题型5 课时1 与折叠（对称）有关的线段问题-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦几何图形折叠（对称）这一核心考点，紧密对接中考说明，分析三角形、四边形、圆等折叠问题的考查权重，归纳线段计算、直角分类讨论等常考题型，通过例题变式系统梳理解题要点，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于中考真题训练与应试技巧结合，如2025金华校级模拟题中，通过折叠性质确定对应边与角，结合勾股定理分∠EDF=90°和∠EFD=90°两种情况求解EF长度，培养学生几何直观与推理能力。助力学生掌握分类讨论等突破方法，教师可依此精准指导复习，提升学生中考得分率。

《二轮重难题型培优》 数学 题型五　几何图形的折叠(对称)问题 (2025.24，12分、2024.16，3分) 课时一　与折叠(对称)有关的线段问题 深研浙江统考方向 (2025金华校级模拟)如图1，△ABC是边长为4的等边三角形，将△ABC沿中线AM折叠，得到△AMC(图2)，再次沿过点M的直线将△AMC折叠，得到△MDE(图3)，其中点D为折痕MD与AC边的交点，点E为点A的对应点，ME与AC边交于点F，如图3所示.当点D在边AC上，且△EFD为直角三角形时，EF的长度是______________. 三角形 图1 图2 图3 例1题图 2－2或　 1.对应角：∠A＝∠E，∠AMD＝∠EMD， ∠ADM＝∠EDM； 2.对应边：AD＝DE，AM＝EM； 3.突破点：根据折叠性质及勾股定理求出AM， 分∠EDF＝90°和∠EFD＝90°两种情况进行讨论. 深研浙江统考方向 【解析】∵△ABC沿中线AM折叠，得到△AMC，∴AM⊥ MC，∠CAM＝30°，CM＝AC＝2，在Rt△AMC中，由勾股定理得AM＝＝2.①当∠EDF＝90°时，如解图1.∵∠EDF＝90°，∴∠ADM＝∠EDM＝(180°＋90°) ÷2＝135°，∴∠AMD＝∠EMD＝180°－135°－30°＝15°，∴∠FMC＝90°－2×15°＝60°.∵△ABC是边长为4的等边三角形， ∴∠FMC＝∠C＝∠CFM＝60°，∴MF＝CM＝2，∴EF＝EM－MF＝AM－MF＝2－2； 图1 例1题解图 深研浙江统考方向 ②当∠EFD＝90°时，如解图2.∵∠EFD＝90°，∠C＝60°，∴∠CFM＝∠EFD＝90°，CF＝CM＝1.在Rt△CMF中，由勾股定理，得MF＝＝，∴EF＝EM－MF＝AM－MF＝2－＝.综上，EF的长度是2－2或. 图2 例1题解图 深研浙江统考方向 (2025杭州校级模拟)如图，△ABC是等边三角形，D，F分别是BC，AB边上的点，点B关于直线DF的对称点为点E.若点E在AC边上，且EF⊥AB，则的值为_____. 变式1题图 深研浙江统考方向 1.对应角：∠BCD＝∠BFE，∠CBE＝∠FBE，∠FEB＝∠CEB； 2.对应边：BF＝BC，EF＝EC； 3.突破点：(1)根据折叠的性质，利用“AAS”即可求证； (2)连接EH.根据HF2＋FE2＝DH2＋DE2，即可求出DE； (3)连接EH.由题意，设未知数.分两种情形：①当点H在点D的左侧时；②当点H在点D的右侧时.再分别利用勾股定理构建方程求解 即可. 【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连接CF并延长，交AD于点G. 图1 四边形 深研浙江统考方向 【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连接CF并延长，交AD于点G. (1)求证：△BCE≌△CDG； 图1 例2题图 证明：∵△BFE是由△BCE折叠得到，∴BE⊥CF， ∴∠ECF＋∠BEC＝90°. ∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCE＝∠D＝90°， ∴∠ECF＋∠CGD＝90°，∴∠BEC＝∠CGD，∴△BCE≌△CDG(AAS)； 深研浙江统考方向 【运用】(2)如图2，在【推理】的条件下，延长BF交AD于点H.若，CE＝9，求线段DE的长； 图2 例2题图 解：如解图1，连接EH. ∵△BCE≌△CDG，∴CE＝DG＝9. 由折叠可知BC＝BF，CE＝FE＝9， ∴∠BCF＝∠BFC. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠BCG＝∠HGF. 例2题解图1 深研浙江统考方向 ∵∠BFC＝∠HFG， ∴∠HFG＝∠HGF，∴HF＝HG. ∵＝，DG＝9， ∴HD＝4，HF＝HG＝5. ∵∠D＝∠HFE＝90°， ∴HF2＋FE2＝DH2＋DE2， ∴52＋92＝42＋DE2， ∴DE＝3或DE＝－3(舍去)， ∴DE＝3； 例2题解图1 深研浙江统考方向 【拓展】(3)如图3，将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连接CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点.若＝k，，求的值(用含k的代数式表示). 图3 例2题图 解：如解图2，连接EH. 由题意＝，可设DH＝4m， HF＝5m，＝x. ①当点H在点D的左侧时， 易得HF＝HG， 例2题解图2 深研浙江统考方向 ∴HG＝5m，DG＝9m， 由折叠可知BE⊥CF， ∴∠ECF＋∠BEC＝90°. ∵∠D＝90°，∴∠ECF＋∠CGD＝90°， ∴∠BEC＝∠CGD. ∵∠BCE＝∠D＝90°， ∴△CDG∽△BCE，∴＝. ∵＝＝k，∴＝k， 例2题解图2 深研浙江统考方向 ∴CE＝＝FE，∴DE＝. ∵∠D＝∠HFE＝90°， ∴HF2＋FE2＝DH2＋DE2， ∴(5m)2＋()2＝(4m)2＋()2， ∴x＝或x＝－(舍去)，∴＝； 例2题解图2 深研浙江统考方向 ②当点H在点D的右侧时，如解图3， 同理HG＝HF，△BCE∽△CDG， ∴DG＝m，CE＝＝FE，∴DE＝. ∵HF2＋FE2＝DH2＋DE2， ∴(5m)2＋()2＝(4m)2＋()2， ∴x＝或x＝－(舍去)， ∴＝. 综上所述，的值为或. 例2题解图3 深研浙江统考方向 (2025杭州钱塘区二模)如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上.若，则cos B 的值是_______. 变式2题图 　 深研浙江统考方向 1.对应角：∠BCO＝∠DCO； 2.对应边：BC＝CD； 3.突破点：(1)由AD＝ED及折叠的性质可设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，可得到∠CEB＝2x，由三角形内角和定理可得出答案； (2)证明△CEO∽△BEC得出OE与CE的数量关系，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出. 如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在☉O上， 将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在☉O上的点D处(不与 点A重合)，连接CB，CD，AD.设CD与直径AB交于点E.若 AD＝ED，则∠B＝_______度；的值等于_______. 圆 例3题图 36 深研浙江统考方向 【解析】∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA.∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BCE.∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO＝∠BCO.又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，∴∠BCE＝∠ECO＋∠BCO＝2x，∴∠CEB＝2x.∵∠BEC＋ 例3题图 ∠BCE＋∠B＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，∴∠B＝36°；∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴＝，∴CE2＝EO·BE，设EO＝y，EC＝OC＝OB＝a， 深研浙江统考方向 ∴a2＝y(y＋a)，解得y＝a(负值已舍去)，∴OE＝a，∴AE＝OA－OE＝a－a＝a.∵∠AED＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，∴△BCE∽△DAE，∴＝，∴＝＝. 例3题图 深研浙江统考方向 【一题多解】如图，在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连接PB，将△OBP沿PB折叠得到△O'BP.已知∠O＝75°，且BO'与所在的圆相切于点B. (1)求∠APO'的度数； 变式3题图 解：∵BO'是☉O的切线， ∴∠OBO'＝90°， 由折叠的性质可知，∠OBP＝∠PBO'＝45°，∠OPB＝∠BPO'. ∵∠AOB＝75°， ∴∠OPB＝∠BPO'＝180°－75°－45°＝60°， ∴∠OPO'＝120°， ∴∠APO'＝180°－∠OPO'＝180°－120°＝60°； 深研浙江统考方向 (2)求AP的长. 解：如解图，连接OO'交BP于点Q，则BP⊥OO'. 在Rt△OBQ中，OQ＝OB×sin 45°＝3， 在Rt△OPQ中，OP＝＝2，∴AP＝OA－OP＝6－2. 变式3题解图 变式3题图 深研浙江统考方向 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos∠ECF的值为(　 　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 4 5 3 2 1 8 7 6 针对训练 第1题图 B 深研浙江统考方向 2.(2025嘉兴平湖市二模)如图，AB为☉O的直径，且AB＝10，C为☉O上异于点A，B的一点.现将劣弧BC沿直线BC折叠.若弧BC与直径AB交于点D，BD＝8，则BC的长为________. 4 5 3 2 1 8 7 6 第2题图 　3　 深研浙江统考方向 【解析】如解图，过点D作DF⊥BC交☉O于点F，连接AC，BF，AC，BF的延长线交于点E，连接CF.由圆内接四边形性质可知∠BAC＋∠CFB＝180°.又∵∠CFB＋∠CFE＝180°，∴∠BAC＝∠CFE.∵∠E＝∠E，∴△CEF∽△BEA，∴＝.∵AB为直径，∴∠ACB＝ 4 5 3 2 1 8 7 6 第2题解图 90°，∴AB，BE关于BC对称，故BE＝BA＝10，BF＝BD＝8，EF＝AD＝AB－BD＝10－8＝2，CE＝AC，故AE＝2AC＝2CE，∴＝，解得AC＝，故BC＝＝3. 深研浙江统考方向 3.(2025宁波校级模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan B＝，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿DE折叠，点B落在AC的延长线的点F处.若∠AFD＝∠EFD，则的值为______. 4 5 3 2 1 8 7 6 第3题图 深研浙江统考方向 4.【一题多解】(2025宁波一模)如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，O为对角线BD的中点，E为BC上一点，将▱ABCD沿OE所在的直线折叠，使点B和点D重合.若AB＝AE，OF＝1，则AB的长为_________. 4 5 3 2 1 8 7 6 第4题图 　3＋ 深研浙江统考方向 【解析】如解图，连接ED，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥AD于点M，则四边形AHEM是矩形，∴AH＝EM.∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴∠BAE＝90°.∵AH⊥BE， 4 5 3 2 1 8 7 6 ∴AH＝BH＝HE＝BE.由折叠可得ED＝EB，∴ED＝2AH＝2EM.∵EM⊥AD，∴∠EDM＝30°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CED＝∠ADE＝30°. 第4题解图 深研浙江统考方向 ∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB＝15°，∴∠EFO＝∠FEB＋∠EBO＝60°.∵EO⊥BD，∴∠FEO＝30°，∴EF＝2OF＝2.设AH＝HE＝EM＝AM＝a，则BE＝2a，DM＝a.∵AD∥BE，∴＝＝，∴AF＝1＋，∴AB＝AE＝1＋＋2＝3＋. 4 5 3 2 1 8 7 6 第4题解图 深研浙江统考方向 5.(2025温州一模)如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，CD上，连接DE，EF，点D关于EF的对称点G恰好在AB的延长线上，连接FG交BC于点H.若，CF＝1，则＝______，AE＝_____. 4 5 3 2 1 8 7 6 第5题图 深研浙江统考方向 【解析】如解图，连接DG.∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别在边AB，CD上，∴AD∥ BC，AB∥CD，∴∠AED＝∠EDF.∵点D关于EF的对称点G恰好在AB的延长线上，FG交BC于点H，∴EF垂直平分DG，∴EG＝ ED， FG＝ 4 5 3 2 1 8 7 6 FD.∵EF＝EF，∴△GEF≌△DEF(SSS)，∴∠EGF＝∠EDF＝∠AED，∴FG∥ED.∵FD∥EG，∴四边形DEGF是平行四边形. 第5题解图 深研浙江统考方向 ∵EG＝ED，∴四边形DEGF是菱形，∴EG＝FG.∵＝，∴GH＝EG＝FG，∴FH＝FG－FG＝FG，∴＝＝.∵CF∥BG，CF＝1，∴△CFH∽△BGH，∴＝＝， 4 5 3 2 1 8 7 6 第5题解图 ∴BG＝CF＝.∵∠BGH＝∠AED，∠GBH＝∠A，∴△BGH∽△AED，∴＝＝＝，∴AE＝BG＝×＝. 深研浙江统考方向 6.(2024宁波北仑区一模)如图，边长为6的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是AB边上的一点，CF＝2，将四边形AEFD沿着EF折叠得到四边形A'D'FE，当A'，B，D'三点在同一条直线上时，∠A'BE＋∠D'BC＝_______，此时D'F交BC边于点G，BG的长为______. 4 5 3 2 1 8 7 6 第6题图 　60° 　 深研浙江统考方向 【解析】如解图，连接BF，延长AB，FD'相交于点I，在CB上截取CH＝CF＝2，连接FH，以BD'，FD'为邻边作▱FD'BM，连接MH.在菱形ABCD中，∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠A＝120°.∵A'，B，D'三点在同一条直线上，∴∠A'BE＋∠D'BC＝180°－∠ABC＝ 4 5 3 2 1 8 7 6 第6题解图 60°.∵FC＝CH＝2，∠C＝∠A＝60°，∴△CFH为等边三角形，∴∠CHF＝60°，FH＝CF＝2.由折叠，得FD'＝FD＝CD－CF＝4，BH＝BC－CH＝4，∠FD'B＝∠D＝120°. 深研浙江统考方向 ∵四边形FD'BM是平行四边形，∴BM＝FD'＝DF＝BH＝4，∠FMB＝∠FD'B＝120°，BD'＝FM，∴∠BMH＝∠BHM.∵∠BHF＝180°－∠CHF＝180°－60°＝120°，∴∠FMH＝∠FMB－∠BMH＝∠FHB－∠BHM＝∠FHM，∴FM＝FH＝2， 4 5 3 2 1 8 7 6 第6题解图 ∴BD'＝FM＝2，∴A'B＝A'D'－BD'＝AD－BD'＝6－2＝4.∵FD∥AE，∴FD'∥A'E，即D'I∥A'E，∴△BA'E∽△BD'I，∴＝＝＝＝2.设A'E＝AE＝x，则BE＝6－x，∴D'I＝x，BI＝BE＝3－x. 深研浙江统考方向 ∵DF∥AB，∴∠DFE＝∠IEF，由折叠知∠DFE＝∠IFE，∴∠IFE＝∠IEF，∴IF＝IE，∴FD'＋D'I＝BE＋BI，∴4＋x＝6－x＋3－x，解得x＝，∴BE＝6－＝，∴BI＝BE＝.∵BI∥CF， ∴△BIG∽△ 4 5 3 2 1 8 7 6 第6题解图 CFG，∴＝＝＝，∴CG＝BG.∵BC＝BG＋CG＝6，∴BG＋BG＝6，解得BG＝. 深研浙江统考方向 7.(2025绍兴柯桥区月考)如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A'重合，连接EA'并延长分别交BD，BC于点G，F，且BG＝BF. (1)若∠AEB＝55°，则∠GBF＝____； 4 5 3 2 1 8 7 6 第7题图 40° 深研浙江统考方向 35 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFG.由折叠可知∠AEB＝∠A'EB.∵∠AEB＝55°，∴∠AEA'＝∠AEB＋∠A'EB＝110°，∴∠DEF＝70°，∴∠BFG＝70°.∵BG＝BF，∴∠BGF＝∠BFG＝70°，∴∠GBF＝180°－∠BGF－∠BFG＝40°； 4 5 3 2 1 8 7 6 第7题图 深研浙江统考方向 36 (2)若，则tan∠ABE的值为______. 第7题图 4 5 3 2 1 8 7 6 深研浙江统考方向 第7题解图 4 5 3 2 1 8 7 6 【解析】如解图，过点E作EH⊥BC于点H.∵四边形ABCD为矩形，设AB＝3x，BC＝4x，∴AD＝BC＝4x，AB＝CD＝3x，∠A＝90°，AD∥BC.∵EH⊥BC，∴四边形ABHE，EHCD均为矩形，∴AE＝BH，AB＝EH＝3x，DE＝CH.∵BG＝BF，∴∠BGF＝∠BFG.∵AD∥BC，∴∠DEG＝∠BFG. ∵∠BGF＝∠DGE，∴∠DEG＝∠DGE，∴DE＝DG. 深研浙江统考方向 在Rt△ABD中，AB＝3x，AD＝4x，由勾股定理得BD＝＝＝5x.设BG＝BF＝y，则DG＝DE＝5x－y，∴AE＝AD－DE＝4x－(5x－y)＝y－x，∴BH＝AE＝y－x，∴FH＝BF－BH＝y－(y－x)＝x.在Rt△EFH中，由勾股定理，得EF＝＝＝x. 第7题解图 4 5 3 2 1 8 7 6 深研浙江统考方向 根据折叠的性质可得AB＝A'B＝3x，AE＝A'E＝y－x，∠A＝∠BA'E＝90°，∴A'F＝EF－A'E＝x－(y－x)＝(＋1)x－y，∠BA'F＝90°，在Rt△A'BF中，由勾股定理，得A'B2＋A'F2＝BF2，∴(3x)2＋[(＋1)x－y]2＝y2，解得y＝x，∴tan∠ABE＝＝＝. 第7题解图 4 5 3 2 1 8 7 6 深研浙江统考方向 证明：由作图可得BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD. 由折叠可得∠A'＝∠A， ∠A'CD＝∠ACD， ∴∠A＝∠BDC－∠ACD＝∠BCD－∠A'CD＝∠BCE， ∴∠DA'E＝∠BCE； 8.(2025嘉兴嘉善县一模)如图，在△ABC中，以B为圆心，线段BC的长为半径画弧交边AB于点D，连接CD，将△ABC沿直线CD对折使点A落在A'处，A'C交边AB于点E. (1)求证：∠DA'E＝∠BCE； 4 5 3 2 1 8 7 6 第8题图 深研浙江统考方向 (2)若，求的值. 4 5 3 2 1 8 7 6 解：∵∠DA'E＝∠BCE，∠A'ED＝∠BEC， ∴△A'DE∽△CBE， ∴，即BC＝3A'D. 又∵A'D＝AD，BD＝BC， ∴BC＝BD＝3AD， ∴. 第8题图 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $