模型9 利用两点之间线段最短求最值-【练客中考】2026年浙江新中考数学初中数学常考模型PPT

该初中数学中考复习课件聚焦几何最值这一核心考点，紧密对接中考要求，系统梳理了“两定一动”“一定两动”“两定两动”“两定点一定长”等常考模型，通过对称、平移等方法转化问题，归纳解题步骤，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“模型建立+例题精讲+综合训练”模式，如例1通过对称转化求正方形中线段和最小值，培养学生几何直观与推理能力。练习题覆盖菱形、正方形、抛物线等背景，帮助学生掌握转化技巧，教师可依此设计专题复习，提升学生应试得分率，助力中考冲刺。

《初中数学常考模型》 数学 模型九　利用两点之间线段最短求最值 深研浙江统考方向 【建立模型】 1.线段和最小问题 “两定一动”(将军饮马) 问题描述 在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小 类型 异侧求线段和最小 同侧求线段和最小 模型展示 作法 直接连两定点 先作其中一点的对称点，再连线 解题思路 线段和最小，异侧直接连，同侧找对称 深研浙江统考方向 2.线段差最大问题 问题描述 在直线l上找一点P，使得｜PA－PB｜最大 类型 同侧求线段差最大 异侧求线段差最大 模型展示 作法 直接连两定点 先作其中一点的对称点，再连线 解题思路 线段差最大，同侧直接连，异侧找对称 深研浙江统考方向 【模型应用】 【一题多解】如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一动点，F是BC上一点，连接BE，EF，若AB＝4，BF＝1，则BE＋EF的最小值为_____. 例1题图 5 深研浙江统考方向 　寻题眼　E为线段AC上一动点，B，F为线段AC同侧两定点，求BE＋EF的最小值→“两定一动模型” 　模型图示 　模型结论　BE＋EF的最小值为BF'→连接BF'，交AC于点E'，连接EF'，利用勾股定理求出BF'的长，即BE＋EF的最小值 →如解图，作点F关于直线AC的对称点F'，则点F'在CD上 解图 深研浙江统考方向 【解析】解法一：如解图1，作点F关于直线AC的对称点F'，则点F'在CD上，连接BF'，交AC于点E'，连接EF'，∴EF＝EF'，∴BE＋EF＝BE＋EF'≥BF'，∴当点E与点E'重合时，BE＋EF取得最小值，最小值为BF'.∵AB＝4，BF＝1，∴BC＝4，FC＝F'C＝3.在Rt△BCF'中，BF'＝＝＝5，∴BE＋EF的最小值为5. 图1 例1题解图 深研浙江统考方向 解法二：如解图2，连接DF，交AC于点E'，连接DE.∵点B，D关于AC对称，∴BE＝DE，∴BE＋EF＝DE＋EF≥DF.当点E与点E'重合时，BE＋EF取得最小值，最小值为DF.∵AB＝4，BF＝1，∴CD＝4，FC＝3.在 Rt△DCF中，DF＝＝5，∴BE＋EF的最小值为5. 图2 例1题解图 深研浙江统考方向 【建立模型】 “一定两动” 问题描述 点P是∠AOB内部的一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小 模型展示 解题思路 要使△PMN的周长最小，即PM＋MN＋PN的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上，分别作点P关于OA，OB的对称点P'，P″，连接P'P″交OA，OB于点M，N，则点M，N即为所求 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，AC＝8，D是BC的中点，E，F分别是边AB，AC上的动点，连接AD，求△DEF周长的最小值. 例2题图 解：如解图，分别作点D关于AB，AC的对称点D'，D″，连接D'D″与AB，AC分别交于点E'，F'，∴DE＋EF＋DF≥D'E'＋E'F'＋F'D″，即DE＋EF＋DF≥D'D″. 当点E与点E'重合，点F与点F'重合时，△DEF的周长取得最小值，最小值为D'D″的长.连接AD'，AD″，DE'，DF'，则AD'＝AD″＝AD. 例2题解图 深研浙江统考方向 ∵∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝8，∴BC＝＝ ＝4. ∵D是BC的中点，∴BD＝BC＝2，∴AD＝ ＝＝2. 在 Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝60°. ∵∠BAD'＝ ∠BAD，∠CAD＝ ∠CAD″，∠BAC ＝∠CAD＋∠BAD， ∴∠D'AD″＝2∠BAC＝ 120°.过点A 作AP ⊥ D'D″于点 P，则∠D'AP＝60°， ∴在Rt△D' AP 中，D'P＝AD' · sin 60°＝AD'＝ AD＝ ×2＝， ∴D'D″ ＝2D'P＝2，∴ DE＋EF＋DF≥D'D″＝2，故△DEF周长的最小值是2. 例2题解图 深研浙江统考方向 　寻题眼　E，F分别为AB，AC上的动点，D为∠BAC内部的一定点，求△DEF周长的最小值→“一定两动模型” 　模型图示　 →如解图，分别作点D关于AB，AC的对称点D'，D″，连接D'D″与AB，AC分别交于点E'，F' 解图 　模型结论　△DEF周长的最小值为DE＋EF＋DF→△DEF 周长的最小值为D'D″ 深研浙江统考方向 【建立模型】 “两定两动” 问题描述 点P，Q是∠AOB内部的两定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得四边形PMNQ的周长最小 模型展示 解题思路 要使四边形PMNQ的周长最小，即PM＋MN＋QN的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上，分别作点P，点Q关于OA，OB的对称点P'，Q'，连接P'Q'交OA，OB于点M，N，则点M，N即为所求 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E，F分别在边AD，AB上，且AE＝2，AF＝1.G，H分别是边BC，CD上的动点，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH周长的最小值为________. 例3题图 ＋5 深研浙江统考方向 →如解图，分别作点E关于CD，点F关于BC的对称点E'，F'，连接E'F'，交BC，CD于点G'，H'　 　寻题眼　E，F分别是AD，AB边上定点，G，H分别是边BC，CD上的动点，求四边形EFGH周长的最小值→“两定两动模型” 　模型图示 　模型结论　四边形EFGH周长的最小值为EF＋FG＋GH＋EH→四边形EFGH周长的最小值为EF＋E'F' 解图 深研浙江统考方向 【解析】如解图，分别作点E关于CD，点F关于BC 的对称点E'，F'，连接E'F'，分别交BC，CD于点 G'，H'，连接F'G，HE'.由对称的性质得F'G＝FG， E'H＝EH，∴EF＋FG＋GH＋EH＝EF＋F'G＋GH ＋E'H≥EF＋E'F'，∴当点H，G分别与点H'，G' 重合时，EH＋HG＋FG的值最小.又∵EF为定值，∴此时四边形EFGH的周长最小.由题意，得BF'＝BF＝AF＝1，DE'＝DE＝AD－AE＝1，∠A＝90°，∴AF'＝3，AE'＝4，∴E'F'＝＝5，EF＝＝，∴四边形EFGH周长的最小值为EF＋E'F'＝＋5. 例3题解图 深研浙江统考方向 【建立模型】 “两定点一定长”(造桥选址) 问题描述 点A，B为直线外两定点，在直线上找两点P，Q(PQ定长)，使得AP＋PQ＋QB的值最小 类型 异侧两定点(A，B)一定长(PQ) 同侧两定点(A，B)一定长(PQ) 条件 点A，B为直线m，n两侧两定点，m∥n，在直线m，n上分别找点P，Q，PQ⊥m，线段PQ的长为定值d，使AP＋PQ＋QB的值最小 点A，B为直线l同侧两定点，在直线l上找P，Q两点，使得PQ＝d，且AP＋PQ＋QB的值最小 深研浙江统考方向 模型展示 作法 将点A向下平移d个单位长度至点A'，连接A'B交直线n于点Q，过点Q作QP⊥m于点P，此时AP＋QB的值最小，即AP＋PQ＋QB的值最小 将点A向右平移d个单位长度至点A'，作A'关于直线l的对称点A″，连接A″B交直线l于点Q，将点Q向左平移d个单位长度得到点P，此时AP＋PQ＋QB的值最小 解题思路 两定点一定长，异侧平移再连接 两定点一定长，同侧平移作对称后连接 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E，F是AB边上的三等分点，G，H是CD边上的三等分点，连接EG，FH，M为EG上一点，过点M作MN⊥FH于点N，连接AM，CN，则AM＋MN＋CN的最小值为_________. 例4题图 4＋2 深研浙江统考方向 　寻题眼　A，C为直线EG，FH外两定点，MN为定长，求AM＋MN＋CN的最小值→“两定点一定长” 　模型图示 →如解图，连接MH，平移MN与EF重合 　模型结论　AM＋MN＋CN的最小值→AM＋MN＋CN的最小值为AH＋MN 解图 深研浙江统考方向 【解析】如解图，连接MH.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AB＝DC.∵点E，F是AB边上的三等分点，点G，H是CD边上的三等分点，∴EG∥FH∥AD，EF∥GH，∴四边形EFHG是平行四边形.∵AB＝6， ∴CH＝CD＝AB＝2.∵MN⊥FH，∴MN∥CH，MN＝GH＝AB＝2， ∴四边形MNCH是平行四边形，∴CN＝MH，∴AM＋MN＋CN＝AM＋MN＋MH≥AH＋MN， 例4题解图 深研浙江统考方向 当A，M，H三点共线时，AH＋MN取得最小值，即AM＋MN＋CN取得 最小值，在Rt△ADH中，AD＝8，DH＝CD＝AB＝4，∴AH＝ ＝＝4，∴AM＋MN＋CN≥AH＋MN＝4＋2，∴AM＋MN＋CN的最小值为4＋2. 例4题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 1.★如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点P为对角线BD上一动点，连接PC，PE，则｜PC－PE｜的最大值为(　　) A.2.5 B.3 C.4 D.5 第1题图 A 模型综合练 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 【解析】如解图，由菱形性质可知，点C关于BD的对称点为点A，连接AP，则AP＝CP，在△APE中，｜PE－PA｜＜AE，则当P，E，A三点共线时，｜PE－PA｜取最大值，最大值为AE，∴｜PC－PE｜的最大值为AE.∵在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5.∵点E为AB边的中点，∴AE＝2.5，∴｜PC－PE｜的最大值为2.5. 第1题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 2.★如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD边上的动点，若AB＝3，CE＝DF，则AE＋AF的最小值为(　　) A.3 B.3 C.3 D.4 第2题图 B 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 【解析】如解图，连接DE，延长DC至点D'，使CD'＝CD，连接ED'，AD'，则ED＝ED'.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADF＝∠DCE＝90°.∵CE＝DF，∴△ADF≌△DCE(SAS)，∴AF＝DE，∴AF＝ED'，∴AE ＋AF＝AE＋ED'.当点A，E，D'在同一直线上时，AE＋ED'取最小值，最小值为AD'，即AE＋AF的最小值为AD'.在Rt△ADD'中，AD'＝＝＝3. 第2题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 3.★在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示.点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC的中点，点E，F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标是(　　) A.(，0) B.(，0) C.(，0) D.(2，0) 第3题图 B 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 【解析】如解图，将点B向左平移2个单位长度得到点B'(4，4)，作点D关于x轴的对称点D'(0，－2)，则OD＝OD'，连接B'D'与x轴的交点为点E，此时四边形BDEF的周长最小.∵四边形BDEF的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD与EF是定值，∴当BF＋DE最小时，四边形BDEF的周长最小.∵四边形OABC为矩形，∴BC∥OA.∵BB'＝EF＝2， 第3题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 ∴四边形BB'EF为平行四边形，∴BF＝B'E，∴BF＋ED＝B'E＋ED'＝B'D'，设直线B'D'的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，把B'(4，4)，D'(0，－2) 代入，得，解得，∴直线B'D'的表达式为y＝x－2.令y＝0，解得x＝，∴点E的坐标(，0). 第3题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 4.★如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点E在边CD上，且CE＝2，在边BC上取两点M，N(点M在点N左侧)，且始终保持MN＝1，线段MN在边BC上平移，则AM＋EN的最小值为(　　) A. B.2 C. D.5 第4题图 C 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 【解析】如解图，作点A关于BC的对称点G，连接MG，过 点G作GH∥MN，过点N作NH∥MG，∴四边形MGHN是平 行四边形，∴NH＝MG＝AM，∴AM＋NE＝NH＋NE，当 E，N，H三点共线时，AM＋NE有最小值，最小值为EH. 过点H作HK⊥CD交DC的延长线于点K.∵AB＝5，CE＝2， ∴EK＝CE＋CK＝CE＋AB＝7.∵MN＝1，∴GH＝1，∴HK ＝4.在Rt△HKE中，EH＝＝，∴AM＋EN 的最小值为. 第4题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 5.★如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上 方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB＋PC的值 最小时，∠PBC的度数为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 第5题图 B 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 【解析】∵△PBC的面积等于△ABC的面积的，∴点 P在AD的垂直平分线上.作点B关于该垂直平分线的对 称点B'，连接B'C，交垂直平分线于点P，由对称性可 知，B'P＝BP，∴BP＋PC＝B'P＋PC＝B'C，此时PB ＋PC的值最小.∵AD＝BB'，AD＝BC，∴BB'＝BC， ∴△BCB'是等腰直角三角形，∴∠B'CB＝∠B'＝45°，∴∠PBC＝45°. 第5题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 6.★如图，AC是菱形ABCD的对角线，∠ABC＝120°，点E，F是AC上 的动点，且EF＝AC，若AD＝2，则DE＋BF的最小值为(　　) A. B. C.2 D. 第6题图 D 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 【解析】如解图，连接BD交AC于点O，以EF，BF 为邻边作平行四边形BFEG，连接DG，∴EF＝BG， BF＝GE，∴DE＋BF＝DE＋GE≥DG.∵∠ABC＝ 120°，AD＝2，∴∠DAB＝60°，∴BD＝2，OD＝1， OA＝，AC＝2，∴EF＝AC＝×2＝，∴GB＝.∵四边形 ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴∠GBD＝90°，∴DG ＝＝＝，即DE＋BF的最小值为. 第6题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 7.★如图，抛物线y＝x2－4x＋6与y轴交于点A，与x轴的左交点为点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方)，且CD＝3.当AD＋BC的值最小时，点C的坐标为________. 第7题图 (4，1) 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 【解析】如解图，作点A关于对称轴的对称点A'，将点A'向下平移3个单位长度得到点A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时AD＋BC的值最小， AD＋BC＝A″B，在y＝x2－4x＋6中，令x＝0，则y＝6，∴点A的坐标 为(0，6). 第7题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 令y＝0，则x2－4x＋6＝0，解得x＝2或x＝6，∴点B 的坐标为(2，0).∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝4， ∴A'(8，6)，∴A″(8，3).设直线A″B的解析式为y＝kx ＋b(k≠0)，代入A″，B的坐标，得，解得 ，∴直线A″B的解析式为y＝x－1.当x＝4时，y＝1，∴C(4，1). 第7题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 8.★如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC上的动点，则△DEF周长的最小值是_____. 第8题图 2 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 【解析】如解图，作点D关于AB，AC的对称点N，M，连接AM，AN，EN，FM，MN，AD，∴△DEF的周长为DE＋EF＋FD＝NE＋EF＋FM≥MN.当N，E，F，M四点共线时取得最小值.∵N，M分别是点D关于AB，AC的对称点，∴∠NAE＝∠EAD，∠FAD＝∠FAM，AN＝AD＝AM.又∵∠EAD＋∠FAD＝∠BAC＝45°， 第8题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 ∴∠NAM＝∠NAE＋∠EAD＋∠FAD＋∠FAM＝90°，∴△AMN是等腰直角三角形，∴MN＝AN＝AD.当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小.又∵∠B＝60°，AB＝2，∴ADmin＝AB·sin 60°＝ 2×＝，∴△DEF周长的最小值为ADmin＝×＝2. 第8题解图 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $