模型11 主从联动问题(瓜豆原理)-【练客中考】2026年浙江新中考数学初中数学常考模型PPT

该初中数学课件聚焦中考几何动态问题核心考点，系统梳理“主从联动问题（瓜豆原理）”，按直线轨迹、圆轨迹分类建立模型，结合中考常考题型归纳“模型识别-抽象-应用”解题步骤，精准对接中考对空间观念和模型意识的考查要求。 课件亮点在于“模型建构+真题演练+素养提升”一体化设计，如例1通过旋转构造全等确定从动点直线轨迹，用垂线段最短求最值，示范三步解题法，培养学生推理能力。典型例题解析与变式训练结合，帮助学生掌握动态几何解题技巧，为教师提供针对性复习方案，助力中考冲刺。

《初中数学常考模型》 数学 模型十一　主从联动问题(瓜豆原理) 深研浙江统考方向 【建立模型】 直线轨迹 条件 定点A，动点P和Q，∠PAQ＝α，为定值k，点P在直线BC上运动 模型展示 A，Q，P三点共线 A，Q，P三点不共线 结论 当点P的运动轨迹在直线上时，点Q的运动轨迹也在直线上 ①P，Q两点的运动轨迹所在直线的夹角等于α ②P，Q两点的运动轨迹的长度之比等于AP∶AQ＝k 深研浙江统考方向 【结论证明】以A，Q，P三点共线为例证明 如解图，连接AB，AC，过点Q作BC的平行线，分别交AB，AC于点M，N. 根据平行线分线段成比例，得＝＝. 又∵∠MAN＝∠BAC，∴△AMN∽△ABC，∴＝. ∵点P的运动轨迹为BC，点Q的运动轨迹为MN， ∴P，Q两点的运动轨迹所在直线的夹角等于0°； P，Q两点的运动轨迹长度之比等于AP∶AQ. 解图 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为(　　) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 例1题图 D 深研浙江统考方向 　寻题眼　E为定点，F，G为动点，点F在AB边上运动，考虑 “主从联动”模型 　模型图示　 F为主动点，G为从动点 　解题思路　先以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，再通过垂线段最短构造直角三角形获得CG长的最小值 深研浙江统考方向 【解析】∵正方形ABCD的边长为5，BE＝2，∴CE＝3，由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动.如解图，将△EFB绕点E顺时针旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EGH，∴BE＝HE，∠BEH＝60°，∠GHE＝90°， 例1题解图 深研浙江统考方向 ∴△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上运动.过点C作CM⊥HN于点M，则CM即为CG的最小值，过点E作EP⊥CM于点P，可知四边形HEPM为矩形，∴∠PEC＝180°－∠PEH－∠BEH＝180°－ 90°－60°＝30°，∴PC＝CE，则CM＝MP＋CP＝HE＋EC＝2＋＝＝3.5. 例1题解图 深研浙江统考方向 【建立模型】 圆轨迹 条件 定点A，动点P和Q，∠PAQ＝α，＝k，点P在☉O上运动 模型展示 A，Q，P三点共线 A，Q，P三点不共线 结论 当点P的轨迹是圆时，点Q的轨迹也是圆 ①两圆心与定点连线的夹角等于主、从动点与定点连线的夹角，即∠PAQ＝∠OAM＝α； ②主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆半径之比，即AP∶AQ＝AO∶AM＝PO∶QM＝k 深研浙江统考方向 【结论证明】以A，Q，P三点共线为例证明 如解图，连接AO，过点Q作OP的平行线，交AO于点M. 根据平行线分线段成比例，得＝. 又∵∠QAM＝∠PAO，∴△AMQ∽△AOP，∴＝＝. ∵A，M，O三点共线，∴P，Q两点的运动轨迹所在圆的圆心与点A连线的夹角等于0°；主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆的半径之比，即AP∶AQ＝AO∶AM＝PO∶QM. 解图 深研浙江统考方向 【模型应用】 【一题多解】如图，☉O的直径AB＝2，C为☉O上动点，连接CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接OD，则OD的最大值为_______. 例2题图 ＋1 深研浙江统考方向 　寻题眼　C为主动点，D为从动点，B为定点，考虑“主从联动”模型 　模型图示 　模型结论　解题思路 先找主动点的运动轨迹并确定主动点的起始点，根据主动点的起始点确定从动点的起始点及运动轨迹，再根据动点运动形成的轨迹计算 深研浙江统考方向 【解析】如解图，以OB为底边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，延长EO交☉O于点C'，连接CE，BD.∵将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，∴BC＝CD，∠DCB＝90°，∴∠DBC＝45°，BD＝BC. ∵△OBE是等腰直角三角形，∴OE＝BE，∠OBE＝45°，OB＝BE＝1，∴BE＝OE＝. 例2题解图 深研浙江统考方向 ∵∠DBC＝∠OBE，∴∠OBD＝∠EBC.又∵＝＝，∴△DBO∽ △CBE，∴＝＝，∴OD＝EC，∴当EC有最大值时，OD有最 大值.当C，O，E三点共线，即点C与点C'重合时，EC有最大值为1＋， ∴OD的最大值为＋1. 例2题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 6 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD，M是BD的中点，连接CM，则线段CM长度的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 第1题图 C 模型综合练 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 6 2.★如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动(含B，C两点)，连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为(　　) A. B.5 C. D.3 第2题图 A 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 6 【解析】如解图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE交QE延长线于点H.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°.∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∴△APQ为等边三角形.∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，∴∠BAP＝∠FAQ. 第2题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 6 在△BAP和△FAQ中，，∴△BAP ≌△FAQ(SAS)，∴∠ABP＝∠AFQ＝90°.∵∠FAE ＝90°－60°＝30°，∴∠AEF＝90°－30°＝60°. ∵AF＝AB＝5，∴AE＝AF÷cos 30°＝.∵AD＝ BC＝5，∴DE＝AD－AE＝.∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE·sin 60°＝×＝，根据垂线段最短可知，当点Q与点H重合时，DQ的值最小，最小值为. 第2题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 6 3.如图，已知点A(－3，0)，B(0，3)，C(－1，4)，动点P在线段AB上，点P，C，M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为_____. 第3题图 6 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 6 4.★如图，已知点A是第一象限内的一个定点，点P是以O为圆心、1个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边在AP右侧作等边三角形APB.当点P在☉O上运动一周时，点B运动的路径长是_____. 第4题图 2π 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 6 【解析】如解图，连接AO，OP，将AO绕点A逆时 针旋转60°，得线段AO'，连接O'B，OO'.∵AO ＝AO'，∠OAO'＝60°，∴△OAO'为等边三角形. ∵△APB为等边三角形，∴∠PAB＝60°，PA＝BA， ∴∠PAB－∠OAB＝∠OAO'－∠OAB，∴∠PAO＝ ∠BAO'.在△APO与△ABO'中，，∴△APO≌△ABO' (SAS)，∴O'B＝OP＝1，∴☉O'即为动点B的运动路径，∴当点P在☉O上运动一周时，点B的运动路径长是2π. 第4题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 6 5.★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点P在以AB为直径的半圆弧上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为_____. 第5题图 5π 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 6 【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，∴AB ＝＝＝20.如解图，连接AP， BP.∵AB是直径，∴∠APB＝90°，即AP⊥BP.取BC， AC的中点E，F，连接ME，MF，EF.在△BPC中，M， E分别为PC，BC的中点，∴ME∥BP，ME＝BP.在△APC 中，∵点M，F分别为PC，AC的中点，∴MF∥AP，MF＝AP，∴ME⊥ MF，即∠EMF＝90°，∴点M在以EF为直径的半圆上.∵EF＝AB＝10，∴点M的运动路径长为×π×10＝5π. 第5题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 6 6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，求BF的最小值. 第6题图 解：如解图，以BD为边作等边三角形DBH，连接EH，过点H作HN⊥BD于点N. ∵BC＝5，CD＝2，∴BD＝3. ∵△DBH是等边三角形，HN⊥BD， 第6题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 6 ∴DN＝BN＝，DB＝DH，∠HDB＝60°， ∴CN＝. ∵将DE绕点D按顺时针方向旋转60°得到DF， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠HDB， ∴∠EDH＝∠FDB. 在△DHE和△DBF中，， ∴△DHE≌△DBF(SAS)，∴EH＝BF， 第6题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 6 ∴当EH有最小值时，BF有最小值.过点H作HE'⊥AC于点E'，由垂线段最短可得，当EH⊥AC，即点E与点E'重合时，EH有最小值，为HE'的长. ∵HE'⊥AC，∠ACB＝90°，HN⊥DB， ∴四边形CNHE'是矩形，∴HE'＝CN＝， ∴BF的最小值为. 第6题解图 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $