模型5 相似三角形中常考模型-【练客中考】2026年浙江新中考数学初中数学常考模型PPT

该初中数学中考复习课件聚焦相似三角形中的一线三等角、旋转“手拉手”、对角互补等核心模型，严格对接中考说明，通过分析近三年考点权重，归纳出“模型建立-结论证明-应用突破”的题型体系，突出中考几何综合题的考查要求。 课件亮点在于“模型识别-辅助线构造-相似应用”的实战训练，通过例1构造一线三等角模型证△EAD∽△FBA，例2旋转手拉手模型证△ACD∽△BCE，培养学生几何直观与推理能力。设计深圳、浙江中考变式题，指导学生快速定位题眼，掌握“寻一线、定等角、构相似”的解题技巧，助力教师高效开展专题复习，提升学生中考得分率。

《初中数学常考模型》 数学 模型五　相似三角形中常考模型 深研浙江统考方向 【建立模型】 一线三等角模型 类型 同侧型 异侧型 条件 两个三角形在同侧，点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3 两个三角形在异侧，点P在线段AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3 模型展示 锐角一线三等角 一线三垂直 钝角一线三等角 锐角一线三等角 一线三垂直 钝角一线三等角 结论 △APC∽△BDP 深研浙江统考方向 【结论证明】 同侧一线三等角 异侧一线三等角 ∵∠CPB是△ACP的外角，∴∠CPB＝∠1＋∠C， 即∠2＋∠BPD＝∠1＋∠C. 又∵∠1＝∠2， ∴∠BPD＝∠C. ∵∠1＝∠3，∴△APC∽△BDP. ∵∠1＝∠C＋∠APC，∠3＝∠APC＋∠BPD，∠1＝∠3， ∴∠C＝∠BPD. ∵∠1＝∠2，∴∠CAP＝∠PBD， ∴△APC∽△BDP. 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝∠ACD＝45°，DE∥BC交AC于点E.若ED＝6，BC＝4，则的值为_______. 例1题图 深研浙江统考方向 ➡思路分析 ➡为什么作 设问求什么：的值 解题有什么：∠BAD＝∠ACB＝∠ACD＝45°，ED＝6，BC＝4 解题缺什么：缺少与AB，AD有关的线段长或特殊图形 例1题图 深研浙江统考方向 ➡怎么作 寻题眼： ①一线：等角所在的直线AC ②等角：∠BAD＝∠ACB＝∠ECD＝45° 怎么作：想到在AC上取一点F，连接BF，使得 ∠CFB＝45° ➡得到什么 △EAD∽△FBA 例1题图 深研浙江统考方向 【解析】∵∠BAD＝∠ACB＝ ∠ACD＝45°，DE∥BC，∴∠CED＝∠ACB＝45°＝∠BAD.如解图，在AC上取一点F，连接BF，使得∠CFB＝45°.∵∠ACB＝∠CFB＝45°，∴∠CBF＝90°，△BCF为等腰直角三角形，∴BF＝BC＝4，CF＝8.∵∠BAD＝∠BFC＝45°，∴∠FBA＋∠BAF＝∠BAF＋∠ EAD＝45°，∴∠EAD＝∠FBA. 例1题解图 深研浙江统考方向 ∵∠CED＝∠BFC＝45°，∴∠AED＝∠BFA＝135°，∴△EAD∽△FBA，∴＝＝.∵∠ACD＝∠CED ＝45°，∴∠EDC＝90°，CD＝DE＝6，∴CE＝ ×6＝12.∵EF＝CE－CF＝12－8＝4，∴AF＝ AE＋EF＝AE＋4，∴＝，解得AE＝2－2(负 值已舍去)，∴＝＝＝. 例1题解图 深研浙江统考方向 如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，则BP的长为____. 变式1题图 深研浙江统考方向 【建立模型】 旋转“手拉手”模型 条件 在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，将△ADE绕点A旋转 模型展示 结论 △ADE∽△ABC，△ADB∽△AEC 深研浙江统考方向 【结论证明】 证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴＝，即＝. 由旋转的性质，得∠BAD＝∠CAE， ∴△ADB∽△AEC. 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图，在△ABC与△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠CDE＝45°，边BC和DE交于点F，点D在边AB上，BD＝3AD，则的值为_____. 例2题图 深研浙江统考方向 ➡思路分析 ➡为什么作 设问求什么：的值 解题有什么：∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠CDE＝45°，BD＝3AD ➡怎么作 寻题眼： ①△ABC与△DEC共顶点C ②△ABC与△DEC均为等腰直角三角形 怎么作：连接BE ➡得到什么 △ACD∽△BCE 例2题图 深研浙江统考方向 【解析】如解图，连接BE，设AD＝x，则BD＝3x，易得△ACD∽△BCE， ∴＝＝1，∴BE＝AD＝x，易得∠ABC＝45°，∴∠CBE＝∠CAD ＝∠CBA＝45°，∴∠DBE＝90°，∴DE＝＝ ＝x，∴CD＝DE＝x.∵∠CFD＝∠EFB，∠CDF＝∠EBF＝45°，∴△CFD∽△EFB，∴＝＝＝. 例2题解图 深研浙江统考方向 (2025温州龙湾区开学改编)如图，在△ABC和△AED中，AB·AD＝AC·AE，∠BAD＝∠CAE.若S△AED∶＝9∶16，DE＝6，则BC的长为____. 变式2题图 8 深研浙江统考方向 【建立模型】 对角互补模型 条件 ∠AOB＝∠DCE＝90° 模型展示 辅助线作法 作法1：过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G 作法2：作∠OCF＝∠DCE或过点C作CF⊥OC交OB于点F 结论 △ECG∽△DCF △CFE∽△COD 深研浙江统考方向 【结论证明】以作法1为例 如解图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G， 易得四边形FOGC为矩形，∴∠FCG＝90°. ∵∠DCF＋∠DCG＝90°，∠GCE＋∠DCG＝90°， ∴∠DCF＝∠GCE. ∵∠CFD＝∠CGE＝90°，∴△ECG∽△DCF. 解图 深研浙江统考方向 【模型应用】 将两个等腰直角三角板按如图所示放置，点E在AC上，G，H分别 为边AB，BC上的点.若GE＝2EH，则的值为____. 例3题图 2 深研浙江统考方向 ➡思路分析 ➡为什么作 设问求什么：的值 解题有什么：GE＝2EH ➡怎么作 寻题眼： 对角互补：∠DEF＝90°，∠ABC＝90° 怎么作：过E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N ➡得到什么 △EMG∽△ENH 例3题图 深研浙江统考方向 【解析】如解图，过点E分别作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N.根据“对角互补” 模型，易得△EMG ∽△ENH，∴＝.∵GE＝2EH，∴＝＝2 . ∵△ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，∴∠C＝∠A＝45° .又∵EN⊥BC，∴∠CNE＝90°，∴∠CEN＝∠C＝45°，∴NE＝NC .∵∠AME＝90°，∴∠A＝∠AEM＝45°，∴△AME∽△ENC ， 例3题解图 ∴＝＝＝2. 深研浙江统考方向 【一题多解】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，D为BC上一点，以点D为顶点的角的两边分别交AB，AC于点E，F，且∠EDF＝90°，当DE＝2DF时，则BD的长为___. 变式3－1题图 3 深研浙江统考方向 如图，在正方形ABCD中，点P在对角线AC上，点M，N分别在边AB，BC上，且PM⊥PN. 求证：＝. 变式3－2题图 证明：如解图，在CN上取点Q使得PN＝PQ，∵∠B＋∠BMP＋∠MPN＋∠PNB＝360°，∠B＋∠MPN＝90°， ∴∠BMP＋∠BNP＝180°.∵∠AMP＋∠BMP＝180°，∴∠AMP＝∠BNP.∵PN＝PQ，∴∠PNQ＝∠PQN， ∵∠PNQ＋∠PNB＝180°，∠PQN＋∠PQC＝180°，∴∠AMP＝∠PQC. ∵∠BAC＝∠BCA＝45°，∴△AMP∽△CQP，∴＝＝. 变式3－2题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 8 7 6 1.如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90° ，∠ABC＝∠DEC＝30°，连接AD，BE.若AC＝3，AD＝4，则线段BE的长是(　 ) A. B.3 C.4 D.5 第1题图 C 模型综合练 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 8 7 6 2.如图，AB＝3，BD⊥AB，AC⊥AB，且AC＝1，E是线段AB上一动点，过点E作CE的垂线，交射线BD于点F，则BF的长的最大值是(　　) A. B. C. D. 第2题图 A 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 8 7 6 3.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是DC延长线上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与AD的延长线交于点F.若CE＝2，则DF的长为____. 第3题图 3 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 8 7 6 4.如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F为AB边上一点，且AF＝2BF，E为射线BC上一点，∠EDF＝120°，则＝____. 第4题图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 8 7 6 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90° ，tan∠ABC＝，将△ABC绕A 点顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)得到△AB'C'，连接BB'，CC'，则△CAC'与△BAB'的面积之比等于_______. 第5题图 9∶4 深研浙江统考方向 28 4 5 3 2 1 9 8 7 6 6.如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC边上一动点，点E在边AB上，且∠ADE＝30° ，设BD＝x，BE＝y，则y 关于x的函数解析式为__________________. 第6题图 y＝－x2＋x 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 8 7 6 7.如图，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝DE＝，DG＝3，连接AG，BF，则的值为____. 第7题图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 8 7 6 8.★(2024宁波模拟)如图，在正方形ABCD中，G为BC上一点，矩形DEFG的边EF经过点A.若∠CDG＝α ，则∠AHF＝___________；若AH＝3，GC＝2，则△EFH的面积为____. 第8题图 90°－α 3 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 8 7 6 【解析】根据已知可得∠B＝∠C＝∠AFH＝∠FGD＝ 90° ，∴∠BHG＋∠HGB＝90° ，∠HGB＋∠DGC ＝90° ，∴∠BHG＝∠DGC.∵∠CDG＝α ，∴∠BHG ＝∠DGC＝90°－α .又∵∠AHF＝∠BHG，∴∠AHF ＝90°－α ；设AB＝x，则HB＝x－3，BG＝x－2.∵∠BHG ＝∠DGC，∠B＝∠C，∴△BHG∽△CGD，∴＝，∴＝，解得x1＝4，x2＝1(舍去)， 第8题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 8 7 6 即正方形的边长为4，∴DG＝＝2，∴HB＝1，BG＝2，∴HG＝＝，∴EF＝DG＝2.如解图，连接EH，∵∠B＝∠AFH，∠AHF＝ ∠GHB，∴△AFH∽△GBH，∴＝，∴＝，∴HF＝，∴S△EHF＝EF·HF＝×2×＝3. 第8题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 8 7 6 9.★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AB的中点，M是线段AC上的一动点，连接DM.以DM为直角边作直角三角形DEM，使得∠DEM＝30°，斜边DE所在直线交射线MC于点F.若△MDF的面积是△MEF面积的倍，则CM的长为____. 第9题图 5 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 8 7 6 【解析】如解图，过点D作DG⊥AC于点G，过点E作EH⊥AC于点H，则∠DGM＝∠MHE＝90°，在Rt△ABC中，BC＝＝＝6.∵D是 AB的中点，∴AD＝AB＝5.∵∠AGD＝∠ACB＝90°，∠DAG＝∠BAC，∴△ADG∽△ABC，∴＝ 第9题解图 ＝＝，即＝＝，∴DG＝3，AG＝4，∴CG＝AC－AG＝8－4＝4. 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 8 7 6 ∵△MDF的面积是△MEF面积的倍，∴FM·DG ＝×FM·EH，∴DG＝EH，即EH＝DG＝ ，在Rt△DEM中，∠DME＝90°，∠DEM＝30°， ∴＝tan∠DEM＝tan 30°＝.∵∠DMG＋∠MDG ＝90°，∠DMG＋∠EMH＝∠DME＝90°，∴∠MDG＝∠EMH， ∴△DMG∽△MEH，∴＝，∴＝，∴MG＝1，∴CM＝CG＋ MG＝4＋1＝5. 第9题解图 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $