模型3 遇角平分线如何构造辅助线-【练客中考】2026年浙江新中考数学初中数学常考模型PPT

该初中数学中考复习课件聚焦“角平分线辅助线构造”核心考点，覆盖三角形全等、相似、勾股定理等中考高频内容。对接中考说明分析考点权重，如全等判定占比30%，相似应用占25%，并按“基础模型-综合应用-真题演练”归纳常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“一题多解+错题分类”模式，通过2023浙江中考方向题示范延长法构造全等、射影定理等技巧，培养学生推理能力与模型意识。如延长AC、BD交于点F证△ADB≌△ADF，结合等面积法求AD长度，帮助学生掌握解题策略。教师可利用其系统性复习框架，提升冲刺阶段教学效率。

《初中数学常考模型》 数学 模型三　遇角平分线如何构造辅助线 深研浙江统考方向 深研浙江统考方向 【模型应用】 【一题多解】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB， BD⊥AD.若AB＝5，AC＝3，则AD的长为 (　　) A. B. C. D.2 例题图 D 深研浙江统考方向 ➡读题干 ①∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3→BC＝4 ②AD平分∠CAB→∠CAE＝∠BAE ③∠CAE＝∠BAE，∠ACB＝90°，BD⊥AD→△AEC∽△ABD ➡辅助线 ∠ACB＝90°，AD平分∠CAB→向∠BAC另一边作垂线(角平分线的性质) 作法：如解图，过点E作EF⊥AB于点F ➡明思路 ①向∠BAC另一边作垂线 →Rt△ACE≌Rt△AFE→AF，BF的长 ②设CE＝x，则EF＝x，BE＝4－x→AE的长(勾股定理) 例题解图 深研浙江统考方向 更多解法 解法一：全等＋等面积 解法二：射影定理 解法三：倍半角＋三角函数 解法四：四点共圆 延长AC，BD交于点F 过点D作DH⊥AB，垂足为H，交BC于点F 延长CA，截取AM＝AB，连接BM 由∠ACB＝∠ADB＝90°，知A，C，D，B四点共圆，取AB中点O，连接OD，交BC于点H 深研浙江统考方向 【解析】如解图1，过点E作EF⊥AB于点F.∵∠ACB＝90°， AD平分∠CAB，∴EF＝CE.∵AB＝5，AC＝3，∴BC＝ ＝＝4.在Rt△ACE和Rt△AFE中， ∵，∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL)，∴AF＝AC＝3， ∴BF＝5－3＝2.设CE＝x，则EF＝x，BE＝4－x，由勾股定理得(4－x)2＝x2＋22， 解得x＝，∴AE＝＝＝.∵∠AFE＝∠D＝90°，∠EAF＝∠DAB，∴△AEF∽△ABD，∴＝，即＝，∴AD＝2. 例题解图1 深研浙江统考方向 方法一(全等＋等面积)：如解图2，延长AC，BD交于点F.∵AD平分∠CAB，∴∠FAD＝∠BAD.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF.∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA).∵AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，CF＝2， ∴BF＝＝2.由等面积法，得BF·AD＝AF·BC，解得AD ＝2. 例题解图2 深研浙江统考方向 方法二(射影定理)：如解图3，作DH⊥AB，垂足为H，交BC于点F，倒角知FD＝FB.易得△BHF∽△BCA.设FH＝3x，则BH＝4x，BF＝5x，则FD＝5x，AH＝5－4x，DH＝8x.由DH2＝AH·BH，得(8x)2＝4x·(5－ 4x)，解得x＝，∴AH＝4，DH＝2，∴AD＝＝2. 例题解图3 深研浙江统考方向 方法三(倍半角＋三角函数)：如解图4，延长CA，截取AM＝AB＝5，连 接BM，∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°，∴BC＝4，∴tanM＝＝＝，在Rt△ABD中，设AD＝2x，BD＝x，∵AB＝5，解得x＝ ， ∴AD＝2. 例题解图4 深研浙江统考方向 方法四(四点共圆)：如解图5，由∠ACB＝∠ADB＝90°，知A，C，D，B四点共圆，取AB中点O，连接OD，交BC于点H，易知∠CAD＝∠BAD＝∠ADO，∴DO∥AC，OD⊥BC.∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝ 90°，∴BC＝4，∴OH＝AC＝，DH＝1，BH＝CH＝BC＝2，∴BD ＝＝，∴AD＝＝2. 例题解图5 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 1.如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PC＝4，则PD的长为____. 第1题图 2 模型综合练 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 2.如图，点P在△ABC内部，BP平分∠ABC，AP⊥BP，连接PC.若△PBC的面积为1，则△ABC的面积为___. 第2题图 2 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 3.如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝6，CA＝14，I为△ABC的内心， 连接CI并延长交AB于点D.记△DAI的面积为m，△CAI的面积为n，则 ＝_____. 第3题图 0.6 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 4.★【一题多解】如图，∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C.若DC＝4，则OC的长为_________. 第4题图 8＋4 第4题解图1 【解析】解法一：如解图1，过点D作DE∥OB，交OA于点E，∴∠BOD＝∠EDO，∴∠CED＝∠AOB＝30°.在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，CD＝4，∴DE＝8，CE＝4.∵OD平分∠AOB，∴∠EOD＝∠BOD，∴∠EOD＝∠EDO，∴OE＝DE＝8，∴OC＝OE＋CE＝8＋4. 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 解法二：如解图2，过点D作DE⊥OB于点E，延长CD交OB于点F.∵OD平分∠AOB，∴DE＝CD＝4.∵DC⊥OA，∠AOB＝30°，∴∠DFE＝ 60°，∴DF＝＝＝，∴CF＝CD＋DF＝4＋.∵OC＝＝＝8＋4. 第4题解图2 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 5.★【一题多解】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝ 3，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则BD的长为_____. 第5题图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 【解析】解法一：如解图1，过点A作AE∥BD交CB 的延长线于点E，∴∠DBA＝∠BAE，∠CBD＝∠E. ∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠BAE ＝∠E，∴BE＝AB＝5，∴CE＝CB＋BE＝3＋5＝8. 在Rt△ABC中，AC＝＝4.在Rt△AEC中，AE＝ ＝4.∵BD∥AE，∴△DCB∽△ACE，∴＝，∴＝，∴BD＝. 第5题解图1 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 解法二：如解图2，过点D作DE⊥AB于点E，则DE＝CD.又∵BD＝BD，∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，∴BE＝BC＝3，∴AE＝AB－BE＝2.在Rt△ADE中，AD2＝DE2＋AE2，即(4－CD)2＝CD2＋22，解得CD＝ .在Rt△BCD中，BD＝＝＝. 第5题解图2 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 6.★【一题多解】如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，AB＝ 9，AD＝4.若∠ACB＝2∠B＝2∠ACD，则BC的长度是____. 第6题图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 【解析】解法一(截长法)：如解图1，在AB边上截取AE＝ AD＝4，连接CE.∵∠ACB＝2∠B＝2∠ACD，∴∠B＝ ∠ACD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴△ABC ∽△ACD，∴＝，∴AC2＝AB·AD＝36，∴AC＝6. 在△AEC和△ADC中，，∴△AEC≌△ADC(SAS)，∴∠ACE ＝∠ACD＝∠B，CD＝CE.∵∠ACB＝2∠B，∴∠ECB＝∠B，∴CD＝CE＝BE ＝AB－AE＝5.∵△ABC∽△ACD，∴＝，∴BC＝＝. 第6题解图1 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 解法二(补短法)：如解图2，延长AD至点E，使AE＝ AB，连接CE.在△ABC和△AEC中， ∴△ABC≌△AEC(SAS)，∴AE ＝AB＝9，∠B＝∠E，∠ACB＝∠ACE.∵∠ACB＝2∠B＝2∠ACD，∴∠B＝∠E＝∠ACD＝∠DCE，∴CD＝DE＝AE－AD＝5.又∵∠CAD＝∠EAC， ∴△ACD∽△AEC，∴＝＝，∴＝，解得AC＝6，∴＝，解得CE＝，∴BC＝. 第6题解图2 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 7.★如图，在△ABC中，∠ACB＝88°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角的平分线交于点E，连接AE，则∠AEB的度数是______. 第7题图 46° 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 【解析】如解图，过点E作EF⊥AC交CA的延长线于点F， EG⊥AB于点G，EH⊥BC交CB的延长线于点H.∵CE平 分∠ACB，BE平分∠ABH，∴EF＝EH，EG＝EH，∴EF ＝EG＝EH.又EF⊥AC，EG⊥AB，AE＝AE，∴Rt△AEF ≌Rt△AEG(HL)，∴∠AEF＝∠AEG，同理可得∠BEG ＝∠BEH，∴∠AEB＝∠AEG＋∠BEG＝∠FEH.∵∠FEH＝360°－∠ACB－∠AFE－∠BHE＝92°，∴∠AEB＝∠FEH＝46°. 第7题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 8.★如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD的延长线于点E，连接CE.若AB＝4，AC＝3，则△ACE的面积为____. 第8题图 3 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 【解析】如解图，延长BE交AC的延长线于点F. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠AEF＝90°.在△AEB和△AEF中， ，∴△AEB≌△AEF(ASA)，∴AB＝AF，BE＝FE. ∵AB＝4，AC＝3，∴AF＝AB＝4，∴CF＝AF－AC＝1.∵∠BAC＝90°， ∴S△ABF＝AB·AF＝×4×4＝8，∴S△AEF＝S△ABF＝4.∵AC∶CF＝3∶1， ∴S△ACE＝S△AEF＝3. 第8题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 9.★【一题多解】如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G.若DE＝2，则CG的长是____. 第9题图 2 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 【解析】解法一：如解图，令AC交BD于点O，过点G作GH⊥BC 于点H.∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝AD，∠BCD ＝∠ADC＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，AC＝BD，OA＝OC ＝OB＝OD，AC⊥BD.由折叠可得BC＝BF，CE＝EF，∠BFE＝ ∠BCE＝90°＝∠DFE，∠FBE＝∠CBE，∴∠DEF＝∠FDE ＝45°.∵DE＝2，∴DF＝EF＝DE·sin 45°＝2，∴BF＝BC ＝CD＝2＋2，∴AC＝BD＝BF＋DF＝2＋4，∴OB＝BD＝＋2.∵∠FBE＝∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD，∴OG＝HG.∵BG＝BG，∴Rt△OBG≌Rt△HBG (HL)，∴BH＝OB＝＋2.∴CH＝BC－BH＝.∵GH⊥BC，∠HCG＝45°，∴△GHC为等腰直角三角形，∴CH＝GH＝，∴CG＝CH＝2. 第9题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 解法二：如解图，设AC与BC交于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDE＝45°，由折叠可得∠FBE＝∠CBE，CE＝EF，∠BFE＝∠BCE＝90°＝∠DFE，∴EF＝DE·sin 45°＝2.∵∠BOG＝90°，∠BCE＝90°，∴∠OGB＋∠FBE＝90°，∴∠CEG＋∠CBE＝90°，∴∠CEG＝∠OGB＝∠CGE，∴CG＝CE＝EF＝2. 第9题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 10.如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于点D.求证：DE平分∠AEB. 第10题图 证明：如解图，延长AD交BC于点F. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵∠DFE＝∠B＋∠BAD，∠DAE＝∠EAC＋∠CAD，∠B＝∠EAC， ∴∠DFE＝∠DAE， ∴AE＝FE. ∵ED⊥AD， ∴ED平分∠AEB. 第10题解图 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $