝； 当EG＝4时，AG＝EW＝3. ∵AE＝EF， 当点F在AD上时，AF＝2AG＝6，DF＝AD－AF＝1， 当点F在AB上时，AF＝2AH＝2EG＝8＞7，故舍去， 当点F在BC上时，点F在点C处，DF＝7， 当点F在CD上时，CF＝2EW＝6，DF＝CD－CF＝1， 综上所述，DF＝1或或7； 例1题解图1 深研浙江统考方向 (2)如图2，若BE＝7，点P是线段BE上一点，当BP＝5时，求DE＋CP的最小值. 图2 例1题图 解：如解图2，在BC上取一点Q， 使BQ＝BP＝5，连接DQ，EQ. ∵BE＝BC＝7，∠EBQ＝∠CBP， ∴△EBQ≌△CBP(SAS)， ∴EQ＝CP， ∴DE＋CP＝DE＋EQ≥DQ. 例1题解图2 深研浙江统考方向 当D，E，Q三点共线时，DE＋EQ的值最小，最小 值是DQ的长， 在Rt△DCQ中，CD＝7，CQ＝BC－BQ＝7－5＝2， ∴DQ＝＝， ∴DE＋CP的最小值为. 例1题解图2 深研浙江统考方向 (2025丽水九年级期中)如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，F是AD的中点，CE⊥AB于点E，设∠ABC＝α(60°≤α＜90°). (1)当α＝60°时，求CE的长； 变式1题图 解：当∠ABC＝α＝60°时，∵CE⊥AB， ∴∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝4，∴CE＝BE＝4； 深研浙江统考方向 (2)当60°＜α＜90°时，连接CF，EF， ①求证：∠CFD＝∠AEF； 证明：如解图，延长CF交BA的延长线于点G. ∵F为AD的中点，∴AF＝DF. 在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠G＝∠DCF. 在△AFG和△DFC中，， 变式1题图 变式1题解图 深研浙江统考方向 ∴△AFG≌△DFC(AAS)， ∴CF＝GF，AG＝CD. ∴F是GC的中点. ∵CE⊥AB，∴EF＝GF，∴∠AEF＝∠G. ∵AB＝4，BC＝8，F是AD的中点， ∴AG＝CD＝AB＝4，AF＝AD＝BC＝4， ∴AG＝AF，∴∠G＝∠AFG＝∠CFD， ∴∠CFD＝∠AEF； 变式1题解图 深研浙江统考方向 ②求CE2－CF2的最大值. 解：设BE＝x. ∵AG＝CD＝AB＝4， ∴EG＝AE＋AG＝4－x＋4＝8－x. 在Rt△BCE中，CE2＝BC2－BE2＝64－x2. 在Rt△CEG中，CG2＝EG2＋CE2＝(8－x)2 ＋64－x2＝128－16x. 由(2)①得CF＝CG， 变式1题解图 深研浙江统考方向 ∴CF2＝＝32－4x，∴CE2－CF2＝64－x2－32＋4x＝－x2＋4x＋32＝－(x－2)2＋36， ∴当x＝2，即E是AB的中点时，CE2－CF2取最大值，最大值是36. 变式1题解图 深研浙江统考方向 【一题多解】如图1，四边形ABCD是边长为10的正方形，点P是射线BC上一点(点P不与点B和点C重合)，连接AP，过B作AP的垂线，垂足为E，在线段AP上取点F，使得AF＝BE，连接DF. (1)当点P在线段BC上时，求证：DF∥BE； 几何图形中的面积最值问题 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BAE＋∠DAF＝90°. ∵BE⊥AP，∴∠BAE＋∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠DAF. 图1 备用图 例2题图 深研浙江统考方向 在△ABE和△DAF中，， ∴△ABE≌△DAF(SAS)， ∴∠DFA＝∠AEB＝90°， ∴∠DFP＝180°－∠DFA＝90°， ∴∠DFP＝∠AEB，∴DF∥BE； 图1 例2题图 深研浙江统考方向 (2)当△AEB的面积为20时，求DF∶BE的值； 解：由(1)得△ABE≌△DAF，∴AE＝DF. 设AE＝DF＝b，AF＝BE＝a，DF∶BE＝b∶a＝x. 在Rt△AEB中，ab＝20，a2＋b2＝102， ∴，整理，得＋x＝，x≠0， ∴2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝， 经检验，x＝2或x＝都是原方程的解， ∴DF∶BE的值为2∶1或1∶2； 图1 例2题图 深研浙江统考方向 (3)如图2，连接CE，在点P的运动过程中，求线段DF，FE，EC，CD所围成的图形面积的最小值. 图2 例2题图 解：如解图1，当点P在线段BC上时， 连接DE和CF交于点H. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝∠ABP＝90°. 又∵AE＝DF，∠BAE＝∠ADF， ∴∠DAE＝90°－∠BAE＝90°－∠ADF＝∠CDF， ∴△DAE≌△CDF(SAS)，∴DE＝CF，∠ADE＝∠DCF. 例2题解图1 深研浙江统考方向 ∵∠ADE＋∠CDE＝90°， ∴∠DCF＋∠CDE＝90°，∴∠CHD＝90°， ∴DE⊥CF， ∴线段DF，FE，EC，CD所围成的图形面积 是DE×CF＝DE2； 如解图2，当点P在线段BC的延长线上时，延长CF与DE交于点L. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝∠ABP＝90°. 又∵AE＝DF，∠BAE＝∠ADF， 例2题解图2 深研浙江统考方向 ∴∠DAE＝90°－∠BAE＝90°－∠ADF＝∠CDF， ∴△DAE≌△CDF(SAS)， ∴DE＝CF，∠ADE＝∠DCF. ∵∠ADE＋∠CDE＝90°， ∴∠DCL＋∠CDE＝90°， ∴∠CLD＝90°，∴DE⊥CF， ∴线段DF，FE，EC，CD所围成的图形面积是DE×CF＝DE2. 综上，要求线段DF，FE，EC，CD所围成的图形面积的最小值，只要求得DE的最小值即可. 例2题解图2 深研浙江统考方向 取AB的中点G，连接EG，DG. ∵EG＋ED≥DG， ∴当G，E，D共线时，DE有最小值，最小值 为DG－GE的长. ∵四边形ABCD是边长为10的正方形，G为AB的中点，且∠AEB＝90°， ∴AG＝GE＝AB＝5，GD＝＝5， ∴DE有最小值为DG－GE＝5－5， ∴线段DF，FE，EC，CD所围成图形面积的最小值为DE2＝(5－5)2＝75－25. 例2题解图2 深研浙江统考方向 (2024杭州拱墅区一模)如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点(不与点B，C重合)，连接DE，点C关于直线DE的对称点为C'，连接AC'并延长交直线DE于点P，F是AC'的中点，连接CC'，C'D，DF. (1)求∠FDP的度数； 解：由对称得CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE. 在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D. ∵F是AC'的中点， ∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF， ∴∠FDP＝∠FDC'＋∠EDC'＝∠ADC＝45°； 变式2题图 深研浙江统考方向 (2)连接BP，求证：BP＋DP＝AP； 变式2题图 证明：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于点P'，则∠PAP'＝90°. 在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝90°＝∠PAP'，∴∠DAP'＝∠BAP， 由(1)可知∠FDP＝45°，∠DFP＝90°， ∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'. 在△BAP和△DAP'中， 深研浙江统考方向 ， ∴△BAP≌△DAP'(SAS)，∴BP＝DP'， ∴DP＋BP＝DP＋DP'＝PP'， 在Rt△APP'中，AP＝AP'， ∴PP'＝AP，∴BP＋DP＝AP； 变式2题图 深研浙江统考方向 (3)连接AC，若正方形的边长为10，求△ACC'的面积最大值. 解：如图，连接BD交AC于点O，过点C'作C'G⊥AC于点G，则S△ACC'＝AC·C'G， ∵正方形ABCD的边长为10， 在Rt△ABC中，AB＝BC＝10， ∴AC＝＝10，即AC为定值. 当C'G最大时，△AC'C的面积最大， 此时点G与点O重合. 变式2题图 深研浙江统考方向 ∵CD＝C'D＝10，OD＝AC＝5，∴C'G＝CO＝CD－OD＝10－5，∴S△ACC'＝AC·C'G＝×10×(10－5)＝50－50， 即△ACC'的面积最大值为50－50. 变式2题图 深研浙江统考方向 1.(2025嘉兴南湖区九年级期中)【问题探究】(1)如图1，已知AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，CE，求证：四边形ABEC是平行四边形； 4 3 2 1 图1 第1题图 证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD. ∵DE＝AD，∴四边形ABEC是平行四边形； 针对训练 深研浙江统考方向 4 【拓展提升】(2)如图2，在△ABC的中线AD上任取一点M(不与点A、点D重合)，过点M，点C分别作ME∥AB，CE∥AD，连接AE，BM.求证：四边形ABME是平行四边形； 2 1 图2 第1题图 证明：如解图1，延长AD至点F，使DF＝AD，连接CF.∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD. 在△ADB和△FDC中，， 第1题解图1 3 深研浙江统考方向 ∴△ADB≌△FDC(SAS)， ∴CF＝BA，∠DCF＝∠ABD，∴AB∥CF. ∵AB∥ME，∴ME∥CF. ∵CE∥MF， ∴四边形CEMF是平行四边形， ∴ME＝CF，∴ME＝AB， ∴四边形ABME是平行四边形； 4 2 1 第1题解图1 3 深研浙江统考方向 【灵活应用】(3)如图3，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝12，D是BC的中点，点M是直线AD上的动点，且ME∥AB，CE∥AD，当ME＋MC取得最小值时，求线段CE的长度. 4 2 1 图3 第1题图 解：如解图2，延长AD至点F，使DF＝AD，连接CF. 由(2)知CF＝ME＝AB＝8， CE＝MF， 则ME＋MC取最小值时，CM最小，故CM⊥AD时，CM最小. ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝BC＝6. 第1题解图2 3 深研浙江统考方向 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝＝10. ∵S△ABD＝S△ADC，即BD·AB＝AD·CM， ∴×6×8＝×10CM， 解得CM＝. 在Rt△CMF中，由勾股定理得MF＝＝＝，∴CE＝MF＝. 4 2 1 第1题解图2 3 深研浙江统考方向 2.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的两邻边分别在坐标轴的正半轴上，E为x轴正半轴上一动点，连接CE，过点B作BF⊥CE交y轴于点F，连接EF，以FB，FE为邻边构造平行四边形EGBF，已知OA＝6. (1)求证：△OCE≌△CBF； 4 2 1 第2题图 证明：∵四边形OABC是正方形， ∴OA＝AB＝BC＝CO，∠AOC＝∠OAB＝∠ABC＝∠BCO＝90°， ∴∠OCE＋∠CEO＝90°，∠OCE＋∠ECB＝90°. ∵BF⊥CE， ∴∠CBF＋∠ECB＝90°， 3 深研浙江统考方向 ∴∠OCE＝∠CBF. 在△OCE和△CBF中， ， ∴△OCE≌△CBF(ASA)； 第2题图 4 2 1 3 深研浙江统考方向 (2)当E为OA的中点时，求点F的坐标； 4 2 1 解：∵△OCE≌△CBF， ∴OE＝CF. ∵E为OA的中点，OA＝OC＝6， ∴OE＝AE＝CF＝3， ∴OF＝6－3＝3， ∴F(0，3)； 第2题图 3 深研浙江统考方向 (3)当点E在x轴正半轴上运动的过程中，求BG的最小值. 4 2 1 解：由(2)可知CF＝OE， 设CF＝OE＝x. ∵E为x轴正半轴上一动点， ∴OF＝｜x－6｜， 在Rt△OEF中，OE2＋OF2＝EF2， ∴EF2＝x2＋(x－6)2＝2x2－12x＋36＝2(x－3)2＋18， 第2题图 3 深研浙江统考方向 ∴EF2的最小值为18， ∴EF最小值为3. ∵四边形EGBF是平行四边形， ∴BG＝EF＝3，即BG最小值为3. 4 2 1 第2题图 3 深研浙江统考方向 3.如图1，正方形ABCD的边长为3，E是直线AD上一动点，连接CE，在CE的右侧以C为直角顶点作等腰直角三角形ECF，连接BE，DF. (1)当点E在线段AD上运动时，试判断BE与DF的数量关系，并说明理由； 4 3 2 1 图1 第3题图 解：BE＝DF.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°， 在等腰直角三角形ECF中，CE＝CF，∠ECF＝90°， 深研浙江统考方向 4 3 2 1 ∴∠BCE＝∠DCF＝90°－∠ECD. 在△BCE和△DCF中，， ∴△BCE≌△DCF(SAS)，∴BE＝DF； 图1 第3题图 深研浙江统考方向 (2)当AE＝2ED时，求DF的长； 4 3 2 1 解：①如图1，当点E在线段AD上， ∵AE＝2ED，正方形ABCD的边长为3， ∴AE＋ED＝AD＝3，∴AE＝2，ED＝1. 在正方形ABCD中，AB＝3，∠BAE＝90°， ∴BE＝， 由(1)知，BE＝DF， ∴DF＝； 图1 第3题图 深研浙江统考方向 ②如解图，当点E在AD延长线上， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝∠90°. 在等腰直角三角形ECF中，CE＝CF，∠ECF＝90°， ∴∠BCE＝∠DCF， 在△BCE和△DCF中，， 4 3 2 1 第3题解图 深研浙江统考方向 ∴△BCE≌△DCF(SAS)，∴BE＝DF. ∵AE＝AD＋ED＝2ED＝2AD＝6. 在正方形ABCD中，AB＝3，∠BAE＝90°， ∴BE＝＝3， ∴DF＝BE＝3.综上，DF的长为或3. 4 3 2 1 第3题解图 深研浙江统考方向 (3)如图2，连接BF，则BE＋BF的最小值为________. 4 3 2 1 图2 第3题图 3 深研浙江统考方向 4.(2025台州椒江区九年级期末)如图1，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝10 cm，点E从点B出发沿BC方向运动，运动到点C停止，同时，点F从点D出发沿DA方向运动，运动到点A停止，点E，F的速度均为1 cm/s.设点E，F运动的时间为t s. (1)求证：四边形BEDF为平行四边形； 4 3 2 1 图1 第4题图 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC. ∵点E，F分别从B，D点出发，速度相同， ∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形； 深研浙江统考方向 (2)当t为何值时，平行四边形BEDF为菱形？ 4 2 1 解：当DF＝BF时，即DF2＝BF2时，四边形BEDF是菱形. ∵DF2＝t2，BF2＝AB2＋AF2＝62＋(10－t)2＝t2－20t＋136，∴t2＝t2－20t＋136， ∴t＝，∴当t＝ s时，四边形BEDF为菱形； 3 图1 第4题图 深研浙江统考方向 (3)如图2，连接AE，CF，分别交BF，DE于点H，G.随着点E，F的运动，请回答下列问题： ①当t＝___s时，S四边形EGFH取得最大值，此时四边形EGFH为____________________(填“邻边不等的矩形”“内角不为90°的菱形”“正方形”)； 4 2 1 图2 第4题图 3 5 内角不为90° 的菱形 深研浙江统考方向 ②如图3，连接AG，DH，S△AEG＋S△DHE的值是否有变化？若不变，求出相应的值，若改变，请说明理由. 4 2 1 图3 第4题图 解：S△AEG＋S△DHE的值不变化. 由①知△DGF∽△EGC，∴， ∴，∴， 同理可得，，∴＝1， ∴S△AEG＋S△DHE＝S△ADE＝S矩形ABCD＝×6×10＝30(cm2). 3 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $